基于H∞無跡卡爾曼濾波的退役鋰離子電池SOC 估計

謝寶江，婁偉明，羅揚帆，王華昕，李 珂

（1.國網浙江省電力有限公司臺州供電公司，浙江 臺州 318000；2.上海電力大學，上海 200090）

0 引言

鋰離子電池由于其較高的比能量、較長的循環壽命和相對較低的制造成本被廣泛應用于各種電動汽車[1-3]。當車用動力電池的容量衰減到初始容量的70%左右時，就不滿足電動汽車續航里程和安全性能的要求而退役。退役后的電池應用到對電池性能要求不高的儲能系統、UPS 等領域仍然有可觀的價值[4]。由于退役電池在功率密度、能量密度和容量等方面存在著一定程度的老化現象，因此必須建立準確的電池管理系統來估計電池工作狀態[5-6]。電池SOC（荷電狀態）表征了電池剩余能量的變化，是能量管理和預測電池運行狀態的重要依據。因此，準確估計電池的SOC 對退役電池的梯次利用和提高電池的管理技術具有重要意義[7]。

常見的SOC 估算方法包括安時積分法、開路電壓法、神經網絡智能算法、擴展卡爾曼濾波算法[8-9]。其中安時積分法原理簡單，工程應用較多，但必須提供準確的SOC 初值。開路電壓法需要靜置足夠長的時間，使電池達到穩定狀態，這顯然不適于動態條件。神經網絡智能算法需要大量實驗數據集來訓練神經網絡模型，其實際估算效果不佳?；陔姵貭顟B空間方程的卡爾曼濾波方法具有很強的適用性和通用性，克服了需要電池SOC 初值以及大量的實驗數據點進行訓練的問題。同時，其濾波技術可以顯著降低采樣噪聲的影響。擴展卡爾曼濾波算法忽略了泰勒展開式的高階項，而鋰離子電池的強非線性特性會不可避免地帶來較大估計誤差，進而致使濾波器發散。近年來，UKF（無跡卡爾曼濾波）算法在電池SOC 估計領域比較活躍，但在實際應用中，存在以下問題：它可以在一定程度上降低噪聲的影響，但異常的測量噪聲仍然對濾波效果有較大的影響；由于外部因素的影響，在一個或多個采樣周期內超出正常范圍的采樣數據將使SOC 估計算法產生誤差，并且收斂速度降低。為了解決這個問題，文獻[10]將系統狀態噪聲和觀測噪聲進行對稱采樣處理，將兩者同時引入到Sigma 點采集中減小了噪聲對估算精度的影響，但對模型精度要求較高。文獻[11]將系統狀態以其方差的平方根形式傳播，降低了常規Sigma 點卡爾曼濾波器算法的復雜性，提高了對狀態估計誤差的抑制能力，不過未考慮到觀測模型和狀態方程會跟隨系統不斷變化。文獻[12]將粒子濾波算法引入到UKF中，并通過UKF 算法計算每個粒子的估計值和協方差，解決了系統采樣噪聲干擾問題，但該算法固有粒子匱乏且計算量較大，在應用中實時響應性能較差。文獻[13]用奇異值分解代替標準UKF的Cholesky 分解，避免了協方差矩陣非正定時濾波算法計算終止，從而抑制了系統采樣過程中的非線性誤差，當系統狀態噪聲和量測噪聲二者所帶來影響較大時，上述濾波算法的估計精度難以得到保證。

文章針對以上鋰電池在狀態估計中存在的一些問題，H∞控制具有強魯棒性的特點，因此被廣泛應用于模型動態不確定和強非線性的系統，文章提出將H∞控制和UKF 算法相結合，以提高對退役電池SOC 的估算性能。該方法利用H∞理論提高對異常值和非高斯噪聲的魯棒性。通過不斷更新修正協方差矩陣保證了矩陣的半正定性，提高了濾波器的適應能力，解決傳統UKF 不能跟隨真實估計狀態不斷修正噪聲方差造成估計不準甚至發散，以及數據驅動方法的不確定性問題，實現退役電池SOC 準確估算。

1 鋰離子電池模型

1.1 鋰離子等效電路模型

常用的電池模型包括電化學模型、神經網絡模型和集總參數等效電路模型。在3 種模型中，等效電路模型因其結構簡單、易于參數識別，而且能更好地反映電池動靜態特性而被廣泛使用。集總參數等效電路模型包括：Rint 模型、一階RC 模型、高階RC 模型、PNGV 模型等。本文選擇一階RC 等效電路來建立退役電池的狀態空間模型。模型的電路結構如圖1 所示，R0是退役電池的歐姆電阻（電阻R0，chg表示放電歐姆電阻，電阻R0，dischg表示充電歐姆電阻）；Rs和Cs分別表示電池極化電阻和極化電容；It表示電池的端電流；Uocv表示電池的開路電壓，與電池SOC 存在函數關系；Uout表示電池的輸出電壓。

