慧眼明辨有無(wú)根

劉斯文

對(duì)于含有字母參數(shù)的整式方程，已知方程根的情況求字母取值或取值范圍時(shí)，往往需要根據(jù)題目中隱含的條件進(jìn)行求解. 為幫助同學(xué)們熟練掌握此類(lèi)問(wèn)題的類(lèi)型及解法，下面分類(lèi)介紹.

類(lèi)型一：已知條件是一元二次方程

例1（2019·新疆）若關(guān)于x的一元二次方程（k - 1）x2 + x + 1 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）.

A. k ≤ B. k >

C. k < 且k≠1 D. k≤且k≠1

解析：∵關(guān)于x的一元二次方程（k - 1）x2 + x + 1 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴Δ = 12 - 4×（k - 1）×1 ≥ 0且k - 1≠0，

解得k≤且k≠1.

故選D.

例2（2019·安徽·合肥）若關(guān)于x的一元二次方程bx2 + 2bx + 4 = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b的值為（ ）.

A. 0 B. 4

C. 0 或 4 D. 0 或-4

解析：根據(jù)題意得Δ = （2b）2 - 4×4×b = 4b2 - 16b = 0，

解得b = 4或b = 0（舍去）.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)條件明確整式方程是一元二次方程時(shí)，要注意“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”這一隱含條件.

類(lèi)型二：已知條件是兩個(gè)實(shí)數(shù)根

例3（2019·山東·棗莊）已知關(guān)于x的方程ax2 + 2x - 3 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是 .

解析：∵關(guān)于x的方程ax2 + 2x - 3 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ = 22 - 4a×（-3） = 4 + 12a > 0且a≠0，

解得a > -且a≠0.

故填a > -且a≠0.

例4（2019·河南）關(guān)于x的方程（k - 1）x2 + 2x + 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的最大整數(shù)值為 .

解析：∵關(guān)于x的方程（k - 1）x2 + 2x + 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ = 22 - 4（k - 1） > 0且k - 1 ≠0，

解得k < 2且k≠1，

∴k的最大整數(shù)值為0.

故填0.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)條件明確整式方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)質(zhì)是說(shuō)明整式方程是一元二次方程，從而要注意“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”這一隱含條件.

類(lèi)型三：已知條件是有實(shí)數(shù)根

例5（2019·山東·東營(yíng)）若關(guān)于x的方程kx2 - x -? = 0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）.

A. k = 0 B. k≥ -且k≠0 C. k≥ - D. k > -

解析：（1）當(dāng)k = 0時(shí)，此時(shí)方程為-x -? = 0，解得x = -，原方程有實(shí)數(shù)根;

（2）當(dāng)k≠0時(shí)，Δ = 1 - 4k×

- = 1 + 3k ≥ 0，

∴k ≥ -且k≠0.

綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是k ≥ -.

故選C.

例6（2019·福建·晉江）已知關(guān)于x的方程（2m - 1）x2 - （2m + 1）x + 1 = 0. 求證：不論m為何值，方程必有實(shí)數(shù)根.

解析：（1）當(dāng)2m - 1 = 0即m = 時(shí)，

此時(shí)方程是一元一次方程，其根為x = ，符合題意;

（2）當(dāng)2m - 1≠0即m≠時(shí)，

Δ = [-（2m + 1）]2 - 4（2m - 1） =? （2m - 1）2 + 4 > 0，

∴當(dāng)m≠時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

綜上所述，不論m為何值，方程必有實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目條件含“有實(shí)數(shù)根”時(shí)，由于沒(méi)有明確方程是一元二次方程，且沒(méi)有明確是有多少個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)需要分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情況求解.