快速巧解材料力學靜定梁的約束力和彎曲內力圖

吳建強 林遠東

摘要：材料力學是高等院校機械、采礦、土木、力學等專業必修的一門專業基礎課，在工程領域有著廣泛的應用。本文以理論力學靜力學為基礎，總結出求約束力和畫剪力圖彎矩圖的簡便方法，避免了求解繁瑣的平衡方程和分段列彎矩方程、剪力方程畫內力圖的麻煩，從而大大提高運算速度。

關鍵詞：約束力;彎矩圖;剪力圖

一、引言

要想正確的畫出剪力圖和彎矩圖，對于簡支梁、外伸梁和組合梁先要計算約束反力，對于懸臂梁可以不求約束反力，可以從自由端開始作圖，對于需要求約束反力的梁，一旦約束反力求解錯誤，將直接導致后面的求解跟著出錯。作者根據自己的解題經驗總結出了求解方法，避免用靜力學的靜力平衡方程的繁瑣，方便快捷。

二、求靜定梁約束反力的方法

求解靜定梁約束反力時，約束力等于

與其反向的力偶和與其同向的力偶差除以兩約束間距離。圖1所示外伸梁，如果欲求A處約束力，設其方向向上，則該力對B點產生的矩為順時針方向，那么分子就是逆時針的力偶與順時針的力偶差，分子則是AB之間的距離。即

由此可見，僅通過簡單運算即得約束反力。

三、根據外力畫剪力圖和彎矩圖

材料力學書上介紹的方法基本上都是先列出建立方程和彎矩方程，然后根據方程畫出內力圖，雖然準確但是麻煩，特別是結構受力比較復雜時，分段多方程多，求解繁瑣。下面我們將用作圖規律直接由外力畫剪力圖和彎矩圖，這樣無論是在學習或者工程中的力學分析都能大大節省時間。

首先介紹作圖規律。

剪力圖，從左往右作圖時，向上的力引起正的剪力，向下的力引起負的剪力。在集中力作用處引起突變，突變值等于該集中力，突變方向與力的方向相同;在均布力作用區為傾斜直線，其斜率等于均布強度q，傾斜方向與力的方向相同;在無力作用區為水平直線;與力偶無關。從右向左作圖時，力反向即可。即：向上的力引起負的剪力，向下的力引起正的剪力，在集中力作用處引起突變，突變值等于該集中力，突變方向與力的方向相反;在均布力作用區為傾斜直線，其斜率等于均布強度q，傾斜方向與力的方向相反;在無力作用區為水平直線;與力偶無關。

彎矩圖，從左向右作圖。向上的力引起正的彎矩，向下的力引起負的彎矩。在集中力作用處出現尖角，在均布力作用區為拋物線，其開口方向與均布力方向相同;在無力作用區為傾斜直線，其斜率等于該截面上的剪力;在集中力偶矩作用處引起突變，突變值等于該集中力偶矩，順時針轉動的力偶引起正的突變，逆時針的力偶引起負的突變。特別要注意，在剪力等于零處，彎矩出現極值。從右向左作圖時，力不變，力偶反向。即向上的力引起正的彎矩，向下的力引起負的彎矩。在集中力作用處出現尖角，在均布力作用區為拋物線，其開口方向與均布力方向相反;在無力作用區為傾斜直線，其斜率等于該截面上的剪力;在集中力偶矩作用處引起突變，突變值等于該集中力偶矩，逆時針轉動的力偶引起正的突變，順時針的力偶引起負的突變。

下面通過作圖規律來作圖1外伸梁的剪力圖和彎矩圖。

對于剪力圖，從左往右，A端受到約束力作用，引起突變，力向上，向上突變，突變值等于該約束力7KN，在AC之間受到均布力作用，剪力圖為傾斜直線，其斜率等于均布強度1，力向下，向下傾斜，C點剪力等于A點剪力加上AC段均布力面積，力向下面積為負，力向上面積為正，得到C處剪力為3KN，然后在C處受到向下的集中力2KN，剪力圖向下突變2，CD段為均布力，繼續向下傾斜，AC段和CD段平行，通過類似計算得到D處剪力為3KN，作剪力圖時，D處彎矩不影響，BD段為無力作用區，剪力圖成水平直線，B處受向上的約束力，引起突變，繼續用作圖規律得到完整的剪力圖如圖2所示。從右往左作圖留給讀者自行練習。

對于彎矩圖，從左往右作圖，AC段為向下的均布力，其彎矩圖為開口向上的拋物線，C處彎矩等于AC段剪力圖的面積，剪力圖為正，面積為正，剪力圖為負，面積為負。CD段仍然受到向下的均布力，而且在其間有剪力等于零的截面，該處彎矩出現極值20.5KNm，在D處受到集中力偶矩作用，引起突變，突變值等于該集中力偶矩。BD段為無力作用區，為傾斜直線，斜率等于該截面上的剪力，繼續根據規律可畫出完整彎矩圖。

值得注意的是，無論是剪力圖還是彎矩圖都是封閉圖形。

結束語：綜上所述，通過總結出來的計算約束力方法和剪力圖彎矩圖作圖規律，可以避免列靜力平衡方程，各段的剪力方程和彎矩方程。根據外力直接作圖，思路清晰明確，直觀具體，使材料力學的解題更加簡單方便。

參考文獻：

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安徽理工大學重點教學研究項目（2019jyxm075）;理論力學慕課項目號：No.2017mooc117。

（安徽理工大學力學與光電物理學院 安徽淮南 232001）