關于載流長直螺線管磁場的討論
2014-09-16 14:39:12梁麗萍
教育教學論壇 2014年18期
摘要：本文從畢奧—薩伐爾定律出發(fā)，先求出單匝載流圓線圈周圍任一點的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加計算了載流長直螺線管內(nèi)任一點的磁感強度；同時從理論上證明了載流長直螺線管外部磁長是零的結(jié)論。
關鍵詞：長直螺線管；磁感強度；畢奧—薩伐爾定律
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）18-0106-03
在許多大學物理教材中，關于單層均勻密繞載流長直螺線管（以下簡稱載流長直螺線管）的磁場[1]，一般是先利用畢奧-薩伐爾定律計算出單匝載流園線圈軸線上一點的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加計算出單層均勻密繞載流直螺線管內(nèi)軸線上一點的磁感強度。這種做法只能得到長直螺旋管軸線上磁場的磁感強度。要得到長直螺旋管內(nèi)任意一點的磁感強度，需利用磁場安培環(huán)路定律[2]。如圖1所示，設矩形環(huán)路abcd，根據(jù)對稱性可知在ad和bc線段上磁場對環(huán)路無貢獻；改變cd的位置（同時ad和bc線段的長度），使得cd與軸線重合。則可以推知載流長直螺線管內(nèi)部磁感強度與位置無關（即均勻磁場）、磁感強度為B=μnI，進一步可證明載流長直螺線管外部的磁場為零。這種推導綜合利用了畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定律以及對稱性原理。
事實上，載流長直螺線管內(nèi)外任意一點的磁場可直接從畢奧-薩伐爾定律求解，相對于如上所示的做法更加直觀。本文從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，先計算單匝載流圓線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度；再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加求出單層均勻密繞載流長直螺線管內(nèi)外任一點的磁感強度。
一、載流圓線圈的磁場
圖2 單匝載流圓線圈與坐標關系
首先考察單匝載流圓線圈在其周圍空間任一點激發(fā)的磁場。設有單匝載流圓線圈，其半徑為R，通有電流I，計算在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度。如圖2（a）所示，選取坐標，在載流圓線圈A點處，取一電流元Id■，考察它在其周圍任一點P所產(chǎn)生的磁感強度。圖2（b）為其側(cè)視圖，■l為電流元單位矢量。取A點位置為（xA，yA，zA），P點位置為（xP，yP，0）。則任意電流元：
Id■=IRdθ■l=IRdθ（-sinθ■+cosθ■） （1）
其中：
xA=Rcosθ xP=rP cosφ （2）
yA=Rsinθ yP=rP sinφ
■=■=（xP-xA）■+（yP-yA）■-zA■（3）
根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，電流元Id■在P點產(chǎn)生的磁場[3]：
d■=■■ （4）
d■=■dθ■
=■dθ■ （5）
則載流圓線圈在P點產(chǎn)生的總磁場為：
■=■d■=■■dθ■ （6）
其中，
r=AP=■ （7）
（6）式即為單匝載流圓線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的總磁場。
二、載流長直螺線管的磁場
下面根據(jù)此式并利用等效電流疊加求出載流長直螺線管內(nèi)外任一點的磁場。
對于載流長直螺線管，其剖面圖如圖3所示，在螺線管上沿軸向任取一小段dZA，那么這一小段上的線圈相當于電流為IndZA的一載流圓線圈，其中I為通電電流、n為單位長度的匝數(shù)。根據(jù)（6）式可知，這一等效載流圓線圈在任一點P所產(chǎn)生的磁感強度為
d■=■dZA■dθ■ （8）
圖3 長直螺旋管剖面圖
因此整個載流長直螺線管在任一點P所產(chǎn)生的總磁感強度可以通過對dzA在無窮長區(qū)間積分得到：
■=■d■=■■dzA■dθ■
=■■dθ-■+■■dzA
=■■■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■（9）
根據(jù)2（a），P和C點都在oxy平面內(nèi)，存在幾何關系
h=PC=■
sinα=■
zA=-hcotα （10）
對（10）式中最后一個等式的兩邊微分：
dzA=hcsc2 αdα （11）
將上式代入（9）式可得
■=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■
=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■