圖1 退役電池等效電路拓撲結構

根據電路原理，一階RC 等效電路可表示為：

式中：SOCt代表t 時刻的SOC；η 為庫倫效率，與放電速度、溫度等有關；QN為電池的額定容量。

SOC 的狀態方程可以描述為離散時間形式：

根據退役電池的RC 等效電路模型，選取電池核電狀態SOC 和極化電壓Us作為系統狀態變量。電池的狀態空間方程為：

式中：T 為采樣時間；k 為離散時間變量。

1.2 參數辨識

常見的參數辨識算法包括最小二乘法[14]、預報誤差法、極大似然估計法等。最小二乘法是一種數據優化工具，以殘差平方和最小為準則實現函數的最佳匹配。其被廣泛應用于各種數值分析場景中。對于諸如退役電池這種強非線性系統，可以采用最小二乘法來識別模型參數。HPPC 是測試電池充放電特性的一種測試環境，同時也作為電池參數識別的數據來源。

當電池有電流加載時，由于歐姆內阻的作用使得電池電壓下降。當電池電流卸載后，極化電容放電，使電池電壓緩慢抬升。將對電池進行充放電測試的過程分為10 個階段。利用MATLAB軟件對實驗數據進行處理，通過最小二乘法識別SOC 各個階段的電池模型參數。圖2 為電池在SOC 值為90%并靜置到穩定狀態時，對電池進行脈沖放電10 s 和靜置40 s 過程的電壓響應過程。

電池的歐姆內阻可由電池電流加載瞬間電壓的變化計算得到。若U1=3.973 V，U2=3.843 V，I=1.2 A，則得到Rs=0.108 Ω。其中：U1表示電池電量為90%并且在穩定狀態時的端電壓；U2表示脈沖放電電流加載瞬間電池的端電壓；而電流I 是0.2 C 的持續恒定電流。

在電池的極化電容放電期間，其電壓輸出方程為：

圖2 SOC 為0.9 時電流激勵和對應的電壓響應曲線

將式（6）中的Uocv，ItRs，τs看作待定系數，對方程進行系數替換可得：

式（8）—（10）為電池模型參數識別的計算公式，然后通過非線性最小二乘法擬合每個SOC階段的電池參數。

模型中電阻電容等參數受到電池電量變化的影響。式（11）—（13）為建立的SOC 和模型參數的函數關系。

使用MATLAB 的cftool 工具箱擬合式（11）—（13）的系數。擬合曲線如圖3 所示，函數表達式系數如表1—3 所示。

圖3 參數辨識曲線

表1 歐姆內阻R0 與SOC 的函數關系

表2 極化內阻Rs 與SOC 的函數關系

表3 極化電容Cs 與SOC 的函數關系

1.3 模型驗證

退役動力電池的等效電路模型驗證采用DST（動態壓力測試）工況，DST 工況是基于實車運行數據的特定電流電池工作測試方案，可以檢驗電池的動靜態性能，其過程曲線如圖4 所示。

文中所搭建的退役電池模型仿真結果與電池實測值的對比如圖5 所示。由圖5 可知，仿真模型能夠很好反映電池的即時響應和滯后響應，符合實際電池具有的動靜態特性。

圖4 DST 工況過程

圖5 電池模型輸出電壓與實際電壓比較

電池仿真模型輸出電壓的誤差曲線如圖6 所示。由圖6 可知，仿真模型輸出端電壓和電池實際端電壓的絕對誤差保持在0.2 V 以內。說明文中搭建的一階RC 等效電路模型及模型參數識別的結果滿足實際需求，這為后續標準UKF 算法的改進提供了有力支持。

圖6 模型輸出電壓誤差

2 HUKF 算法估計退役電池SOC

按照標準UKF 算法的原理，根據當前時刻狀態和上一時刻的預測值，再結合電池狀態方程式（4）和觀測方程式（5），得到當前時刻的狀態估計值。退役鋰離子電池的離散狀態空間方程可以描述為：

式中：xk，yk分別表示系統k 時刻的狀態向量和觀測向量；f 和h 分別為系統的狀態函數和觀測函數；wk表示過程噪聲，由模型參數誤差造成，協方差為Qk；vk表示由系統傳感器采樣不準確引起的測量噪聲，協方差為Rk。

UKF 算法主要由4 部分構成：系統變量初始化、Sigma 點采集、時間更新和測量更新。UKF 算法利用無跡變換來處理非線性函數的預測均值和誤差協方差，而不是擴展卡爾曼濾波算法的近似等效，同時也不必要對雅可比矩陣進行求導計算，因此提高了估算精度和計算速度。

2.1 標準UKF 算法

2.1.1 初始化

設初始狀態變量為x0，狀態變量的均值為，初始協方差為P0。則有：

2.1.2 Sigma 點采集

計算Sigma 點采樣點x（i）和相應的權值ω：

式中：m 為均值權重；c 為協方差權重；參數λ=α2（n+ki）-n 是用來減小總預測誤差的縮放比例系數；一般情況下α 取值較小，為0≤α≤1 用來控制平均值處Sigma 點權重；β=2，用來控制狀態估計的誤差，提高估算精度。

