例談分類討論的依據(jù)

張蔡莉

摘?要：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過把一個(gè)復(fù)雜的問題分割成若干個(gè)簡單的問題，再逐一解決，歸納整理.本文將分類討論題型的解題思路歸納成“尋找變量的臨界值”、“劃分變量區(qū)域”、“分區(qū)間討論” 三個(gè)步驟，借助幾個(gè)典型的考題進(jìn)行闡述，做到化整為零，討論不重不漏.

關(guān)鍵詞：不等式;分類討論;分界點(diǎn);最值;單調(diào)性

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0024-02

分類討論貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)，對學(xué)生分析問題，解決問題的有很大的作用.高中數(shù)學(xué)分類討論主要有兩種類型：一，對參數(shù)進(jìn)行討論，求自變量的取值范圍.二，給出某個(gè)結(jié)論，求參數(shù)的取值范圍.學(xué)生思維能力不強(qiáng)， 經(jīng)常分不清是否需要討論，討論的依據(jù)是什么，以及分幾種情況進(jìn)行討論.

本文通過：第一，求出變量的臨界值，即變量的分界點(diǎn);第二，在數(shù)軸上按照分界點(diǎn)的大小，將變量的取值劃分成不同區(qū)間;第三，按從小到大的順序，在各個(gè)區(qū)間中依次進(jìn)行討論;第四，積零為整，適當(dāng)歸納總結(jié).做到分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏.

一、由數(shù)學(xué)概念引起的討論，如“圓錐曲線”，“絕對值”等

例1?（2017全國課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|，

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）≥g（x）的解集;

（2）略.

分析?由f（x）≥g（x）得， x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.根據(jù)絕對值的定義：被絕對值的數(shù)x+1，x-1需要和0比較大小，因此，在數(shù)軸上-1，1是自變量x的分界點(diǎn)，按照從小到大，分成x≤-1，-1<x<1以及x≥1三種情況討論，從而把問題轉(zhuǎn)化成解不等式組和集合間的運(yùn)算.

二、由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的討論，如“給定區(qū)間”，“某個(gè)新函數(shù)的定義域”等

例2?（2014四川高考）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值;

（2）略.

分析?函數(shù)的最值和單調(diào)性有關(guān)，由g′（x）=ex-2a，令g′（x）=0，得到極值點(diǎn)x=ln（2a），此時(shí)由于計(jì)算引起的保證真數(shù)2a>0，得到參數(shù)a的第1個(gè)分界點(diǎn)0;另一方面，由于受給定區(qū)間的限制，還需要考慮極值點(diǎn)x=ln（2a）是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)，即要比較ln（2a）與0，1的大小關(guān)系，得到第2和3個(gè)分界點(diǎn)：12，e2.這樣按照數(shù)軸上從小到大，分成a≤0，0<a<12，12≤a≤e2和a>e2四種情況進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，在區(qū)間[0，1]內(nèi)，g′（x）>0，故y=

g（x）在[0，1]內(nèi)遞增，g（x）的最小值為g（0）.

（2）當(dāng)0<a<12時(shí)，在區(qū)間[0，1]內(nèi)，g′（x）>0，y=g（x）在[0，1]內(nèi)遞增，g（x）的最小值為g（0）.

（3）當(dāng)12≤a≤e2時(shí)，在區(qū)間[0， ln2a]內(nèi)，g′（x）<0，故y=g（x）在[0， ln2a]?內(nèi)遞減，

在區(qū)間[ln2a，1]內(nèi)，g′（x）>0在區(qū)間[ln2a，1]內(nèi)遞增，g（x）的最小值為g（ln2a）.

（4）當(dāng)a>e2時(shí)，在區(qū)間[0，1]內(nèi)，g′（x）<0，y=g（x）在[0，1]內(nèi)遞減，g（x）的最小值為g（1）.

然后再積零為整，利用集合運(yùn)算，歸納總結(jié)，從而求出函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最小值.

三、由圖象的位置引起的討論，如“一元二次函數(shù)”，“指數(shù)函數(shù)”，“對數(shù)函數(shù)”圖象等

例3?已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）略.

分析?函數(shù)的單調(diào)性和其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號有關(guān).由f ′（x）=（ex+2a）（x-1），令f ′（x）=0，得到極值點(diǎn)x=1和x=ln（-2a）.首先保證真數(shù)-2a>0，得到參數(shù)a的第1個(gè)分界點(diǎn)0;其次兩根1和ln（-2a）比較大小，得到第2個(gè)分界點(diǎn)-e2.按照參數(shù)a在數(shù)軸上從小到大的位置，分成a<-e2，a=-e2，-e2<a<0和a≥0四種情況討論.

例4?（2014全國課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=alnx+1-a2x2-bx（a≠1），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0.

（1）求b;

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）<aa-1，求參數(shù)a的取值范圍.

分析?（2）由給出的結(jié)論：不等式f（x0）<aa-1有解，得到在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)，求出函數(shù)f（x）的最小值，使得aa-1>f（x）min即可.因?yàn)閒 ′（x）=1-ax（x-a1-a）（x-1）為分式形式，在x≥1時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=（1-a）（x-a1-a）（x-1）.這時(shí)需要考慮函數(shù)的開口，和兩根的大小，因此二次型系數(shù)（1-a）和0比較大小，得到第一個(gè)分界點(diǎn)1;兩根a1-a和1比較大小，得到第二個(gè)分界點(diǎn)12.按照參數(shù)a從小到大的順序，分成a≤12，12<a<1，和a>1三種情況討論.

由上可見，不等式的討論覆蓋知識點(diǎn)多，范圍廣，難度大.但萬變不離其宗，其核心思想還是抓住要求的變量，統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)，找出分界點(diǎn)，在同級中劃分區(qū)域逐步討論，才能做到思路嚴(yán)謹(jǐn)，不缺不漏.

參考文獻(xiàn)：

[1]莫祚銀.淺談分類討論思想[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（04）：94-112.

[2]陳傳春.函數(shù)策略處理不等式恒成立問題[J].數(shù)學(xué)之友，2012（4）：64-66.

[責(zé)任編輯：李?璟]