中考數學常考思想（一）

徐長春

數學思想方法是數學的生命和靈魂，是把知識轉化為能力的橋梁，《數學課程標準》對此也明確提出要求. 因此對數學思想方法的考查是中考的一個重要內容，其中最常考的有三種：轉化思想、數形結合思想、分類討論思想. 本刊將分兩期進行介紹.

一、轉化思想

將一種研究對象在一定條件下轉化為另一種研究對象，具體表現在以下兩個方面.

1. 化復雜為簡單

例1 如圖1，四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，∠ABC = 2∠D，連接OA，OB，OC，AC，OB與AC相交于點E.

（1）求∠OCA的度數;

（2）若∠COB = 3∠AOB，OC = 2，求圖中陰影部分的面積. （結果保留π和根號）

解析：（1）∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，∴∠ABC + ∠D = 180°，

∵∠ABC = 2∠D，∴∠D + 2∠D = 180°，∴∠D = 60°，

∴∠AOC = 2∠D = 120°，

∵OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA，∴∠OCA =? = 30°;

（2）∵∠COB = 3∠AOB，∴∠AOC = ∠AOB + 3∠AOB = 120°，

∴∠AOB = 30°，∴∠COB = ∠AOC - ∠AOB = 90°，

在Rt△OCE中，OC = 2，

∴OE = OC·tan∠OCE = 2·tan 30° = 2× = 2，

∴S△OEC = OE·OC = ×2×2 = 2，

∵S扇形OBC =? = 3π，∴S陰影 = S扇形OBC - S△OEC = 3π - 2.

點評：求不規則的陰影部分的面積時常常將其轉化為幾個規則圖形的面積的和或差.

2. 化新為舊

例2（2019·遼寧·沈陽）2019年3月12日是新中國第41個植樹節，某單位積極開展植樹活動，決定購買甲、乙兩種樹苗，用800元購買甲種樹苗的棵數與用680元購買乙種樹苗的棵數相同，乙種樹苗每棵比甲種樹苗少6元.

（1）求甲種樹苗每棵多少元.

（2）若準備用3800元購買甲、乙兩種樹苗共100棵，則至少要購買乙種樹苗多少棵？

解析：（1）設甲種樹苗每棵x元，

根據題意得 = ，解得x = 40，

經檢驗：x = 40是原分式方程的解，

答：甲種樹苗每棵40元.

（2）設購買乙種樹苗y棵，

根據題意得40（100 - y） + （40 - 6）y ≤ 3800，解得y ≥ 33，

∵y是正整數，∴y最小取34.

答：至少要購買乙種樹苗34棵.

點評：學習新知識時，要將其轉化為已學過的知識.

二、數形結合思想

所謂數形結合是指將抽象的數學語言與形象直觀的圖形結合起來，從而實現由抽象向具體轉化的一種思維方式，主要表現在以下兩個方面.

1. 以形助數

例3（2018·遼寧·沈陽）在平面直角坐標系中，一次函數y = kx + b的圖象如圖2所示，則k和b的取值范圍是（ ）.

A. k > 0，b > 0 B. k > 0，b < 0 C. k < 0，b > 0 D. k < 0，b < 0

解析：∵一次函數y = kx + b的圖象經過第一、二、四象限，

∴k < 0，b > 0. 故選C.

點評：根據所給一次函數的圖象來判斷k和b的正負，是解題的關鍵.

2. 以數助形

例4 在平面直角坐標系中，一次函數y = x - 1的圖象是（ ）.

A ? B ? C ? D

解析：∵k = 1 > 0，b = -1 < 0，∴函數圖象經過第一、三、四象限，

故選B.

點評：通過一次函數的表達式來判斷函數所經過的象限，是解題關鍵.