幫你闖關(guān)“輔助線”（十二）

張鑫

旋轉(zhuǎn)是指在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，其作用主要是轉(zhuǎn)移等量. 平面幾何輔助線中，旋轉(zhuǎn)往往可以由“補(bǔ)形”的方法獲得，因此旋轉(zhuǎn)可以由作全等替代，但二者的不同之處在于旋轉(zhuǎn)可以帶來除圖形內(nèi)部角相等外的其他角的數(shù)量關(guān)系.

例1 如圖1，小方格都是邊長為1 的正方形. 求以格點(diǎn)為圓心，半徑為1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積.

分析：將不規(guī)則圖形割補(bǔ)成規(guī)則圖形，觀察題給圖形可以發(fā)現(xiàn)“互補(bǔ)”的部分. 整體上看，左右兩部分“葉狀”陰影圖案是軸對稱關(guān)系;局部看來，單獨(dú)的“葉狀”陰影圖案具有部分中心對稱的關(guān)系，由此奠定了割補(bǔ)的方向.

解：如圖1，連接AB，則陰影①可以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°到②的位置，從而在圖中左側(cè)形成一個半徑是2的90°弓形，由此可得陰影面積 = 2（S扇形AOB - S△AOB） = 2

-

×2×2 = 2π - 4.

點(diǎn)評：通過旋轉(zhuǎn)拼接出規(guī)則圖形是解決本題的關(guān)鍵.

例2 如圖2，△ABC中，AC = 4，BC = 6，求中線CD的取值范圍.

分析：題目求線段長度的取值范圍，容易聯(lián)想到三角形三邊關(guān)系定理，故可以考慮通過等量位移將分散的條件集中起來. 中點(diǎn)D將線段AB平分，提供了180°旋轉(zhuǎn)的先決條件.

解：∵CD是中線，

∴如圖2，將△CDB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，DE = DC，∠CDE = 180°，

則△ADE≌△BDC，∴AE = BC = 6.

在△ACE中，AE - AC < CE < AE + AC，

即6 - 4 < 2CD < 6 + 4，∴1 < CD < 5.

點(diǎn)評：通過旋轉(zhuǎn)將分散的條件等量位移后集中起來是解決本題的關(guān)鍵. 本題也可以通過延長CD至點(diǎn)E，使DE = DC來獲解.

例3 如圖3，在四邊形ABCD中，AB = AD，BC = 2，CD = 5，∠BAD = 60°，∠ABC + ∠ADC = 180°. 求AC的長.

分析：題給條件“AB = AD，∠ABC + ∠ADC = 180°”奠定了將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后與△ACD“合璧”為一個規(guī)則圖形的基礎(chǔ). 其中的“AB = AD”確保了拼接后兩條邊能重合，“∠ABC + ∠ADC = 180°”確保了拼接后C，D，E三點(diǎn)能共線.

解：如圖3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADE，

由旋轉(zhuǎn)可知△ABC≌△ADE，∴∠B = ∠ADE.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∴∠ADE + ∠ADC = 180°，

∴C，D，E三點(diǎn)在同一直線上.

又∵∠CAE = ∠CAD + ∠DAE = ∠CAD + ∠BAC = 60°，且AC = AE，

∴△ACE是等邊三角形，∴AC = CE = CD + DE = CD + BC = 5 + 2 = 7.

點(diǎn)評：通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)不規(guī)則圖形向規(guī)則圖形的等面積變換是解決本題的關(guān)鍵.

例4 如圖4，△ABC是等邊三角形，AB=，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn)，連接BH，CH，當(dāng)∠BHD=60°，∠AHC=90°時，求DH的長.

分析：題目求長度，雖然只給了一個已知長度，但可以通過等邊三角形的性質(zhì)得到另外兩邊的長度. 題給的直角無法直接應(yīng)用，故想到借助60°角進(jìn)行旋轉(zhuǎn)構(gòu)造新的等邊三角形，從而得到特殊的直角三角形.

解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC = 60°，AC = AB = .

如圖4，將△ABH繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBE，連接EH，

則∠EBH = 60°，BE = BH，CE = AH，

∴△BEH是等邊三角形，∴BE = EH，∠BHE = ∠BEH = 60° = ∠BHD，

∴點(diǎn)A，H，D，E在一條直線上，

∴∠BEC = ∠BHA = 180° - ∠BHE = 120°，則∠CEH = ∠BEC - ∠BEH = 60°.

∵∠AHC = 90°，∴∠EHC = 90°，∴∠HCE = 180° - ∠EHC - ∠HEC = 30°，

∴AH = CE = 2EH，CH = EH.

在Rt△AHC中，AH2 + CH2 = AC2，即（2EH）2 + （EH）2 = （）2，

∴EH = 1，CH = .

過點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，則BF = BE =? = CH，HF = BH = .

∵∠BFD = 90° = ∠CHD，∠BDF = ∠CDH，∴△BDF∽△CDH，∴ =? = ，

∴DH = 2DF = HF =? ×? = .

點(diǎn)評：通過旋轉(zhuǎn)將具有特定數(shù)量關(guān)系的邊和角集中在特殊三角形中，從而為解直角三角形創(chuàng)造條件是解決本題的關(guān)鍵. 本題也可以通過延長AD至點(diǎn)E，使HE = HB來求解.