基于差分方程的量化減肥理論模型及運用

文/李道龍 鄧宏宇 劉家明 胡昌飛 葉舒紅

一、引言

隨著國家經濟發展及生活水平的提高，人們的生活在“科技”助力下越來越便捷。但另一方面，由于生活節奏的加快，各種疾病甚至新的疾病也開始出現，肥胖就屬于其中重要問題之一。人們在享受現代科技帶來方便同時，卻忽視了運動帶來的天然益處。有人及時采取措施實現高效減肥。但是更多的人不注意運動的時間安排，很少有人根據每周食物的能量攝取量來安排時間。本文主要從理論方面，通過建立數學模型，來確定一個適用于普遍人群的數學減肥模型。

二、研究目的及背景概述

（一）肥胖的定義

肥胖是影響全世界健康問題的一個隱患，尤其表現在發達國家。判斷一個人是否肥胖可以通過一些關于生理的指數進行，現在衡量肥胖主流指數是BMI。Amiri團隊于2019年的研究中指出，BMI≥25就是影響健康的個體因素了。而美國內分泌醫師學會肥胖指南中定義：BMI在25到29.9范圍內為超重，30到34.9范圍內為一級肥胖，35到39.9為二級肥胖，超過40則為三級肥胖。為了結合中國現狀，我們界定18.5≤BMI ≤23.9為正常體重，24≤BMI ≤27.9為超重型，BMI ≥28統一歸類為肥胖型。

（二）肥胖的原因

肥胖原因較為復雜，有先天性和后天性兩種，也有正常和病理性肥胖。上海體育學院郭吟等人在論著中把肥胖歸納為遺傳因素、營養過剩、缺乏體力運動三個生理性原因，而哈醫一附院李婧雯等人，將肥胖病理性因素大致歸納為交感神經系統激活、RAAS激活、瘦素抵抗、食欲素過度表達。如果是生理性原因，可以采取調整日常飲食習慣，進行適當運動的方式減肥，而病理性的肥胖需要按醫囑配合相應治療、正確飲食搭配和運動方式。

（三）肥胖是影響國民健康的重要因素

21世紀以來，威脅人類健康的三大疾病包括食源性疾病、藥源性疾病以及醫源性疾病。如今，肥胖更多的屬于食源性疾病，也就是“吃出來的”疾病。王隴德院士在《營養助力健康中國》中說到，2016年“推進健康中國建設”寫入綱要意味著“健康中國”上升為國家戰略。重視肥胖問題的解決也是助力健康中國建設的一項重要舉措。福建醫科大學附屬龍巖第一醫院張敏等人認為在經濟發展同時，肥胖也日益成為影響國民健康的重要因素，她提倡膳食療養法，認為要減少體內的脂肪量。

三、影響減肥的因素探究

（一）運動

運動是影響減肥最重要的因素之一，合理的運動也是減肥的最科學方案。運動包括運動的時間、方式、強度等等。運動時間的安排最好以天或者周進行。一般而言一天運動1小時較普遍，也可以根據自身需求安排一周多少個小時，運動時間太短，效果幾乎為零。另外，有效減肥應該采取持續性減肥方式而不是間歇式減肥方式，間歇性減肥效果較差。就運動方式而言，應當根據自己愛好以及適宜自己的減肥方式進行綜合考慮，不應該單一化，應當將兩種或者兩種以上的減肥方式結合，比如慢跑之后進行俯臥撐等等。如果想減少腿部脂肪，可以采取跑步或者跳繩，想要減少肚子上的脂肪，可以采用俯臥撐或者柔力球等。減肥過程中運動強度應該小而持續，太大的運動強度容易讓人產生饑餓感，容易出現運動之后食量大增的現象。

（二）睡眠質量

睡眠質量的好壞會影響人的生理機能。如果在減肥過程中經常熬夜，人的生理機能將大大下降。研究表明，人要保持7～9小時的睡眠才比較合理。過多或過少的睡眠會影響運動的精力及膳食攝取的效果，導致精神萎靡，毫無力氣進行運動。

