構一次函數模型尋找最佳方案

徐海 黃健

模型構建：一般地，一次函數的圖象是一條直線，圖象沒有最高點，也沒有最低點. 然而，當其自變量的取值范圍受到一定限制時，其圖象可能是一條射線、一條線段或一條直線上的幾個點，從圖象上看，就有了最高點或最低點. （也就是一次函數有了最大值或最小值）

模型應用：（2019·山東·濱州）有甲、乙兩種客車，2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為180人，1輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為105人. ?（1）請問1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為多少人？（2）某學校組織240名師生集體外出活動，擬租用甲、乙兩種客車共6輛，一次將全部師生送到指定地點. 若每輛甲種客車的租金為400元，每輛乙種客車的租金為280元，請給出最節省費用的租車方案，并求出最低費用.

反思：構建一次函數，不僅要求出一次函數的關系式，而且要求出自變量的取值范圍.根據函數的性質，取自變量的端點值，求函數的對應值，即為函數的最小值（或最大值）. 利用一次函數的性質求最大值或最小值，不僅在實際生活和工作中有著廣泛的應用，而且在數學學習中有利于培養探究優選方案的能力，在中考時它備受命題者青睞.

（2019·江蘇·連云港）某工廠計劃生產甲、乙兩種產品共2500噸，每生產1噸甲種產品可獲得利潤0.3萬元，每生產1噸乙種產品可獲得利潤0.4萬元. 設該工廠生產了甲種產品x（噸），生產甲、乙兩種產品獲得的總利潤為y（萬元）. （1）求y與x之間的函數表達式;（2）若每生產1噸甲種產品需要A原料0.25噸，每生產1噸乙種產品需要A原料0.5噸. 受市場影響，該廠能獲得的A原料至多為1000噸，其他原料充足. 求出該工廠生產甲、乙兩種產品各為多少噸時，能獲得最大利潤.

答案：（1）y = - 0.1x + 1000（0 ≤ x ≤ 2500） （2）甲種產品1000噸，乙種產品1500噸