利用方差判斷說理

趙小冬

方差是反映一組數據波動大小的量，方差越大，數據的波動越大;方差越小，數據的波動就越小.應用這一結論，可以對一些生活實際問題進行判斷說理.

例1（2020·河南）為發展鄉村經濟，某村根據本地特色創辦了山藥粉加工廠. 該廠需購置一臺分裝機，計劃從商家推薦試用的甲、乙兩臺不同品牌的分裝機中選擇. 試用時，設定分裝的標準質量為每袋500 g，與之相差大于10 g為不合格. 為檢驗分裝效果，工廠對這兩臺機器分裝的成品進行了抽樣和分析，過程如下：

【收集數據】從甲、乙兩臺機器分裝的成品中各隨機抽取20袋，測得實際質量（單位： g）如下：

【整理數據】整理以上數據，得到每袋質量x（g）的頻數分布表.

【分析數據】根據以上數據，得到以下統計量.

[統計量 平均數 中位數 方差 不合格率 甲機器 499.7 501.5 42.01 b 乙機器 499.7 a 31.81 10% ]

根據以上信息，回答下列問題：

（2）綜合上表中的統計量，判斷工廠應選購哪一臺分裝機，并說明理由.

解析：（1）先將分裝機乙的統計量從小到大排序：487，490，491，493，498，499，499，499，499，501，501，501，502，502，502，503，505，505，506，511，其中第10個和第11個數據都是501. 根據中位數的概念，第10個和第11個數據的平均數是這20個數據的中位數a，因此中位數a = 501（g）;分裝機甲的統計量中與500 g相差大于10 g有3個，即不合格的有3袋，因此不合格率b = 3 ÷ 20 = 15%.

（2）工廠應該選購乙分裝機. 理由如下：比較甲、乙兩臺機器的統計量可知，兩臺分裝機統計量的平均數相同，甲的中位數高于乙的中位數，但相差不大，乙的方差較小，且不合格率更低，其穩定性更好.因此，乙分裝機的分裝效果更好，工廠應……