致密油藏長(zhǎng)縫壓裂直井基質(zhì)-裂縫耦合流動(dòng)模型

任允鵬

中國(guó)石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院

致密油藏具有滲透率低、滲流阻力大、存在啟動(dòng)壓力梯度等特點(diǎn)，傳統(tǒng)的開發(fā)方式難以實(shí)現(xiàn)高效開發(fā)［1-2］。水平井、長(zhǎng)縫壓裂技術(shù)的發(fā)展，促進(jìn)了致密油藏的進(jìn)一步開發(fā)。長(zhǎng)縫壓裂技術(shù)通過油、水井的大型壓裂制造長(zhǎng)縫，使裂縫在井排方向上延伸，進(jìn)而形成一種類似于水平井開發(fā)的定向、定量造長(zhǎng)縫的壓裂完井技術(shù)。通過長(zhǎng)縫壓裂，可以形成較大面積的滲流通道，大幅提高致密油藏產(chǎn)能和開發(fā)效果［3-4］。

朱維耀等人［5］的研究結(jié)果表明致密油藏壓裂裂縫中流體的流動(dòng)存在高速非達(dá)西滲流。蘇玉亮等人［6-7］的室內(nèi)實(shí)驗(yàn)及現(xiàn)場(chǎng)研究表明，當(dāng)裂縫內(nèi)流體的滲流速度較大時(shí)，會(huì)呈現(xiàn)出高速非達(dá)西滲流，達(dá)西定律將無法準(zhǔn)確地描述其滲流規(guī)律。Holditch(1976)等人［8］最早將裂縫中流體的高速非達(dá)西滲流的影響考慮到現(xiàn)場(chǎng)壓裂設(shè)計(jì)中。Mcdaniel(1989)和Vincent(2000)等人［9-10］的研究結(jié)果表明，裂縫內(nèi)的高速非達(dá)西滲流將嚴(yán)重的影響油藏最終的采收率及經(jīng)濟(jì)效益。Gil(2003)及Hernandez(2004)等人［11-12］在前人研究的基礎(chǔ)上分析得出，高速非達(dá)西系數(shù)的閾值為0.1，即高速非達(dá)西滲流引起的壓力降小于或等于總壓降的10%，則高速非達(dá)西滲流的影響可以忽略不計(jì)且高速非達(dá)西系數(shù)隨著采油速度和裂縫半長(zhǎng)的增加而增加。目前國(guó)內(nèi)外致密油藏長(zhǎng)縫壓裂滲流規(guī)律和產(chǎn)能模型研究中，沒有綜合考慮致密油藏的儲(chǔ)層特征及裂縫中高速非達(dá)西滲流的特點(diǎn)，具有較大的局限性。因此，在致密油藏存在啟動(dòng)壓力梯度的基礎(chǔ)上考慮了裂縫中高速非達(dá)西滲流的影響，建立了長(zhǎng)縫壓裂直井基質(zhì)-裂縫復(fù)合流動(dòng)模型，并計(jì)算分析了壓力動(dòng)態(tài)和最佳裂縫半長(zhǎng)變化規(guī)律。

1 基質(zhì)-裂縫耦合流動(dòng)模型

1.1 致密油藏基質(zhì)-裂縫滲流規(guī)律

致密油藏液體的流動(dòng)規(guī)律不符合常規(guī)的達(dá)西定律，在滲流時(shí)除粘滯力外，還要克服吸附層的阻力。當(dāng)外加壓力梯度大于啟動(dòng)壓力梯度時(shí)，液體才開始流動(dòng)。故可以應(yīng)用運(yùn)動(dòng)方程描述致密油藏基質(zhì)中流體的流動(dòng)為

式中，v為流體流動(dòng)速度，m/s;k為基質(zhì)滲透率，10?3μm2；μ為原油黏度為壓力梯度，MPa/m；G為啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m。

長(zhǎng)縫壓裂技術(shù)是致密油藏油井增加產(chǎn)量、提高經(jīng)濟(jì)效益的有效措施。致密油藏經(jīng)過水力壓裂后，裂縫滲透率大大提高。此時(shí)，流體首先從儲(chǔ)層基質(zhì)流向裂縫，再沿著裂縫流向井底。當(dāng)裂縫的面積較小時(shí)，裂縫內(nèi)的液體流速較大。對(duì)于高速流動(dòng)的液體，其流動(dòng)規(guī)律遵循的是Forchheimer二項(xiàng)式方程，如式(2)所示［13］。分析二項(xiàng)式可以看出，當(dāng)滲流速度很小時(shí)，平方項(xiàng)可以忽略不計(jì)，下式就轉(zhuǎn)化為達(dá)西滲流公式。由此可以看出式(2)中的第一項(xiàng)表示黏滯阻力引起的壓力損失，第二項(xiàng)則表示由慣性力而引起的壓力損失。當(dāng)滲流速度較小時(shí)，第一項(xiàng)占優(yōu)勢(shì)；當(dāng)滲流速度較大時(shí)，第二項(xiàng)占優(yōu)勢(shì)。

