三角形內心與外接圓的變式探索

王鋒

與三角形的內心和外接圓有關的問題是中考的常見題型，本文以一道中考試題為例，變式探索如下.

引例（2019·湖北·荊門）如圖1，△ABC內心為I，連接AI并延長交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關系是（ ）.

A. DI=DB B. DI>DB C. DI

分析：觀察圖形，通過度量可以猜想DI=DB，那么如何說理呢？“等角對等邊”是我們證明線段相等常用的方法，為此，連接BI，構造△DBI，只需證∠DBI = ∠DIB即可，觀察圖形可以發現∠DBI = ∠CBI + ∠DBC，∠DIB = ∠ABI + ∠BAI，只需證明∠CBI = ∠ABI，∠DBC = ∠BAI即可，借助內心的性質及等弧所對的圓周角相等便可獲證.

點評：當三角形內心遇到三角形的外接圓時，解題中應當充分發揮由內心創造的條件——角平分線產生的相等的角，并靈活運用相等的圓周角所對弧相等、弦相等，相等的弧、弦所對的圓周角相等等關系，從而為問題的解決開辟光明大道.

點評：（1）當三角形的內心與三角形的外接圓牽手時，等弧、等弦便應運而生，因此易見△BDC是等腰三角形;（2）當圓中出現90°的圓周角時我們應聯想到直徑，同樣有直徑時，應想到相應圓周角為直角，從而利用勾股定理進行線段的計算與求值.

變式2：融入垂徑定理和切線，繼續探究問題的相關結論.

點評：本題的解題關鍵是從復雜圖形中分離出基本圖形，從而利用簡單圖形的性質解決問題.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）