“共頂點旋轉”的等邊三角形

欒長偉

旋轉變換是初中幾何的一種常見變換，下面以等邊三角形為背景，介紹如何利用旋轉變換破解幾何問題.

例 等邊三角形ABC中，∠BDC = 30°，A，D在BC同側，求證AD ?= AB.

分析：我們知道，等邊三角形三邊是相等的，所以大部分等邊三角形的問題都可以利用旋轉變換來解決：首先選取等邊三角形的一個頂點為旋轉中心，再將有公共頂點的兩條邊分別放到兩個三角形中，最后按照順時針或者逆時針的方向旋轉60°.

解法1：以B為旋轉中心，將BC放到△CBD中，繞點B逆時針旋轉60°.

如圖1，作∠ABE = ∠CBD，截取BE = BD，連接ED，EA，

∴△EBD是等邊三角形，∴△ABE ≌ △CBD，

∴∠BEA = ∠BDC = 30°，∴∠DEA = 30°，

∴△ABE ≌ △ADE，∴AB = AD.

解法2：以B為旋轉中心，將BA放到△ABD中，繞點B順時針旋轉60°.

如圖2，作∠CBE = ∠ABD，截取BE = BD，連接ED，EC，

∴△EBD是等邊三角形，

∴△ABD ≌ △CBE，∴CE = AD，

∵∠BDC = ∠EDC = 30°，∴△BDC ≌ △EDC，

∴BC = CE，∴BC = AD，∴AB = AD.

解法3：以C為旋轉中心，將BC放到△CBD中，繞點C順時針旋轉60°.

如圖3，作∠ACE = ∠BCD，截取CE = CD，連接ED，EA，

∴△CDE是等邊三角形，

∴△BCD ≌ △ACE，

∴∠BDC = ∠AEC = 30°，

∴∠CEA = ∠DEA = 30°，

∴△ACE ≌ △ADE，

∴AD = AC = AB.

解法4：以C為旋轉中心，將CD放到△CAD中，繞點C逆時針旋轉60°.

如圖4，作∠BCE = ∠ACD，截取CE = CD，連接ED，EB，

∴△CDE是等邊三角形，

∴△ACD ≌ △BCE，∴BE = AD，

∵∠EDB = ∠CDB = 30°，∴△EDB ≌ △CDB，

∴BE = BC，∴BC = AD，∴AB = AD.

解法5：以A為旋轉中心，將AB放到△ABD中，繞點A逆時針旋轉60°.

如圖5，作∠CAE = ∠BAD，截取AE = AD，連接ED，EC，設EC交BD于H，

∴△EAD是等邊三角形，

∴△ABD ≌ △ACE，

∴BD = CE，∠AEC = ∠ADB，

可得∠EHD = ∠EAD = 60°，

∵∠BDC = 30°，∴∠HCD = 30°，

∴△BDC ≌ △ECD，∴DE = BC，

∴AB = AD.

解法6：以A為旋轉中心，將AC放到△ACD中，繞點A順時針旋轉60°.

如圖6，作∠BAE = ∠CAD，截取AE = AD，連接ED，EB，延長BE，DC交于點H，

∴△EAD是等邊三角形，

∴△ABE ≌ △ACD，

∴BE = CD，∠ADC ≌ ∠AEB，

∴四邊形AEHD是對角互補四邊形，

∴∠BHD + ∠EAD = 180°，

∴∠BHD = 120°，

∵∠BDC = 30°，∴∠HBD = 30°，

∴△BDE ≌ △DBC，∴DE = BC，

∴AB = AD.

解法7：利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半.

如圖7，取BD中點N，連接AN，過點B作BM⊥DC交DC延長線于M，

∵∠BDC = 30°，

∴BM = [12BD] = BN，∠MBD = 60°，

又可得∠ABN = ∠CBM，

∴△ABN ≌ △CBM，

∴AN⊥BD，

∴AB = AD.

綜上所述，由于等邊三角形三邊相等，且相等的邊有公共端點，所以在解決等邊三角形問題時，我們通常“首選旋轉”，即以等邊三角形的三個頂點為旋轉中心，以60°為旋轉角，將相等的邊放到合適的三角形中順時針或逆時針進行旋轉，從而達到轉移線段或者轉移角的目的.

（作者單位：大連市甘井子區教師進修學校）