利用方差判斷說理

趙小冬

方差是反映一組數據波動大小的量，方差越大，數據的波動越大;方差越小，數據的波動就越小.應用這一結論，可以對一些生活實際問題進行判斷說理.

例1（2020·河南）為發展鄉村經濟，某村根據本地特色創辦了山藥粉加工廠. 該廠需購置一臺分裝機，計劃從商家推薦試用的甲、乙兩臺不同品牌的分裝機中選擇. 試用時，設定分裝的標準質量為每袋500 g，與之相差大于10 g為不合格. 為檢驗分裝效果，工廠對這兩臺機器分裝的成品進行了抽樣和分析，過程如下：

【收集數據】從甲、乙兩臺機器分裝的成品中各隨機抽取20袋，測得實際質量（單位： g）如下：

【整理數據】整理以上數據，得到每袋質量x（g）的頻數分布表.

【分析數據】根據以上數據，得到以下統計量.

[統計量 平均數 中位數 方差 不合格率 甲機器 499.7 501.5 42.01 b 乙機器 499.7 a 31.81 10% ]

根據以上信息，回答下列問題：

（2）綜合上表中的統計量，判斷工廠應選購哪一臺分裝機，并說明理由.

解析：（1）先將分裝機乙的統計量從小到大排序：487，490，491，493，498，499，499，499，499，501，501，501，502，502，502，503，505，505，506，511，其中第10個和第11個數據都是501. 根據中位數的概念，第10個和第11個數據的平均數是這20個數據的中位數a，因此中位數a = 501（g）;分裝機甲的統計量中與500 g相差大于10 g有3個，即不合格的有3袋，因此不合格率b = 3 ÷ 20 = 15%.

（2）工廠應該選購乙分裝機. 理由如下：比較甲、乙兩臺機器的統計量可知，兩臺分裝機統計量的平均數相同，甲的中位數高于乙的中位數，但相差不大，乙的方差較小，且不合格率更低，其穩定性更好.因此，乙分裝機的分裝效果更好，工廠應選購乙分裝機.

反思：從平均數與方差來看兩臺分裝機，平均數相同，乙的方差較小，因此乙分裝機的生產質量更穩定.在進行相關計算時，要認真仔細，謹防“一著不當，全盤皆輸”.

例2（2020·浙江·溫州）A，B兩家酒店規模相當，去年下半年的月盈利折線統計圖如圖1所示.

（1）要評價兩家酒店7～12月的月盈利平均水平，你選擇什么統計量？求出這個統計量.

（2）已知A，B兩家酒店7～12月的月盈利的方差分別為1.073（平方萬元）、0.54（平方萬元）. 根據所給的方差和你在（1）中所求的統計量，結合折線統計圖，你認為去年下半年哪家酒店經營狀況較好？請簡述理由.

解析：（1）要評價兩家酒店月盈利的平均水平，就是要比較兩家酒店月盈利的平均值，因此選擇兩家酒店月盈利的平均值.

（2）可以從盈利的平均數、方差和折線統計圖等方面來判斷去年下半年A，B兩家酒店的經營狀況.（答案不唯一，評分可分為三個等級.）

等級1：A酒店的經營狀況較好. 理由：A酒店月盈利的平均數為2.5萬元，B酒店月盈利的平均數為2.3萬元，再從折線統計圖看，A酒店去年下半年盈利逐月上升，發展勢頭很好.

等級2：A酒店的經營狀況較好. 理由：從平均數或者從折線統計圖一個角度說明理由.

等級3：①選A酒店，無理由或理由不合理;②選B酒店.理由：A酒店盈利的方差為1.073，B酒店盈利的方差為0.54，B酒店盈利情況較穩定.

反思：本題（2）的答案不唯一，有點“公說公有理，婆說婆有理”的味道，但評分有差異.在說明理由時，一定要注意掌握折線統計圖表達的實際意義.需要指出的是：（1）方差的作用是用來比較兩組數據的波動大小的，只有在數據的平均數相等或比較接近時，才能用這種方法，否則一般不用方差來比較數據的波動大小;（2）一般而言，一組數據的方差越小，這組數據就越穩定，因此有同學就認為在實際生活中方差越小越好，這種觀點是錯誤的，例如，要在全班選學生參加數學競賽，選拔成績的方差則越大越好，這樣有利于選拔優秀選手.