基于Edgeworth展開指數分布平均壽命比率的統計推斷

邢剛 袁守成

摘要：在產品壽命服從指數分布無替換定數截尾壽命試驗的場合下，基于Edgeworth和Cornish-Fisher展開方法，得到了兩獨立總體平均壽命比率的精確漸近分布函數及置信區間。經分析，所得的置信區間不僅適用于大樣本情況，而且對小樣本的估計效果尤為良好。

摘要：指數分布;Edgeworth展開;平均壽命比率

產品質量是企業發展的關鍵因素之一，而產品壽命又是產品質量的一個重要評價指標。在企業生產的創新升級中，人們往往需要通過檢驗產品的壽命是否發生改變來判斷生產改造的效果，并且要求檢驗的結果越精確越好。因此，兩總體的產品平均壽命比率在產品的質量分析中是一個重要的研究課題。指數分布是產品壽命可靠性分析中一種常見的分布，設產品壽命服從參數為的指數分布，其密度函數為：

其中 0，記作。易知產品的平均壽命為參數，故兩獨立總體的平均壽命比率為它們的參數之比。

關于產品平均壽命比率的研究已取得一些成果，文獻參考文獻：

[1]給出了兩獨立總體平均壽命比率樞軸量的漸近分布，但該方法對小樣本的估計效果不顯著。文獻[2]利用廣義變量的方法給出了雙參數指數分布平均壽命比率的置信區間，但該方法所得結論不具有一般性。在文獻[3]中，作者利用Edgeworth展開方法得到了雙參數指數分布平均壽命比率樞軸量的漸近分布和置信區間，但給出的結論僅是二階展開，在小樣本情況下效果不是很令人滿意。

本文基于無替換定數截尾壽命試驗，利用Edgeworth和Cornish-Fisher展開方法，在文獻[3]的研究基礎上進一步討論了服從指數分布的兩總體平均壽命比率，并分別給出了平均壽命比率樞軸量漸近分布及其置信區間的一般形式。由于在Edgeworth展開中保留了更多的分布信息，所以明顯地提高了區間估計的效果，對于小樣本的情況效果更加顯著。

;?定義1 設是一組來自總體X容量為n的樣本，且，.記的相合無偏估計量. 若S_n漸近服從標準正態分布，則稱：

為分布函數的Edgeworth展開，其中和分別為標準正態分布的分布函數和密度函數。而為依賴于變量的累積量的函數。

由文獻[7]可知，多項式的最高次冪為.易見，若為偶數時，則為奇數次冪多項式;若為奇數時，則為偶數次冪多項式。當時，有

其中為標準化隨機變量的累積量，且

定義2 設的分布函數滿足Edgeworth展開，用表示的 分位點，即，Z_a表示的分位點，則稱：

（5）

為分位點的Cornish-Fisher展開，其中是可以用表示關于 的多項式函數。

引理1 設為來自指數分布，樣本容量為n 的無替換定數截尾壽命試驗前r個樣本，試驗總時間.產品的平均壽命，的最大似然估計量，且.

引理2 設和是分別來自兩獨立總體和，樣本容量為n的前r個次序統計量，若兩總體的平均壽命比率為，則R的無偏估計量為.

定理1 在無替換定數截尾壽命試驗中，如果和是來自兩獨立總體和，樣本容量為n的前 r個次序統計量，那么的分布函數的Edgeworth展開式為：

證明：由引理1可知，故可寫為2r個獨立同分布的標準正態分布變量的平方和，即.

若記，則利用中心極限定理可得

由引理2，.

由引理1易知，當 ，故可寫為

，從而.

又因為，所以.

根據定義1，分布函數的Edgeworth展開式為：

令，由（2）、（3）、（4）可得. 經整理，

定理2;指數分布平均壽命比率R的置信水平為的置信區間為

（6）

其中：

，為標準正態分布的a分位數.

證：由定義2可知，的分位點的Cornish-Fisher展開式為

可得

因為，所以指數分布平均壽命比率R置信水平為的置信區間為

本文利用Edgeworth展開方法，給出在定數截尾壽命試驗中基于指數分布的兩總體平均壽命比率 樞軸量的分布函數，同時利用Cornish-Fisher展開方法得到了 置信區間的一般形式。該形式精確到展開式的三階項，包含更多分布信息。相比較文獻[8]列出的簡單形式和文獻[3]提供的二階展開式，我們給出的置信區間更加精確，區間長度也更小，不僅適應于大樣本數據，小樣本的情況也同樣令人滿意。

參考文獻：

[1]史建紅，林紅梅.兩個獨立服從雙參數指數分布產品平均壽命比率的統計推斷（英文）[J].應用概率統計，2013，29（01）：87—96.

[2]李建波，張日權.雙參數指數分布參數比率統計推斷的研究[J].應用概率統計，2010， 26（01）： 81—88.

[3]袁守成.雙參數指數分布平均壽命比率的區間估計[J].統計與決策，2017（11）： 14—16.

[4]仲雪榮，傅玨生.統計量 分布的Edgeworth展開式[J].蘇州大學學報（自然科學版）， 2010，26（02）：23—26.

[5]金華.U-統計量的Edgeworth展開及其隨機加權逼近[J].華南師范大學學報（自然科學版），2002（04）：21—24.

[6]陳明華，任哲. L-統計量的Edgeworth展開和隨機加權逼近[J].工科數學，1999（02）： 7—16.

[7]Hall P.The Bootstrap and Edgeworth Expansion[M].New York：Springer，1992.

[8]李建波，張日權.單參數指數分布參數比率統計推斷的研究[J].應用數學學報，2011， 34（05）：769-777.