不變的“尾巴”

薛慧珠

提起大名鼎鼎的“雷霆數(shù)”，大家應(yīng)該不會(huì)陌生.比如：452 = 2025，把2025從中一分為二得到20和25，而20 + 25 = 45，又還原成平方數(shù)的底數(shù);再比如：552 = 3025，把3025從中一分為二得到30和25，而30 + 25 = 55，仍還原成平方數(shù)的底數(shù). 在此不一一枚舉.

現(xiàn)在的問(wèn)題是：計(jì)算[a52]有沒(méi)有快捷的方法？回答是肯定的，先寫25，然后用a × （a + 1），得到的積放在25之前，就是平方數(shù)的結(jié)果. 比如652，先寫25，再計(jì)算6 × 7 = 42，結(jié)果就是4225;再比如852，先寫25，再計(jì)算8 × 9 = 72，結(jié)果就是7225.

其中的數(shù)學(xué)原理是：[a52] = （a × 10 + 5）2 = a2 × 100 + 100a + 25 = （a2 + a） × 100 + 25 = a × （a + 1） × 100 + 25.

瞧出來(lái)了嗎？速算的方法只不過(guò)是等式右邊的通俗說(shuō)法而已，挺別出心裁吧！如果你已經(jīng)領(lǐng)會(huì)理解，那么請(qǐng)回答：[a25200]的末兩位數(shù)字是什么？相信大多數(shù)人都會(huì)脫口而出“25”，事實(shí)的確如此，根據(jù)上面的結(jié)論簡(jiǎn)單遞推就能斷定.

[a252]可以看作[A52]，不管前面的A如何變化，對(duì)末尾的25并無(wú)影響，即[A5][2]末兩位數(shù)字是25;而[A5][200] = （[A5][2]）100，類似的100次連續(xù)變化不會(huì)影響末兩位數(shù)字，即[a25200]末兩位數(shù)字仍是25. 而更一般的結(jié)論是：[a25] × [b25]的末兩位數(shù)字是25.

數(shù)學(xué)原理是：[a25] × [b25] = （100a + 25）（100b + 25） = 10000ab + 2500a + 2500b + 625 = 10000ab + 2500a + 2500b + 600 + 25 = ?（100ab + 25a + 25b + 6） × 100 + 25，乘積的末兩位數(shù)字顯然是25.

無(wú)獨(dú)有偶，美國(guó)第一任總統(tǒng)華盛頓于1776年宣布建國(guó)，1976年是建國(guó)200周年. 某中學(xué)的宣傳欄中出現(xiàn)了一道應(yīng)時(shí)應(yīng)景的趣題：1776200的最后兩位數(shù)字是什么？學(xué)生湯姆看到脫口而出：“這簡(jiǎn)單，還是76！”

其他同學(xué)有些納悶，問(wèn)其究竟，湯姆笑著解釋：762 = 5776，末兩位數(shù)字仍是76，沒(méi)有發(fā)生變化，這種數(shù)在數(shù)學(xué)上稱為“自守?cái)?shù)”，取自乘（平方）后還能保守著某些原本特征之意. 了解這個(gè)前提，就能判斷[A762]末兩位數(shù)字仍為76.

數(shù)學(xué)原理是：[A762]=（A × 100 + 76）2 = A2 × 10000 + 15200A + 762 = （A2 × 100 + 152A） × 100 + 5776 = （A2 × 100 + 152A + 57） × 100 + 76.

不難看出，[A76]平方數(shù)的末兩位數(shù)字就是762的末兩位數(shù)字，仍然是76. [A76][200]= （[A76]2）100，類似的100次連續(xù)變化顯然不會(huì)影響最后的兩位數(shù)，即[A76200]最后兩位數(shù)字依舊是76，1776200當(dāng)然也不例外. 而更一般的結(jié)論是：[a76] × [b76]的末兩位數(shù)字是76. 數(shù)學(xué)解釋并不復(fù)雜：[a76] × [b76] = （100a + 76）（100b + 76） = 10000ab + 7600a + 7600b + 5776 = 10000ab + 7600a + 7600b + 5700 + 76 = （100ab + 76a + 76b + 57） × 100 + 76，乘積的末兩位數(shù)字顯然是76.

怎么樣？從25到25，從76到76，變化之中保持本色，是不是讓你印象深刻？同學(xué)們對(duì)不變的“尾巴”中的數(shù)學(xué)緣由要做到心中有數(shù)喲！