經(jīng)典永流傳

高加來

從前，一個(gè)小伙子在A地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他知道老父親在B地病危的消息后，便立即啟程回家. 已知直線AC為驛道，路邊為沙地，驛道行走速度是沙地的兩倍. 由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短，所以選擇了全是沙地的直線路徑A→B（如圖1），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況.當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，父親剛剛咽了氣. 這個(gè)悲傷的故事就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸”問題.

請(qǐng)你在AC上選擇一點(diǎn)P作為拐彎點(diǎn)，使得小伙子回家的時(shí)間最短.

一、模型解讀

綜上，對(duì)于“胡不歸”最值問題，首先要學(xué)會(huì)識(shí)別“胡不歸”問題的兩個(gè)特征：（1）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng);（2）兩條線段中至少有一條線段的系數(shù)小于1（如果不是1可以先提取公因式）. 其次，由于“胡不歸”問題中的系數(shù)k實(shí)質(zhì)上是某一個(gè)角的三角函數(shù)值，因此尋找和系數(shù)有關(guān)的直線，或作垂線構(gòu)造必要的直角三角形成為處理這類問題的“法寶”.