式中，ρ為流體密度，kg/m3；β為慣性因子，為平均流體流動(dòng)速度，m/s。

1.2 物理模型及基本假設(shè)

致密油藏基質(zhì)-裂縫耦合流動(dòng)模型的基本假設(shè)：無限、均質(zhì)地層中心1口垂直裂縫井；有限導(dǎo)流能力雙翼對(duì)稱裂縫，裂縫半長(zhǎng)xf，縫寬wf，裂縫垂向完全穿透儲(chǔ)層，裂縫滲透率kf為常數(shù)；流體首先從基質(zhì)流到裂縫，進(jìn)而從裂縫流到井筒，模型分為基質(zhì)系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算將裂縫均分n段；基質(zhì)中流體流動(dòng)考慮啟動(dòng)壓力梯度，裂縫中流體流動(dòng)考慮非達(dá)西滲流系數(shù)的影響。

1.2.1 無因次參數(shù)

式中，pD為無因次地層壓力，下標(biāo)D表示無因次屬性；k為基質(zhì)滲透率，10?3μm；h為地層厚度，m；pi為第i個(gè)網(wǎng)格的地層壓力，MPa；p為地層壓力，MPa;Q為井底流量，cm3/s；Bo為原油體積系數(shù)，m3/m3；pfD為無因次裂縫壓力；pf為裂縫壓力，MPa；F為無因次裂縫非達(dá)西滲流系數(shù)；wf為裂縫寬度，m；qfD為無因次裂縫流量；qf為裂縫流量，cm3/s；xf為裂縫半長(zhǎng)，m；tD為無因次時(shí)間；t為真實(shí)時(shí)間，s；φ為地層孔隙度；ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa?1；xD為無因次長(zhǎng)度；cfD為無因次裂縫導(dǎo)流系數(shù)；cη為無因次裂縫擴(kuò)散系數(shù)；GD為無因次啟動(dòng)壓力梯度。

1.2.2 數(shù)學(xué)模型建立

(1)基質(zhì)系統(tǒng)。由式(1)得考慮啟動(dòng)壓力梯度的基質(zhì)系統(tǒng)流體流動(dòng)的無因次滲流方程為

(2)裂縫系統(tǒng)。由式(2)得考慮裂縫中非達(dá)西滲流系數(shù)的裂縫系統(tǒng)流動(dòng)的無因次滲流方程為

式中，cf為裂縫導(dǎo)流系數(shù)；qnD為無因次節(jié)點(diǎn)流量。

進(jìn)一步得到裂縫系統(tǒng)中任意一個(gè)網(wǎng)格i的無因次滲流方程為

1.2.3 模型求解

對(duì)上述基質(zhì)及裂縫的滲流方程進(jìn)行Laplace變換并應(yīng)用點(diǎn)源函數(shù)求解［14］，可得拉式空間內(nèi)基質(zhì)系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)的解為

式(15)、(16)中，

這一瞬間，宴姝似乎觸碰到了現(xiàn)代與過去、渺小與偉大之間一條淡淡光影。也許，偉大的建筑庇蔭過一個(gè)個(gè)王朝，也經(jīng)歷過更迭、興衰和破敗。但無論歷史的晨鐘暮鼓帶來多少斑駁滄桑，在每個(gè)渺小個(gè)體的守護(hù)之下，它們終能一如初見、一如往常。

式中，Ko為零階貝塞爾函數(shù)；u為拉普拉斯變量；下標(biāo)i表示節(jié)點(diǎn)序號(hào)或者網(wǎng)格序號(hào)。

式中，

通過編程求解以上線性方程組，得出裂縫內(nèi)的流量分布及每1節(jié)點(diǎn)的流量。代入裂縫的第1個(gè)網(wǎng)格方程求解得到拉普拉斯域的井底壓力為

Van Everdingen等人［15］給出了拉式空間內(nèi)定產(chǎn)條件下井底流動(dòng)壓力和定壓條件下井底產(chǎn)量之間的關(guān)系為

對(duì)式(25)、(26)進(jìn)行stehfest數(shù)值反演［16］，可以得到實(shí)時(shí)域空間的無因次井底壓力及無因次井底產(chǎn)量。

1.3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證解析模型的可靠性，利用COMSOL有限元模擬器，建立一個(gè)致密油藏長(zhǎng)縫壓裂數(shù)值模型，設(shè)定模型邊界為10 000 m，通過偏微分方程系數(shù)進(jìn)行非達(dá)西滲流系數(shù)定義，數(shù)值模型中其他致密油儲(chǔ)層的相關(guān)參數(shù)與解析模型所用參數(shù)保持一致，具體參數(shù)見表1。數(shù)值模擬結(jié)果顯示，當(dāng)生產(chǎn)時(shí)間為6 000 d時(shí)，滲流所波及的半徑遠(yuǎn)小于模型邊界，這時(shí)可以認(rèn)為模型是無限大的。結(jié)果對(duì)比如圖1所示，研究建立的解析模型與數(shù)值模型擬合度較好。同時(shí)相對(duì)于