=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）h-2■sin αdα
=■■·■■dθ （12）
在以上推導過程中，沒有對P點的位置做任何約束，P點可以是長直螺旋管內(nèi)部任意一點（對應rP=■）
（a）當rP （13） （b）當rP>R時：■■dθ=0，■=0 （14） （c）當rP=R時：■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （15） 上述三種情況中，第一種情況對應了長直螺旋管內(nèi)部任意一點的磁場，第二種情況對應長直螺旋管外部任意一點的磁場，而第三種情況計算的是螺線管的管面電流層中心位置的磁場。通常情況下所謂的載流長直螺線管是指該螺線管可視為“無限長”亦即螺線管的長度遠大于其直徑且單層均勻密繞載流螺線管厚度可以忽略不計的這樣一個物理模型。而實際上不存在“無限長”且厚度可忽略的理想情況，但在研究物理問題的時候，可作近似處理，把它抽象為一理想載流長直螺線管模型。因此，一般情況下（15）式對考察載流長直螺線管的磁場沒有物理意義，可舍棄。但是，從物理意義上來講，當載流長直螺線管的電流層厚度必須考慮時，電流層中的磁場將從螺旋管內(nèi)部的μ0n I逐漸降低到外部的零。從以上理論計算可見，從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，先計算出單匝載流園線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加求出載流長直螺線管內(nèi)任一點的磁感強度為μ0n I，載流長螺線管外部磁感強度是零。與一般大學物理教材中利用磁場中的安培環(huán)路定律來求得的結(jié)果是一樣的。 參考文獻： [1]程守珠，江之永.普通物理學上冊（第六版）[M].北京高等教育出版社，2006：343—344. [2]程守珠，江之永.普通物理學上冊（第六版）.北京：高等教育出版社，2006：351—352. [3]王少杰，顧牡，毛俊健.大學物理上冊第二版[M].同濟大學出版社，2002：222. 附錄 公式（12）中積分式的推導 利用公式（2）和rP=■），積分式做如下變換： ■■dθ=■■dθ （F1） 設r=rP/R和φ=θ-φ，則可進一步得到： ■■dθ=■■dφ =π+■■■dφ （F2） 當r=1時： ■■dφ=■■dφ =■■dφ=π （F3） 當r≠1時，存在： ■■dφ=2■■d■ 2■■dβ =4■■dβ =■■■■d■tanβ （F4） 令t=■tanβ，則有 ■■■■d■tanβ =■■■■dt=■■■=■（F5） 因此： ■■dθ=π1+■=2π r<10 r>1 （F6） 綜合（F3）和（F6）有： ■■dθ=2π r<1π r=10 r>1 （F7） 所以，（a）當r<1，即rP ■■dθ=2π，■=μ0n I■（F8） （b）當r>1，即rP>R，亦即在載流長直螺線管外部任一點： ■■dθ=0，■=0 （F9） （c）當r=1，即rP=R時，在電流層中心位置： ■■dθ=■■dθ=■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （F10） 基金項目：上海市大學物理精品課程建設資助項目。 作者簡介：梁麗萍（1963-），女，湖南會同人，理學碩士，上海理工大學《大學物理》課程骨干講師，主要從事大學物理等教學，以及光學、凝聚態(tài)物理等研究。
摘要：本文從畢奧—薩伐爾定律出發(fā)，先求出單匝載流圓線圈周圍任一點的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加計算了載流長直螺線管內(nèi)任一點的磁感強度；同時從理論上證明了載流長直螺線管外部磁長是零的結(jié)論。
關鍵詞：長直螺線管；磁感強度；畢奧—薩伐爾定律
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）18-0106-03
在許多大學物理教材中，關于單層均勻密繞載流長直螺線管（以下簡稱載流長直螺線管）的磁場[1]，一般是先利用畢奧-薩伐爾定律計算出單匝載流園線圈軸線上一點的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加計算出單層均勻密繞載流直螺線管內(nèi)軸線上一點的磁感強度。這種做法只能得到長直螺旋管軸線上磁場的磁感強度。要得到長直螺旋管內(nèi)任意一點的磁感強度，需利用磁場安培環(huán)路定律[2]。如圖1所示，設矩形環(huán)路abcd，根據(jù)對稱性可知在ad和bc線段上磁場對環(huán)路無貢獻；改變cd的位置（同時ad和bc線段的長度），使得cd與軸線重合。則可以推知載流長直螺線管內(nèi)部磁感強度與位置無關（即均勻磁場）、磁感強度為B=μnI，進一步可證明載流長直螺線管外部的磁場為零。這種推導綜合利用了畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定律以及對稱性原理。
