坐標法解決向量小題

葉文明 李陽

摘?要：本文介紹了用坐標法來解答向量客觀題，充分體現了數形結合的數學思想.

關鍵詞：向量;求解;數形結合;建立坐標系

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0047-04

一般來說，代數問題較為抽象，若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數形結合”這一重要思想方法，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心，數學家華羅庚曾經說過：“數離開形少直觀，形離開數難入微.”利用數形結合的思想可構通代數、幾何之間的關系，實現難題巧解.

1.（2016學年杭州市高三檢測卷）設P為△ABC所在平面上一點，且滿足3PA+4PC=mAB（m>0），若△ABP的面積為8，則△ABC的面積為.

解析?本題主要考查平面向量等知識，意在考查基本計算能力，以及數形結合思想.由3PA+4PC=mAB可得37PA+47PC=m7AB，令PH=37PA+47PC，則H、A、C三點共線，且H在線段AC上，可得PH=m7AB，即有CHAH=34，且PH∥AB，所以C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的74倍，故S△ABC=74S△ABP=14.

圖1

事實上，本題可采取如下特殊圖形解決，不妨令P為原點，A（1，0），C（0，1），則PH=3PA+4PC=（3，4），由已知得PH∥AB，又S△ABP=8，所以B的縱坐標為16.得△PHD～△ABE，可求得B（13，16）從而，S△ABC=S梯形PCBE-S△PAC-S△ABE=14.

2.（2017屆浙江省高考模擬卷）

已知在△ABC中，BC=7，AC=1∠BAC=2π3，若O是△ABC的外心，且6AO=λAB+μAC，則λ+μ=.

解析?本題主要考查平面向量的數量積、余弦定理的應用，考查考生的運算求解能力.由余弦定理得AB=2，所以AB·AC=ABACcos∠BAC=-1.

因為O是△ABC的外心，所以AO·AB=12AB2=2AO·AC=12AC2=12.

因為6AO=λAB+μAC，

所以6AO·AB=12=λAB2+μAB·AC=4λ-μ，

6AO·AC=3=λAB·AC+μAC2=-λ+μ，

解方程組得λ=5，μ=8，∴λ+μ=13，

由于∠BAC=2π3，所以本題可建立坐標系利用坐標法解決.

由余弦定理得AB=2，如圖2建坐標系，

則A0，0，C1，0，B-1，3.

因為O是△ABC的外心，所以O是△ABC三邊中垂線的交點，因此可設O12，t.由OA=OB得t=536，所以O12，536.

因為6AO=λAB+μAC，所以612，536=λ-1，3+μ1，0，

∴3=-λ+μ，53=λ3.

解得λ=5，μ=8，∴λ+μ=13.

3.（2017屆湖州、衢州、麗水三地檢測卷）已知O是△ABC的外心，∠C=45°，若OC=mOA+nOB，則m+n的取值范圍是（）.

A.-2，2B.-2，1

C.-2，-1

D.1，2

解析?本題主要考查平面向量及其運算，基本不等式等知識，意在考查考生分析問題解決問題的能力.

設△ABC外接圓半徑為1，由題意知m，n不能同時為正，

∴m+n<1①.

因為∠C=45°，O是△ABC的外心，所以∠AOB=90°.

∵OC=mOA+nOB，

兩邊同時平方得1=m2+n2+2mncos∠AOB，

所以m2+n2=1②，

m2+n22≥m+n22③.

由①②③得-2≤m+n<1 ，故選B.圖3

事實上考慮到∠C=45°，可如圖3建立坐標系，令半徑為2，A-1，-1，B1，-1，Cx，y則C在圓x2+y2=2上，且y>-1，即C點在優弧ACB上（不包括端點）.由OC=mOA+nOB得x=-m+n，y=-m-n，

代入x2+y2=2得 m2+n2=1.

由線性規劃知-2≤m+n≤2.

又y=-m-n>-1，∴m+n<1.

∴-2≤m+n<1，故正確答案為B.