表1致密油藏儲(chǔ)層參數(shù)Table 1 Reservoir parameters of tight oil reservoir

圖1解析模型與數(shù)值模型Fig.1 Analytical model and numerical model

2 模型應(yīng)用

2.1 啟動(dòng)壓力梯度對(duì)壓力動(dòng)態(tài)影響

根據(jù)儲(chǔ)層參數(shù)(表1)，計(jì)算定產(chǎn)條件不同無因次啟動(dòng)壓力梯度下無因次井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)隨無因次時(shí)間變化曲線如圖2所示。無因次井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)隨無因次啟動(dòng)壓力梯度增大而增大，但啟動(dòng)壓力梯度對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的后期影響較大，這是因?yàn)樯a(chǎn)后期，壓降傳播的范圍增大，隨啟動(dòng)壓力梯度增加，地層中消耗的能量增大，因而生產(chǎn)壓差較大。

圖2不同啟動(dòng)壓力下壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.2 Pressure and pressure derivative at different threshold pressures

2.2 非達(dá)西滲流系數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)影響

根據(jù)儲(chǔ)層參數(shù)(表1)，計(jì)算定產(chǎn)條件不同無因次非達(dá)西滲流系數(shù)F下無因次井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)隨無因次時(shí)間變化曲線如圖3所示。由圖可以看出，無因次井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)隨著非達(dá)西滲流系數(shù)的增大而增大，且無因次非達(dá)西滲流系數(shù)對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的前期影響較大。這是因?yàn)樯a(chǎn)前期，裂縫中流體的滲流速度較大，由式(2)可知，F(xiàn)orchheimer滲流方程的第二項(xiàng)不可忽略，相當(dāng)于增加了流體流動(dòng)的滲流阻力，故此時(shí)非達(dá)西滲流對(duì)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響很大；而生產(chǎn)后期，生產(chǎn)壓差擴(kuò)大，裂縫中流體的滲流速度較小，F(xiàn)orchheimer滲流方程第二項(xiàng)可以忽略，因此非達(dá)西滲流對(duì)壓力曲線的影響較小。

圖3不同非達(dá)西滲流系數(shù)下壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.3 Pressure and pressure derivative at different non-Darcy flow coefficient

2.3 非達(dá)西滲流系數(shù)對(duì)最佳裂縫半長(zhǎng)影響

圖4不同非達(dá)西滲流系數(shù)下累積產(chǎn)量隨裂縫半長(zhǎng)的變化曲線Fig.4 Variation of cumulative production with half fracture length at different non-Darcy flow coefficient

定壓生產(chǎn)條件下，計(jì)算生產(chǎn)時(shí)間為10年時(shí)不同非達(dá)西滲流系數(shù)下累積產(chǎn)油量隨裂縫半長(zhǎng)的變化曲線如圖4所示。由圖可以看出，累積產(chǎn)油量隨非達(dá)西滲流系數(shù)F的增大而減小；累積產(chǎn)油量隨裂縫半長(zhǎng)的增大而增大，但增大幅度越來越小，即存在最佳裂縫半長(zhǎng)。由圖4得出致密油藏長(zhǎng)縫壓裂的最佳裂縫半長(zhǎng)隨裂縫中非達(dá)西滲流系數(shù)的變化曲線如圖5所示。由圖可以看出，致密油藏水力壓裂直井的最佳裂縫半長(zhǎng)隨裂縫中非達(dá)西滲流系數(shù)的增大而減小。這是因?yàn)楦咚俜沁_(dá)西滲流在裂縫中產(chǎn)生的附加壓降，增加了流體的滲流阻力，從而需要的裂縫半長(zhǎng)越短。

圖5最佳裂縫半長(zhǎng)隨非達(dá)西滲流系數(shù)的變化曲線Fig.5 Variation of optimal half fracture length with non-Darcy flow coefficient

3 結(jié)論

(1)考慮致密油藏中啟動(dòng)壓力梯度及裂縫中非達(dá)西滲流的影響，建立了致密油藏基質(zhì)-裂縫復(fù)合流動(dòng)半解析模型，通過拉普拉斯變換，應(yīng)用點(diǎn)源函數(shù)和Stehest數(shù)值反演計(jì)算了真實(shí)空間域內(nèi)的井底壓力及井底產(chǎn)量。

(2)通過分析啟動(dòng)壓力梯度、非達(dá)西滲流系數(shù)對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響發(fā)現(xiàn)，無因次壓力及壓力導(dǎo)數(shù)隨著啟動(dòng)壓力梯度、非達(dá)西滲流系數(shù)的增大而增大，且啟動(dòng)壓力梯度對(duì)生產(chǎn)后期的壓力曲線影響較大，而非達(dá)西滲流系數(shù)對(duì)生產(chǎn)前期的壓力曲線影響較大。

(3)對(duì)不同非達(dá)西滲流系數(shù)下致密油藏長(zhǎng)縫壓裂的裂縫半長(zhǎng)進(jìn)行優(yōu)化分析，結(jié)果表明裂縫中非達(dá)西滲流越嚴(yán)重，累積井底產(chǎn)量越低，最佳裂縫半長(zhǎng)越短。研究成果為致密油藏長(zhǎng)縫壓裂方案設(shè)計(jì)、試井分析提供理論指導(dǎo)。