事實上，載流長直螺線管內(nèi)外任意一點的磁場可直接從畢奧-薩伐爾定律求解，相對于如上所示的做法更加直觀。本文從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，先計算單匝載流圓線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度；再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加求出單層均勻密繞載流長直螺線管內(nèi)外任一點的磁感強度。
一、載流圓線圈的磁場
圖2 單匝載流圓線圈與坐標關系
首先考察單匝載流圓線圈在其周圍空間任一點激發(fā)的磁場。設有單匝載流圓線圈，其半徑為R，通有電流I，計算在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度。如圖2（a）所示，選取坐標，在載流圓線圈A點處，取一電流元Id■，考察它在其周圍任一點P所產(chǎn)生的磁感強度。圖2（b）為其側(cè)視圖，■l為電流元單位矢量。取A點位置為（xA，yA，zA），P點位置為（xP，yP，0）。則任意電流元：
Id■=IRdθ■l=IRdθ（-sinθ■+cosθ■） （1）
其中：
xA=Rcosθ xP=rP cosφ （2）
yA=Rsinθ yP=rP sinφ
■=■=（xP-xA）■+（yP-yA）■-zA■（3）
根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，電流元Id■在P點產(chǎn)生的磁場[3]：
d■=■■ （4）
d■=■dθ■
=■dθ■ （5）
則載流圓線圈在P點產(chǎn)生的總磁場為：
■=■d■=■■dθ■ （6）
其中，
r=AP=■ （7）
（6）式即為單匝載流圓線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的總磁場。
二、載流長直螺線管的磁場
下面根據(jù)此式并利用等效電流疊加求出載流長直螺線管內(nèi)外任一點的磁場。
對于載流長直螺線管，其剖面圖如圖3所示，在螺線管上沿軸向任取一小段dZA，那么這一小段上的線圈相當于電流為IndZA的一載流圓線圈，其中I為通電電流、n為單位長度的匝數(shù)。根據(jù)（6）式可知，這一等效載流圓線圈在任一點P所產(chǎn)生的磁感強度為
d■=■dZA■dθ■ （8）
圖3 長直螺旋管剖面圖
因此整個載流長直螺線管在任一點P所產(chǎn)生的總磁感強度可以通過對dzA在無窮長區(qū)間積分得到：
■=■d■=■■dzA■dθ■
=■■dθ-■+■■dzA
=■■■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■（9）
根據(jù)2（a），P和C點都在oxy平面內(nèi)，存在幾何關系
h=PC=■
sinα=■
zA=-hcotα （10）
對（10）式中最后一個等式的兩邊微分：
dzA=hcsc2 αdα （11）
將上式代入（9）式可得
■=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■
=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■
=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）h-2■sin αdα
=■■·■■dθ （12）
在以上推導過程中，沒有對P點的位置做任何約束，P點可以是長直螺旋管內(nèi)部任意一點（對應rP=■）
（a）當rP （13） （b）當rP>R時：■■dθ=0，■=0 （14） （c）當rP=R時：■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （15） 上述三種情況中，第一種情況對應了長直螺旋管內(nèi)部任意一點的磁場，第二種情況對應長直螺旋管外部任意一點的磁場，而第三種情況計算的是螺線管的管面電流層中心位置的磁場。通常情況下所謂的載流長直螺線管是指該螺線管可視為“無限長”亦即螺線管的長度遠大于其直徑且單層均勻密繞載流螺線管厚度可以忽略不計的這樣一個物理模型。而實際上不存在“無限長”且厚度可忽略的理想情況，但在研究物理問題的時候，可作近似處理，把它抽象為一理想載流長直螺線管模型。因此，一般情況下（15）式對考察載流長直螺線管的磁場沒有物理意義，可舍棄。但是，從物理意義上來講，當載流長直螺線管的電流層厚度必須考慮時，電流層中的磁場將從螺旋管內(nèi)部的μ0n I逐漸降低到外部的零。從以上理論計算可見，從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，先計算出單匝載流園線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加求出載流長直螺線管內(nèi)任一點的磁感強度為μ0n I，載流長螺線管外部磁感強度是零。