曲線波形鋼腹板箱梁豎向彎曲自振特性

喬朋 王宗義 趙丹晨

（長安大學建筑工程學院，西安 710061）

波形鋼腹板箱梁橋是一種起源于法國的鋼-混凝土組合橋梁，具有結構自重輕、預應力施加效率高、腹板屈曲性能好等優點。波形鋼腹板箱梁橋在日本得到了廣泛的發展和應用，并在20 世紀末引入中國，并越來越多地應用于城市和高速公路橋梁工程。在動力特性方面，國內學者對直線波形鋼腹板箱梁的自振特性進行了比較完善的研究。李杰等［1］依托鄭州市隴海路高架常莊水庫橋建立實體有限元模型，分析了預應力、波形鋼腹板的波折角、單板寬度、厚度和橫隔板對自振頻率的影響，結果表明預應力和波形鋼腹板結構形式對頻率影響不大，橫隔板數量的增加對扭轉頻率影響較大；孫曉紅等［2］以李家河中橋為例，建立梁單元有限元模型，研究了寬跨比、高跨比、波形鋼腹板的波折角、水平面板長對自振頻率的影響規律，給出了參數的最佳取值區間；劉保東、陳水生等［3-5］制作了波形鋼腹板試驗箱梁的縮尺模型，將實測結果和有限元分析結果進行了對比，驗證了有限元分析結果的可靠性，并分析了橫隔板對扭轉頻率的影響規律，發現在梁端增設橫隔板對扭轉特性的改善最佳；韋忠瑄等［6］建立了30 m 長的波形鋼腹板試驗箱梁，用試驗結果對自振頻率的理論公式進行驗證，證明理論公式可以計算該類型箱梁橋的基頻；冀偉、張永健等［7-9］通過理論分析得到了考慮剪力滯效應和剪切變形雙重影響的波形鋼腹板箱梁彎曲自振頻率計算公式，有限元分析和試驗結果表明剪切變形對彎曲自振頻率影響較大，剪力滯效應影響較小；馬馳等［10］在考慮剪力滯及剪切變形的影響下，運用能量法得出自振頻率矩陣方程，并與試驗和有限元分析結果進行對比，發現剪力滯及剪切變形對自振頻率有減小作用，且高階頻率剪力滯起主導作用；鄭尚敏等［11］推導了考慮體外預應力效應的自振頻率計算公式，并結合有限元模型分析了體外預應力大小、鋼束錨固位置和鋼束截面積對自振頻率的影響，得出三者對波形鋼腹板箱梁的自振頻率影響較小，可以忽略不計；任紅偉等［12］推導了波紋鋼腹板箱梁扭轉振動頻率的計算公式，并與有限元分析和試驗扭轉頻率進行了對比分析，驗證了理論公式具有較高的精度；張長青、李紅雪等［13-14］用有限元模型對地震作用下波形鋼腹板箱梁的動力響應進行了分析，結果表明箱梁的內力與橋墩的受力趨勢基本相同；尹航等［15］利用有限元模型對波形鋼腹板箱梁和混凝土箱梁的動力特性進行了對比分析，發現波形鋼腹板箱梁比混凝土箱梁抗扭剛度低，可通過增設橫隔板來增強；李鵬飛等［16］對單箱雙室和雙箱雙室波形鋼腹板箱梁的自振特性進行了對比分析，發現單箱雙室箱梁較雙箱雙室箱梁扭轉頻率大，整體性好。在靜力特性方面，曲線波形鋼腹板箱梁在使用過程中存在強烈的彎扭耦合效應，還會受到剪力滯效應、翹曲、畸變等影響。因此，曲線波形鋼腹板箱梁的動力特性與直線梁存在差異，有必要展開研究。文獻［17］對曲線波形鋼腹板箱梁在地震作用下曲線組合梁的動力響應規律進行了分析。

本文在直線波形鋼腹板彎曲自振頻率的理論公式基礎上，考慮半徑和扭轉角對曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自振頻率的影響，并給出考慮剪力滯效應和剪切變形影響的范圍。在初等梁理論的基礎上，考慮箱梁剪力滯和剪切變形雙重效應的影響，應用能量變分法及哈密爾頓原理，通過假定位移、扭轉角和轉角函數，推導曲線波形鋼腹板簡支箱梁多階豎向彎曲自振頻率的解析解，對豎向彎曲自振頻率的主要因素進行參數分析。

1 彎曲自振頻率理論分析

1.1 基本假定

分析曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動基于以下假定：①忽略波形鋼腹板的豎向抗彎作用；②截面變形服從“擬平截面假定”［7］；③忽略翼板縱向纖維間的豎向及橫向擠壓變形，忽略翼板平面外的剪應變，即正應變εy=εz= 0，剪切應變γxz=γyz= 0；④波形鋼腹板與混凝土翼板緊密連接無滑移；⑤上下翼板縱向翹曲位移u(x，y，t)沿翼板（y坐標方向）為三次拋物線分布［9］。