4.（2017紹興高三質量調測）向量a，b滿足a=4，b·a-b=0，若λa-b的最小值為2，則a·b為（）.

A.0 B.4C.8 D.16

解析?本題主要考查平面向量的模，數量積以及二次函數的最值等知識，以平面向量為載體，借助平面向量的模的最值求解，考查考生的坐標求解能力.

向量a，b滿足a=4，b·（a-b）=0，即a·b=b2 ，則λa-b=a2λ2-2λa·b+b2=16λ2-2λa·b+a·b.

當且僅當λ=a·b16時，λa-b有最小值2，所以16a·b162-2a·b16a·b+a·b=4.

所以a·b-82=0，故a·b=8，選C.

事實上，由已知可設a=4，0，由b·（a-b）=0得b⊥a-b.

圖4

所以b的終點在如圖4以（2，0）為圓心的圓上.令b=x，y，則x2-4x+y2=0，∴λa-b=4λ-x，-y.

λa-b

=x-4λ2+y2

=x-4λ2+4x-x2

=16λ2-8xλ+4x.

因為λa-b最小值為2，所以當且僅當λ=8x2·16=x4時取到最小值2.

代入得16x42-8x·x4+4x=4，

化為x2-4x+4=0，得x=2.

所以a·b=4，0·2，y=8，故選C.

5.（2017屆浙江新高考研究聯盟考卷）

Rt△ABC中AB=3，AC=4，BC=5，I是△ABC的內心，P是△IBC內部（不含邊界）的動點，若AP=λAB+μAC，則λ+μ的取值范圍是（）.

A.712，1B.13，1?C.14，712D.14，1

解析?平面向量是具有代數與幾何雙重特征的量，因此解題過程中既要考慮其代數運算即坐標運算，也要兼顧其幾何意義，做到數形結合，優化解題過程.本題主要考查平面向量的線性運算，坐標運算，平面向量基本定理及二元一次不等式組等知識，以平面向量為載體，考查學生的數形結合能力及運算求解能力.如圖5建立坐標系，則B3，0，C0，4，I1，1（Rt△內切圓半徑r=a+b-c2）.

圖5

直線BC：4x+3y-12=0，

直線BI：x+2y-3=0，

直線CI： 3x+y-4=0.

設P（x，y），則4x+3y-12<0，x+2y-3>0，3x+y-4>0.

由x，y=λ3，0+μ0，4 得x=3λ，y=4μ.

代入得12λ+12μ-12<0，3λ+8μ-3>0，9λ+4μ-4>0，

解得712<λ+μ<1，故選A.

6.（浙江寧波高考模擬卷）

已知向量a，b滿足b=3，a=2b-a，若a+λb≥3恒成立，則實數λ的取值范圍是.（λ≤-3或λ≥13）

解析?平面向量可與函數，解析幾何，不等式等知識結合在一起命題，考查考生分析問題解決問題的能力.如圖6設CB=b，CA=a，則AB=b-a，由題意可知AC=2AB.

圖6建立如圖6的坐標系，令B-32，0，C32，0，Ax，y，

則x-322+y2=2x+322+y2，整理得

x+522+y2=4.

又a+λb=x-32，y+λ-3，0=x，y-3λ+32，0，

結合x+522+y2=4的圖形可知3λ+32>-12，3λ+32--12≥3，或3λ+32<-92，-92-3λ+32≥3，

解得λ≤-3或λ≥13.

事實上由幾何意義更加一目了然，由x+522+y2=4知點A在-52，0為圓心，半徑為2的圓上，而a+λb==x，y-3λ+32，0≥3

圖7

它表示點x，y與點3λ+32，0的距離最小值為3.

由于點3λ+32，0在x軸上，由于圓內不存在這樣的點，所以只需x軸上與D，E的距離最小為3即可，從而3λ+32≤-152或3λ+32≥52.

解得λ≤-3或λ≥13.

7.（浙江新高考考前原創沖刺卷）

已知平面向量a，b，c滿足b=3，a=2b-a，a=2，b=1，a·b=-1，且a-c與b-c的夾角為π4，則c的最大值為.