2.1.3 時間更新

2.1.4 量測更新

非線性變換Sigma 點為：

2.2 HUKF 算法

在工程應用中，UKF 算法容易受到異常采樣、初始值不確定以及Cholesky 無法分解非半正定矩陣等因素的影響，導致系統發散。為了克服UKF 算法在計算協方差時遇到的病態矩陣，將H∞理論[15]運用到UKF 中，來描述系統不確定性的影響。該濾波器對于具有有界能量的所有可能干擾實現最小估計誤差[16]。所設計濾波器滿足如下條件：

式中：x0和P0|0分別是初始狀態向量及其協方差矩陣；γ 是限制不確定性的正標量參數。

當且僅當所有時刻K 的估計誤差協方差矩陣Pk|k滿足式（30）時，存在式（29）中所示的H∞濾波器為：

式中：max{·}為求最大值函數；eig{·}為求矩陣特征值函數。

由以上可知，HUKF 與標準UKF 的原理和結構相似。HUKF 通過引入調整因子γ 來更新修正UKF 中計算協方差時遇到的病態矩陣，從而確保了估計誤差協方差矩陣的非負定性。調整因子γ用來平衡H∞魯棒控制和最小均方誤差的性能。當γ 趨于無窮大時，HUKF 近似等效與標準UKF。這也說明標準UKF 的H∞范數可能非常大，導致對模型參數不確定性的穩定性差。HUKF 實現所有可能干擾的最小估計誤差。受不確定性影響的H∞濾波器的有界誤差性能可以按照文獻[17]中所示的算法證明。

2.3 HUKF 算法流程

將電池狀態方程式（4）以及觀測方程式（5）代入上述標準UKF 算法公式中，可以得到電池SOC、極化電壓Us等參數的實時預測值。算法具體步驟如下：

圖7 HUKF 算法流程

3 實驗與仿真分析

3.1 實驗平臺

為了驗證本文所提出的HUKF 算法的高效性和準確性，搭建如圖8 所示的鋰電池測試平臺。該試驗測試平臺可以編程控制負載電流大小，包括恒流、恒壓、恒功率以及自定義電流工況放電?？膳c鋰電池組在線狀態測試設備聯合工作，極大方便了實驗數據獲取和實驗曲線的分析。與PC機對接后，可以動態顯示電池工作狀態的監測曲線，并可以分析和處理數據。該測試平臺也帶有掉電保護功能和過流、過壓報警并自動停止放電。本文以從某電動公交退役的天能鋰電池作為測試對象，電池型號為ITR22P22S132，其額定電壓為3.7 V，額定容量為2.2 Ah。

圖8 電池測試系統

3.2 算法驗證

以美國制定的UDDS（城市道路循環）工況為試驗條件在上述實驗平臺下對電池做充放電實驗。電池測試的環境溫度設定為23 ℃，電池SOC初值設定為0.7。采樣周期為1 s，電池SOC 的理論參考值通過安時積分法獲取。HUKF 和UKF 算法的SOC 估算對比曲線如圖9 所示。由圖9 可知，在設定SOC 錯誤初值（為0.5）的情況下，文中提出的HUKF 算法比UKF 算法收斂速度要快。HUKF 算法在100 s 左右能收斂到穩定階段，而UKF 算法需要70 s 左右。這是因為UKF 權重和采樣點的分布導致協方差在幾次更新后失去正定性，導致過濾結果無效。當濾波效果最佳時，增益矩陣保持穩定。隨著系統模型的變化，增益矩陣很難快速跟上穩態系統的需要，這就會阻止系統快速收斂。HUKF 算法通過不斷更新修正協方差矩陣保證了矩陣的半正定性，這使得濾波算法得以繼續進行。在算法開始階段SOC 設定值與實際值存在較大誤差時能夠快速靠近真實狀態，因而具有更快的跟蹤速度[18-21]。

圖10 是HUKF 和UKF 算法的估計誤差比較曲線。由圖10 可知，HUKF 算法的跟蹤性能明顯優于UKF 算法。一方面，HUKF 算法估計的絕對誤差維持在0.05 以內，而UKF 算法的絕對誤差大于0.05；另一方面，UKF 算法對于非高斯噪聲和系統異常值的魯棒性較差，在收斂階段曲線波動較大，不能有效預測電池SOC 變化趨勢，而HUKF 算法對惡劣環境的適應能力較強。

圖9 UDDS 工況下HUKF 與UKF 算法SOC 估計的對比曲線

圖10 UUDS 工況下SOC 估計誤差對比曲線

綜上所述，文中提出的HUKF 算法在收斂速度、估算精度和魯棒性上都比UKF 有一定提高，驗證了改進算法的先進性。

4 結語

UKF 算法作為經典的濾波算法，被廣泛應用在目標跟蹤和飛行控制等領域。H∞控制理論是解決魯棒性問題的有效工具。文中將2 種理論相結合，應用在退役動力電池的SOC 估計中，克服了系統采樣異常值和非高斯噪聲的影響，保證了濾波算法得以繼續進行，提高了估計算法在系統狀態發生突變時的穩定性。實驗結果表明，在電流工況變化劇烈情況下，HUKF 算法仍能保持比UKF 高的濾波精度和魯棒性，同時也有一定的工程應用價值。