基于傅里葉定理的隔熱服溫度分布模型與最優(yōu)厚度的計(jì)算

王齊悅

摘要：隨著社會(huì)進(jìn)步，特殊環(huán)境工人的工作條件逐漸引起廣泛關(guān)注，對(duì)高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝的研究逐年增多。為了更好的研究高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝的性質(zhì)，本文首先根據(jù)傅里葉導(dǎo)熱定律建立物理學(xué)熱傳導(dǎo)偏微分方程。利用熱阻與熱流平衡的方程求得在進(jìn)入高溫環(huán)境前隔熱服上溫度的分布。然后在給定部分條件下求解工作服第二層最優(yōu)厚度。最后成功確定了皮膚層的性質(zhì)與參數(shù)，修正了物理模型。

關(guān)鍵詞：傅里葉定理;隔熱服;溫度分布

一、背景

近年來(lái)，特殊工人們的工作條件愈來(lái)愈受到廣泛關(guān)注，其中高溫環(huán)境工作最為普遍。現(xiàn)有的高溫作業(yè)防護(hù)服通常由三層構(gòu)成，常見(jiàn)高溫作業(yè)服由三層織物材料，在測(cè)試工作防護(hù)服性質(zhì)時(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境來(lái)模擬工作時(shí)的環(huán)境，建立數(shù)學(xué)模型解決人體表面溫度的變化問(wèn)題。

二、實(shí)驗(yàn)描述

將體內(nèi)溫度控制在37℃的假人放置在實(shí)驗(yàn)室75℃的高溫環(huán)境中，Ⅱ?qū)雍穸葹?mm、Ⅳ層厚度為51mm、工作時(shí)間為90分鐘的情形開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，測(cè)量得到假人皮膚外側(cè)的溫度。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算溫度分布。更改環(huán)境溫度為65℃，第四層的厚度為5.5毫米，在確保工作60分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)的溫度不超過(guò)47℃，并且超過(guò)44℃的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。假設(shè)可以忽略高溫作業(yè)服的形狀以及不同部位差別，將溫度分布轉(zhuǎn)化為一維導(dǎo)熱模型。為保證溫度的連續(xù)變化，假設(shè)傳熱方式全部為熱傳導(dǎo)。由于體內(nèi)為恒溫37℃，不會(huì)隨時(shí)間變化，假設(shè)皮膚表面與體內(nèi)之間存在一層熱阻層。

三、物理模型

自然界中，傳熱的基本形式只有三種：熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射。當(dāng)不同溫度的物體進(jìn)行相互接觸時(shí)進(jìn)行的傳熱方式為熱傳導(dǎo)。對(duì)于一塊厚度為δ，橫截面積為A，導(dǎo)熱率為λ的平板，假設(shè)平板兩側(cè)溫度分別為：a，b，熱量的傳遞公式根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到為：

五、求解

由于偏微分方程很難解出，采用有限差分法來(lái)獲取其數(shù)值解。用有限個(gè)差分來(lái)近似表示溫度的微分，即將隔熱服分為許多個(gè)小薄層，認(rèn)為在同一個(gè)時(shí)間下每層的溫度都是相同的。將原方程中微分利用差分代替，當(dāng)某一厚度為△x的薄層左右兩邊為同一介質(zhì)時(shí)：（T（k）表示第k時(shí)刻的第m層的溫度）（見(jiàn)公式3.1）

當(dāng)某一厚度為△x的薄層左右兩邊為不同材料時(shí)（見(jiàn)公式3.2）

λ為第m-1層的熱導(dǎo)率，λ為第m層的熱導(dǎo)率。采用高斯-塞德?tīng)柕ㄟM(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算時(shí)首先將題中的己知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，觀察表皮溫度隨時(shí)間的變化：（見(jiàn)圖1）

在不到兩千秒時(shí)，整個(gè)隔熱服已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。以2000秒為時(shí)間終止要求，可以保證在此之前達(dá)到穩(wěn)態(tài)，以1000秒為圖形展示范圍，可以更直觀的看出圖形結(jié)果，前2000秒內(nèi)每隔0.1mm、每隔1秒為一個(gè)節(jié)點(diǎn)的2000×152個(gè)的數(shù)據(jù)，截取不同面內(nèi)的圖像。（見(jiàn)圖2）

最終每一層的溫度不隨時(shí)間發(fā)生變化了，且溫度不變化的時(shí)刻與皮膚外側(cè)溫度達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)刻相近。此算法得到的穩(wěn)態(tài)溫度分布，與理論穩(wěn)態(tài)溫度分布進(jìn)行比較，可以對(duì)此訓(xùn)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。

為了優(yōu)化算法，更快的達(dá)到最優(yōu)解，采用二分法對(duì)于滿足約束條件的最優(yōu)厚度進(jìn)行求解。可以認(rèn)為皮膚層是一層厚度均勻，性質(zhì)均勻的導(dǎo)熱物質(zhì)由熱阻及復(fù)合壁導(dǎo)熱性質(zhì)：

現(xiàn)將皮膚層的各個(gè)參數(shù)展示如表2：

隨著厚度的增加，工作服的總重量增加，舒適度會(huì)降低，材料消耗增多。所以目標(biāo)即為最小的總重量，求第二層的最優(yōu)厚度即為在滿足約束條件下的最優(yōu)化問(wèn)題：

采用二分法來(lái)求解滿足一定精度的第二層最優(yōu)厚度。最終解得第二層的厚度為17.4mm時(shí)最優(yōu)。此模型運(yùn)算簡(jiǎn)單，具一定推廣價(jià)值。但鑒于數(shù)據(jù)不完善，個(gè)別參數(shù)可能需要進(jìn)一步確定。

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