與一般大學物理教材中利用磁場中的安培環(huán)路定律來求得的結(jié)果是一樣的。 參考文獻： [1]程守珠，江之永.普通物理學上冊（第六版）[M].北京高等教育出版社，2006：343—344. [2]程守珠，江之永.普通物理學上冊（第六版）.北京：高等教育出版社，2006：351—352. [3]王少杰，顧牡，毛俊健.大學物理上冊第二版[M].同濟大學出版社，2002：222. 附錄 公式（12）中積分式的推導 利用公式（2）和rP=■），積分式做如下變換： ■■dθ=■■dθ （F1） 設r=rP/R和φ=θ-φ，則可進一步得到： ■■dθ=■■dφ =π+■■■dφ （F2） 當r=1時： ■■dφ=■■dφ =■■dφ=π （F3） 當r≠1時，存在： ■■dφ=2■■d■ 2■■dβ =4■■dβ =■■■■d■tanβ （F4） 令t=■tanβ，則有 ■■■■d■tanβ =■■■■dt=■■■=■（F5） 因此： ■■dθ=π1+■=2π r<10 r>1 （F6） 綜合（F3）和（F6）有： ■■dθ=2π r<1π r=10 r>1 （F7） 所以，（a）當r<1，即rP ■■dθ=2π，■=μ0n I■（F8） （b）當r>1，即rP>R，亦即在載流長直螺線管外部任一點： ■■dθ=0，■=0 （F9） （c）當r=1，即rP=R時，在電流層中心位置： ■■dθ=■■dθ=■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （F10） 基金項目：上海市大學物理精品課程建設資助項目。 作者簡介：梁麗萍（1963-），女，湖南會同人，理學碩士，上海理工大學《大學物理》課程骨干講師，主要從事大學物理等教學，以及光學、凝聚態(tài)物理等研究。
摘要：本文從畢奧—薩伐爾定律出發(fā)，先求出單匝載流圓線圈周圍任一點的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加計算了載流長直螺線管內(nèi)任一點的磁感強度；同時從理論上證明了載流長直螺線管外部磁長是零的結(jié)論。
關鍵詞：長直螺線管；磁感強度；畢奧—薩伐爾定律
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）18-0106-03
在許多大學物理教材中，關于單層均勻密繞載流長直螺線管（以下簡稱載流長直螺線管）的磁場[1]，一般是先利用畢奧-薩伐爾定律計算出單匝載流園線圈軸線上一點的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加計算出單層均勻密繞載流直螺線管內(nèi)軸線上一點的磁感強度。這種做法只能得到長直螺旋管軸線上磁場的磁感強度。要得到長直螺旋管內(nèi)任意一點的磁感強度，需利用磁場安培環(huán)路定律[2]。如圖1所示，設矩形環(huán)路abcd，根據(jù)對稱性可知在ad和bc線段上磁場對環(huán)路無貢獻；改變cd的位置（同時ad和bc線段的長度），使得cd與軸線重合。則可以推知載流長直螺線管內(nèi)部磁感強度與位置無關（即均勻磁場）、磁感強度為B=μnI，進一步可證明載流長直螺線管外部的磁場為零。這種推導綜合利用了畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定律以及對稱性原理。
事實上，載流長直螺線管內(nèi)外任意一點的磁場可直接從畢奧-薩伐爾定律求解，相對于如上所示的做法更加直觀。本文從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，先計算單匝載流圓線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度；再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加求出單層均勻密繞載流長直螺線管內(nèi)外任一點的磁感強度。
一、載流圓線圈的磁場
圖2 單匝載流圓線圈與坐標關系
首先考察單匝載流圓線圈在其周圍空間任一點激發(fā)的磁場。設有單匝載流圓線圈，其半徑為R，通有電流I，計算在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度。如圖2（a）所示，選取坐標，在載流圓線圈A點處，取一電流元Id■，考察它在其周圍任一點P所產(chǎn)生的磁感強度。圖2（b）為其側(cè)視圖，■l為電流元單位矢量。取A點位置為（xA，yA，zA），P點位置為（xP，yP，0）。則任意電流元：
Id■=IRdθ■l=IRdθ（-sinθ■+cosθ■） （1）
其中：
xA=Rcosθ xP=rP cosφ （2）
yA=Rsinθ yP=rP sinφ
■=■=（xP-xA）■+（yP-yA）■-zA■（3）
根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，電流元Id■在P點產(chǎn)生的磁場[3]：
d■=■■ （4）
d■=■dθ■
=■dθ■ （5）