曲線波形鋼腹板箱梁截面如圖1所示。

豎向位移函數為

圖1 曲線波形鋼腹板箱梁

曲線波形鋼腹板箱梁的縱向翹曲位移函數為

式中：t為時間；hi為頂板或底板至截面形心的距離；bi為組合箱梁頂底板半寬或懸臂板寬；U(x，t)為剪切轉角最大差值。

1.2 箱梁應變能及動能

1）波形鋼腹板箱梁的應變

根據假定③可知，曲線波形鋼腹板箱梁的翼板正應變和剪切應變分別為

式中：φ(x)為箱梁扭轉角；r為箱梁曲率半徑。

2）波形鋼腹板箱梁應變勢能

頂底板彎曲應變能V1為

將式（3）、式（4）代入式（5）可得

剪切應變能V2、自由扭轉勢能V3、翹曲扭轉勢能V4分別為

由頂底板的彎曲應變能和扭轉勢能組成體系的總勢能為

式中：E為混凝土彈性模量；G為混凝土的剪切模量；Gs為波形鋼腹板有效剪切模量；b為組合箱梁寬度；As為波形鋼腹板剪切面積；Is為組合箱梁翼板慣性矩；Isa為組合箱梁翼板廣義慣性矩和Is3分別為組合箱梁上頂板、懸臂板和下底板慣性矩；Id為箱梁截面繞形心的抗扭慣性矩；Iw為箱梁截面扇形慣性矩；θ為箱梁截面轉角。

3）結構總動能

僅考慮波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲振動，則總動能為

式中：l為組合箱梁的軸向中心線長度；ρ為組合箱梁的密度；A為截面面積。

2 曲線波形鋼腹板箱梁的彎曲自振頻率

假設位移場函數為

式中：ω為振動圓頻率；φ為函數初始相位角；n為頻率的階數；w0，φ0，U0，θ0分別為位移振幅、扭轉角振幅、剪切轉角的最大差值振幅、轉角振幅。

波形鋼腹板箱梁組合結構在自振時沒有外力的作用，故沒有產生外力勢能。根據哈密爾頓原理可知其中，H為結構外力總勢能。把式（12）—式（15）代入式（6）—式（11）可得

式（17）是一個四元一次方程，要使此方程有意義，必有非零解，故其系數行列式值為0。其中，kij各項系數分別為

式（17）行列式為0 時，曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動頻率為

式中：γ1為剪力滯影響系數；γ2為剪切變形影響系數。

當r→∞時，直線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動頻率為

式中：α1為剪力滯影響系數；α2為剪切變形影響系數。α1= 35/(40+ 112GIsal2/n2π2EIsb2)，α2= 1/(1+GsAsl2/n2π2EIs)。

當b1=b2=b3，且n=1 時，式（19）與文獻［8］中的結果相同，表明了式（18）的通用性。當式（18）中γ1=γ2= 0，式（19）中α1=α2= 0 時，表達式為初等梁理論（即不考慮剪力滯）的簡支箱梁振動頻率。

3 理論公式驗證

3.1 直線波形鋼腹板箱梁

由文獻［8］得到波形鋼腹板簡支箱梁的試驗數據，對式（19）進行驗證，結果見表1。

表1 直線形式的豎向彎曲自振頻率

由表1 可知，式（19）求得的豎向彎曲自振頻率與試驗數據和有限元計算值吻合良好，驗證了本文公式和實體有限元的正確性，也說明了文獻［8］試驗數據的可靠性。

3.2 曲線波形鋼腹板箱梁

參考已建工程對一曲率半徑為110 m、跨徑為50 m的曲線波形鋼腹板簡支箱梁（圖2）進行分析。端部橫隔板的寬度為860 mm，箱梁在中部有一中橫板，寬度為560 mm。波形鋼腹板采用Q345C鋼材，頂底板采用C50混凝土，材料參數見表2。

圖2 波形鋼腹板箱梁截面示意圖（單位：mm）

表2 材料參數

采用有限元軟件ANSYS 建立曲線波形鋼腹板簡支箱梁模型，頂底板和橫隔板采用solid45 實體模擬，波形鋼腹板采用shell63 殼體模擬，波形鋼腹板伸進混凝土頂底板的一半進行共節點連接。模型一端內側采用橫向、軸向和豎向進行約束，另一端內側采用橫向和豎向進行約束，兩端外側均只加豎向約束。不考慮波形鋼腹板箱梁鋪裝層的影響。全橋模型劃分網格后，共有6 970 個實體單元，4 680 個殼體單元，18 686個節點。