（三）膳食攝取

膳食攝取在很大程度上影響減肥，要葷素搭配，飲食均衡。在減肥過程中，可以多偏向素材等富含纖維的食物，素菜里含有豐富的維生素，熱量低，適合減肥。

四、減肥策略模型的建立

（一）相關指標介紹

1.相關指標介紹。

我們采用世衛組織相關材料中提到的BMI模型，即 BMI=W/M2：，其中 W 為體重（kg）,M為身高（m）。

2.模型的理論依據。

人體內部能量維持著能量守恒定律，如果機體消耗的能量不及吸收的能量，過多的能量會以脂肪的形式儲存在體內，導致體重增加。

3.模型的建立。

我們選擇使用的模型是姜啟源設計的差分方程減肥模型：Wn+1=αC+（1-β-γ）Wn，公式Wn+1中為第n+1天的體重，（1-β-γ）Wn為前一天能量消耗后的體重，αC為新增熱量轉換成的體重。其中β是正常代謝消耗指數，γ為運動后減肥系數，α為能量和體重之間轉換的系數：

可以由設定臨界值的方法進行計算，最后可以推導出模型：

五、維持體重不變模型的建立

體重不變模型主要是一個臨界值，當Wn+Wn+1=0時，也就是前一天的體重與后一天的體重維持不變。對此我們可以對前面設計的模型進行適當的改變，即體重的差值和攝入消耗的差值均為0，我們可以得出式子Wn-Wn+1=αC-（β+γ）Wn，化簡后為：

此模型說明每日攝取的卡路里水平需要維持在一個臨界值上，這個臨界值與需要維持的體重、運動消耗能量、代謝消耗能量存在著正相關關系，與能量轉換系數存在著負相關關系，每日攝取飲食卡路里保持此值，理論上來說體重不會增加。

六、模型實際應用舉例

假設存在一個身高為1.75m的健康成年男性，現階段體重為84kg，他對現階段體重不滿意，想將體重降至BMI=25所對應的數值，我們可以通過模型數值計算來給予其一些建議。

健康專家建議普通人減肥每個月不超過4.0kg最為適宜。那么我們設定BMI在60天內降為25，即體重需要在60天內降為76.5625kg，即兩個月減肥不超過8kg。通過上述信息及公式的代入計算，我們可以知道W084，ω=0.2480，假設此人β=0.004，且選取每天跑步一小時的方法即γ=αpt=7/8000。最后計算出c大約為1577kcal，參照食物熱量表，他的減肥可以采用以下幾種方案：

方案一：

早：水煮蛋1個（147kcal）、全脂牛奶200ml（320kcal）。

中：雞胸肉150g（200kcal）、水煮青菜250g（60kcal）、粗糧 70g（230kcal）。

晚：清蒸魚蝦150g（130kcal）、紫菜蝦皮湯100ml（35kcal）、西紅柿 100g（18kcal），熱量合計 ：1140kcal。

方案二：

早：蘋果 210g（100 kcal）、火腿腸（不含淀粉 )100g（264 kcal）。

中：鹽水鴨腿150g（360 kcal）、玉米胡蘿卜200g（100 kcal）、米飯 50g（58 kcal）。

晚:肉末豆腐150g (300 kcal) 水煮西蘭花100g (34 kcal)菌菇湯100ml (8 kcal)熱量合計: 1216 kcal

方案三：

早:清蒸芋頭80g (79 kcal) 藍莓100g (57 kcal)純牛奶200g (320 kcal)

中:牛排200g (450 kcal) 水煮秋葵100g (37 kcal)山藥泥 100g（150 kcal）。

晚:紅燒鯽魚100g（220 kcal）、青椒土豆絲70g（89 kcal）、青菜豆腐湯100ml（10大卡）、熱量合計：1412 kcal。

假設之后此人不鍛煉，但需要維持BMI=25這個水平所對應的體重。通過公式算出他每天需要攝取不多于2450kcal熱量的食物。如果之后此人每天繼續堅持跑步一小時，則可以攝取不多于大約2986kcal的食物。

七、總結

通過建立和運用數學模型可以得出結論，減肥效果與每日攝取卡路里、運動消耗能量、個人體質決定的代謝消耗能量都有著顯著的相關關系。正常來說，如果一個人每日進行一定量的運動，而且控制能量的攝入，減肥效果是十分明顯的，具體減肥效果可以通過運用文中給出的模型進行模擬計算。但是過度的運動和過少能量的獲取都會對人的身體健康產生負面影響，所以減肥需要按照科學指標進行適量運動和能量獲得，才是健康減肥。此模型主要是理論推導，實際效果是由多種因素決定的，或與模型存在一定差距，需要讀者辯證看待。