則載流圓線圈在P點產(chǎn)生的總磁場為：
■=■d■=■■dθ■ （6）
其中，
r=AP=■ （7）
（6）式即為單匝載流圓線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的總磁場。
二、載流長直螺線管的磁場
下面根據(jù)此式并利用等效電流疊加求出載流長直螺線管內(nèi)外任一點的磁場。
對于載流長直螺線管，其剖面圖如圖3所示，在螺線管上沿軸向任取一小段dZA，那么這一小段上的線圈相當于電流為IndZA的一載流圓線圈，其中I為通電電流、n為單位長度的匝數(shù)。根據(jù)（6）式可知，這一等效載流圓線圈在任一點P所產(chǎn)生的磁感強度為
d■=■dZA■dθ■ （8）
圖3 長直螺旋管剖面圖
因此整個載流長直螺線管在任一點P所產(chǎn)生的總磁感強度可以通過對dzA在無窮長區(qū)間積分得到：
■=■d■=■■dzA■dθ■
=■■dθ-■+■■dzA
=■■■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■（9）
根據(jù)2（a），P和C點都在oxy平面內(nèi)，存在幾何關系
h=PC=■
sinα=■
zA=-hcotα （10）
對（10）式中最后一個等式的兩邊微分：
dzA=hcsc2 αdα （11）
將上式代入（9）式可得
■=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■
=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■
=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）h-2■sin αdα
=■■·■■dθ （12）
在以上推導過程中，沒有對P點的位置做任何約束，P點可以是長直螺旋管內(nèi)部任意一點（對應rP=■）
（a）當rP （13） （b）當rP>R時：■■dθ=0，■=0 （14） （c）當rP=R時：■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （15） 上述三種情況中，第一種情況對應了長直螺旋管內(nèi)部任意一點的磁場，第二種情況對應長直螺旋管外部任意一點的磁場，而第三種情況計算的是螺線管的管面電流層中心位置的磁場。通常情況下所謂的載流長直螺線管是指該螺線管可視為“無限長”亦即螺線管的長度遠大于其直徑且單層均勻密繞載流螺線管厚度可以忽略不計的這樣一個物理模型。而實際上不存在“無限長”且厚度可忽略的理想情況，但在研究物理問題的時候，可作近似處理，把它抽象為一理想載流長直螺線管模型。因此，一般情況下（15）式對考察載流長直螺線管的磁場沒有物理意義，可舍棄。但是，從物理意義上來講，當載流長直螺線管的電流層厚度必須考慮時，電流層中的磁場將從螺旋管內(nèi)部的μ0n I逐漸降低到外部的零。從以上理論計算可見，從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，先計算出單匝載流園線圈在其周圍任一點所產(chǎn)生的磁感強度，再根據(jù)這一結(jié)論，利用等效電流疊加求出載流長直螺線管內(nèi)任一點的磁感強度為μ0n I，載流長螺線管外部磁感強度是零。與一般大學物理教材中利用磁場中的安培環(huán)路定律來求得的結(jié)果是一樣的。 參考文獻： [1]程守珠，江之永.普通物理學上冊（第六版）[M].北京高等教育出版社，2006：343—344. [2]程守珠，江之永.普通物理學上冊（第六版）.北京：高等教育出版社，2006：351—352. [3]王少杰，顧牡，毛俊健.大學物理上冊第二版[M].同濟大學出版社，2002：222. 附錄 公式（12）中積分式的推導 利用公式（2）和rP=■），積分式做如下變換： ■■dθ=■■dθ （F1） 設r=rP/R和φ=θ-φ，則可進一步得到： ■■dθ=■■dφ =π+■■■dφ （F2） 當r=1時： ■■dφ=■■dφ =■■dφ=π （F3） 當r≠1時，存在： ■■dφ=2■■d■ 2■■dβ =4■■dβ =■■■■d■tanβ （F4） 令t=■tanβ，則有 ■■■■d■tanβ =■■■■dt=■■■=■（F5） 因此： ■■dθ=π1+■=2π r<10 r>1 （F6） 綜合（F3）和（F6）有： ■■dθ=2π r<1π r=10 r>1 （F7） 所以，（a）當r<1，即rP ■■dθ=2π，■=μ0n I■（F8） （b）當r>1，即rP>R，亦即在載流長直螺線管外部任一點： ■■dθ=0，■=0 （F9） （c）當r=1，即rP=R時，在電流層中心位置： ■■dθ=■■dθ=■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （F10） 基金項目：上海市大學物理精品課程建設資助項目。 作者簡介：梁麗萍（1963-），女，湖南會同人，理學碩士，上海理工大學《大學物理》課程骨干講師，主要從事大學物理等教學，以及光學、凝聚態(tài)物理等研究。