由表1可知，實體有限元與試驗數據擬合度高，故可通過實體有限元對曲線波形鋼腹板的理論公式進行驗證，見表3。可知，式（18）求得的豎向彎曲自振頻率和有限元計算值吻合良好，前3 階差值均在9%以內。式（18）計算值均小于初等梁理論計算值，表明考慮剪力滯效應和剪切變形會降低箱梁的豎向彎曲剛度，且差值隨振動階次升高顯著增大。

表3 曲線形式的豎向彎曲自振頻率

4 參數分析

跨徑比、寬跨比和高跨比是影響波形鋼腹板箱梁自振頻率的 3 個重要因素［2，17］。根據國內外箱梁實橋的設計參數取值［18-21］，確定本文組合箱梁的跨寬比為1/12.5～1/5，高跨比為 1/13～1/30，曲率半徑為 50～140 m。

4.1 跨徑比

在曲線波形鋼腹板箱梁的跨度和截面尺寸不變的情況下，曲率半徑r分別為50，80，110，140 m和無窮大時，式（18）與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計算結果對比見圖3。豎向彎曲基頻下不同跨徑比時箱梁的影響系數見圖4。

圖3 不同跨徑比時箱梁的彎曲自振頻率

圖4 不同跨徑比時箱梁的影響系數

由圖3 可知，式（18）與有限元法計算結果基本吻合，差值均小于8%。箱梁曲率半徑對1～3階豎向彎曲自振頻率有較小的影響，各階豎向彎曲頻率隨半徑增大略有減小。

由圖4可知，剪切變形影響系數與跨徑比無關，約為10%。剪力滯影響系數隨跨徑比的增大而增大，當跨徑比小于0.4 時，剪力滯影響系數小于5%；跨徑比等于1.0時，剪力滯影響系數會超過20%。

4.2 寬跨比

在曲線波形鋼腹板箱梁半徑不變的情況下，當跨徑分別為30，35，40，45，50 m 時，改變箱室寬度使寬跨比分別為0.08，0.10，0.12，0.16，0.20，式（18）與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計算結果對比見圖5。豎向彎曲基頻下不同寬跨比時箱梁的影響系數見圖6。

圖5 不同寬跨比時箱梁的彎曲自振頻率

圖6 不同寬跨比時箱梁的影響系數

從圖5可知，式（18）與有限元法計算值基本吻合，差值在15%內。

由圖6可知，隨著寬跨比的增大，剪力滯影響系數和剪切變形系數近似呈線性增長。當寬跨比小于0.1時，剪力滯影響系數小于5%。而剪切變形對豎向彎曲基頻的影響較大，即使寬跨比小于0.1，當跨長較小時，剪切變形影響系數仍會大于10%；當寬跨比等于0.2時，剪切變形影響系數在15%～25%。

4.3 高跨比

在曲線波形鋼腹板箱梁半徑不變的情況下，當箱梁跨徑分別為30，35，40，45，50 m 時，改變箱室高度使高跨比分別為0.032，0.044，0.052，0.064，0.076，式（18）與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計算結果對比見圖7。豎向彎曲基頻下不同高跨比時箱梁的影響系數見圖8。

圖7 不同高跨比時箱梁的彎曲自振頻率

圖8 不同高跨比時箱梁的影響系數

由圖7可知，式（18）與有限元法計算值基本吻合，差值在13%內。

由圖8可知，隨著高跨比的增大，剪力滯影響系數略有減小，當跨徑相同時截面高度的影響變化不大；剪切變形影響系數近似呈線性增大。跨徑越小剪力滯效應影響越大，而不同跨徑的剪力滯影響系數均小于8%，表明不同高度的箱梁剪力滯效應對豎向彎曲基頻影響相對較小，且寬跨比影響大于高跨比。而剪切變形的影響較大，多數情況影響系數大于10%；當高跨比大于0.07 時，剪切變形影響系數可達15%～20%。

5 結論

1）基于能量變分法及哈密爾頓原理，推導了考慮剪力滯效應和剪切變形雙重效應下的曲線簡支波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動頻率計算公式。與對直線箱梁的影響類似，考慮剪力滯效應和剪切變形后，曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲剛度減小，使其豎向彎曲自振頻率降低，同時考慮2 種效應可能使基頻降低30%以上。

2）剪力滯效應對豎向彎曲基頻的影響隨著跨徑比和寬跨比的增大而增大，高跨比的影響可忽略；剪切變形對豎向彎曲基頻的影響隨著寬跨比和高跨比的增大而增大，跨徑比的影響可忽略。剪切變形的影響比剪力滯效應更顯著，前者影響系數在5%～25%，后者影響系數一般小于10%。分析曲線波形鋼腹板箱梁動力特性時，應考慮剪切變形的影響；當跨徑比小于0.4、跨寬比小于0.1時，可忽略剪力滯效應的影響。

本文公式只能用于豎向彎曲振動計算，對于波形鋼腹板箱梁扭轉、橫向自由振動的分析有待于進一步研究。