三角函數求值策略之“無中生有”

摘?要：本文對三角式求值問題，采用無中生有的策略，運用構造法，獲得了簡潔而富于創造性的解法.

關鍵詞：求值;無中生有;構造

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0026-02

一、無中生“1”

例1?已知tanα=2，求sinαcosα的值.

解析?sinαcosα=sinαcosα1=sinαcosαsin2α+cos2α=sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=tanαtan2α+1=25.

本題直接求解需要分類討論，運算也會繁瑣些，通過構造分母1湊出齊次式，可利用同角三角函數關系式直接轉化為只含有tanα的式子，使問題順利解決.

例2?計算1-tan15°1+tan15°.

解析?1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+1×tan15°

=tan45°-tan15°1+tan45°×tan15°

=tan（45°-15°）=tan30°=33.

二、無中生“三角形”

例3?求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

解析?構造△ABC，使得A=38°，B=82°，C=60°，設△ABC外接圓直徑為2R，

則：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

由正弦定理：sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

=14R2（a2+b2-2abcosC）

=c24R2=sin2C=34.

反思?如果利用三角公式進行化簡和求值運算，需要降冪公式和和差化積公式，

較繁瑣，而且和差化積公式現在已經不學了.仔細觀察所給角的特征我們發現38°，82°與60°

正好構成一個三角形的三個內角，因此考慮構造三角形利用正余弦定理求解.實際上利用歸

納推理，大家還可以得到一般性結論： 這實際上是正余弦定理的綜合形式.

例4?求cos36°的值.

解析?如圖建立三角形ABC，∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°，

作∠ABC的角平分線BD.

設AB=AC=1，BD=AD=BC=x，則CD=1-x.

顯然△ABC～△BDC，

所以BCDC=ABBD，即x1-x=1x，

解得x=5-12.

在△ABC中，cos36°=12+12-x22×1×1=1+54.

反思?實際上我們發現這個三角形的腰與底之比為黃金分割數5-12，

因此這個三角形也稱為黃金三角形或最美三角形.

三、無中生“向量”

例4?求函數y=4cosx+3sinx的最大值.

解?構造向量，設a=（4，3），b=（cosx，sinx）.

顯然向量b=1，即向量b是單位向量.

因為a·b≤ab，

所以有4cosx+3sinx≤5×1=5，

即函數y=4cosx+3sinx的最大值為5.

反思?構造單位向量，利用a·b≤ab求出函數最值.

例5?已知45cosθ+35sinθ=1，，求tanθ的值.

解析?設a=（45，35），b=（cosθ，sinθ）顯然向量a=b=1.

所以有a·b=45cosθ+35sinθ=1，ab=1，

所以a·b=ab.

由此可得向量a，b共線同向，所以45sinθ-35cosθ=0.

顯然cosθ≠0，所以tanθ=34.

反思?構造單位向量，利用向量數量積性質a·b≤ab中等號成立的條件是向量a，b共線同向，從而使問題得以順利解決.

參考文獻：

[1]雷亞慶.巧用三角換元求解根式函數問題[J].數理化解題研究，2019（34）：17-18.

[責任編輯：李?璟]