圖8

解析?本題主要考查平面向量的數量積、夾角、模、線性運算、兩角差的余弦公式，四點共圓的判斷等知識，考查考生的運算求解能力.解題時，先求得a、b的夾角，作圖分析得O、A、C、B四點共圓，從而判斷出當OC為圓的直徑時，c最大，再求解AC的長，最后用勾股定理求解OC的長度即可.也可先用余弦定理求得AB長，再用正弦定理ABsin∠AOB=2r=OC，求得結果.

圖9

事實上，由已知可得〈a，b〉=135°，可如圖9建立

坐標系，令OB=b=（1，0），OA=a=（-1，1）.

由上可知△AOB的外接圓半徑的2倍就是c的最大值，根據已知可設

圓心M12，t，由MA=MO，得14+t2=（12+1）2+（t-1）2，解得t=32，∴r=OM=（12）2+（32）2=102，從而cmax=2r=10.

8.（浙江新高考名校聯考卷）已知△ABC是邊長為6的正三角形，P為△ABC內（含邊界）一動點，滿足PB·PC=0，又點M滿足PM=2MC，則MB·MC的最大值是（）.

A -4B.4 C.-2D.0

解析?本題主要考查向量的線性運算、數量積運算、向量垂直的幾何意義，考查數形結合思想、轉化與化歸的思想，考查考生的運算求解能力.由點P滿足PB·PC=0知點P在以BC為直徑的圓（△ABC內的圓弧）上運動，由PM=2MC，知MC=-12MP，圖10

∴MB·MC=-12MB·MP

=-12MBMPcos∠BMP

=-12MP2

=-1223CP2

=-29PC2≤-2.

正確答案為C.

事實上，由已知可如圖10建立坐標系，則B（-3，0），C（3，0），P（3cosθ，3sinθ），θ∈π3，2π3.由 PM=2MC 得M（cosθ+2，sinθ）.

∴MB=-5-cosθ，-sinθ，MC=1-cosθ，-sinθ.

∴MB·MC=（-5-cosθ）1-cosθ+sin2θ=4cosθ-4.

∵θ∈π3，2π3，∴cosθ≤12，從而MB·MC≤4×12-4=-2.

9.（2018浙江高考模擬訓練卷）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°.動點P在以C為圓心，1為半徑的圓上，且AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值是（）.

A.13?B.12?C.2?D.3

解析?設AC與BD交于點E，則AC⊥BD，且CE=1，圓C與直線BD相切，設AP與BD交于點M，AM=mAP，m>0，則有AM=mλAB+mμAD.因為點M、B、D三點共線，且點A在直線BD外，則有mλ+mμ=1，∴λ+μ=1m.而1m=APAM，過點P作直線BD的平行線交直線AC與于N，則有APAM=ANAE=AN，故只需求AN的最大值.因為圓C與直線BD相切，故當直線PN與⊙C相切時，AN取到最大值，此時AN=3，∴λ+μ的最大值是3，正確答案為D.

圖11本題利用坐標法更加通俗易懂，如圖11建立坐標系，則A（1，3），B（2，0），C（0，0），D（-1，3）.設P（x，y），則x2+y2=1.又AP=（x-1，y-3），AB=（1，-3），AD=（-2，0），∵AP=λAB+μAD，∴x-1，y-3=（λ，-3λ）+（-2μ，0），∴x-1=λ-2μ，y-3=-3λ，∴x=λ-2μ+1，y=-3λ+3.∴（λ-2μ+1）2+-3λ+3=1，∴4λ2+4μ2-4λμ-4λ-4μ+3=0.令λ+μ=t，則12λ2-12tλ+4t2-4t+3=0.由Δ≥0得t2-4t+3≤0，從而λ+μ的最大值為3.

參考文獻：[1]金瑞琪.解答向量問題的三種常用方法[J].語數外學習（高中版上旬），2019（12）：42.

[責任編輯：李?璟]