例談條件極值在多元函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用

余鐵青

摘?要：在高考和競(jìng)賽中有一類多元函數(shù)問(wèn)題，用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)難以處理，也直接導(dǎo)致了得分率低的事實(shí).本文借助高等數(shù)學(xué)中的條件極值以及拉格朗日乘數(shù)法研究了此類問(wèn)題，并得到了相關(guān)問(wèn)題函數(shù)模型.其基本問(wèn)題模型可表述為：若實(shí)數(shù)x1，x2，x3，...滿足若干限制條件，求關(guān)于x1，x2，x3...新的函數(shù)的最值問(wèn)題模型.

關(guān)鍵詞：多元函數(shù);條件極值;拉格朗日乘數(shù)法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0005-02

一、引言

筆者最近在統(tǒng)計(jì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)時(shí)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)多元函數(shù)在考查，并且在近幾年的全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽中考查頻率較高.而實(shí)際情況是大部分考生做慣了單變量的函數(shù)最值問(wèn)題，一般容易聯(lián)想到運(yùn)用代入法，換元法或者導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行處理，但通過(guò)實(shí)際運(yùn)算發(fā)現(xiàn)用這種方法處理起來(lái)是十分困難的.在高考數(shù)學(xué)考試大綱里面明確要求要考生進(jìn)一步培養(yǎng)的潛質(zhì)，這也導(dǎo)致了大學(xué)部分學(xué)習(xí)的內(nèi)容滲透到高中進(jìn)行隱蔽性的考查.這就直接導(dǎo)致了高考數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)中越來(lái)越多的考查學(xué)生遷移發(fā)現(xiàn)的能力.筆者基于此去翻閱了華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的數(shù)學(xué)分析教材，發(fā)現(xiàn)我們利用條件極值和拉格朗日乘數(shù)法來(lái)解決多元函數(shù)最值問(wèn)題是行之有效的.假如不與學(xué)生介紹此類做法會(huì)導(dǎo)致大家運(yùn)用常規(guī)的方法進(jìn)行處理，效率十分低下，得分少，甚至不得分.那么我們系統(tǒng)性，程序性地處理這類問(wèn)題就顯得很有必要了.

二、基本概念介紹

1.偏導(dǎo)數(shù)

二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個(gè)自變量時(shí)，它對(duì)另一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)數(shù)，定義如下：

設(shè)二元函數(shù)z=fx，y，x，y∈D，若x0，y0∈D，且fx，y0在x0的某一鄰域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限

limΔx→0Δxfx0，y0Δx=limΔx→0fx0+Δx，y0-fx0-y0Δx

存在時(shí)，稱這個(gè)極限為函數(shù)f在x0，y0關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記作fxx0，y0或zxx0，y0，fxx0，y0，fxx0，y0.

同樣定義f在點(diǎn)x0，y0關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fyx0，y0或fyx0，y0.

2.拉格朗日乘數(shù)法（Lagrange multiplier）

求目標(biāo)函數(shù)z=fx，y在約束條件φx，y=0下的極值，

構(gòu)造：拉格朗日函數(shù)Lx，y，λ=fx，y+λφx，y，其中λ是待定系數(shù)，則極值點(diǎn)就在方程組fxx，y+λφx，y=0，fyx，y+λφx，y=0，φx，y=0的解x0，y0，λ所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x0，y0.

3.黑塞矩陣（Hessian Matrix）

我們稱x0，y0為穩(wěn)定點(diǎn)，再根據(jù)黑塞矩陣正定，負(fù)定來(lái)判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

三、真題應(yīng)用

例1?（自變量無(wú)限制條件題型）

若x，y∈R，求f（x，y）=x2+2xy+4y2+x+2y的最小值.

引理?（截取）在二元二次函數(shù)

fx，y=ax2+2bxy+cy2+dx+ey+g中，設(shè)Δ=ac-b2，則有：

若Δ>0，當(dāng)a>0時(shí)，fx，y在點(diǎn)px0，y0取到最小值.

解?令fxx，y=2x+2y+1=0，fyx，y=2x+8y+2=0

x=-13，y=-16.

代入求得fminx，y=-13

對(duì)比引理，此題中a=1，b=1，c=4，顯然Δ=ac-b2=3>0，所以解答正確.

說(shuō)明?完整引理來(lái)源于1990年昭通師專（現(xiàn)昭通學(xué)院）數(shù)學(xué)系教師饒克勇老師發(fā)表的《二元二次函數(shù)的極值公式》）

例2?（自變量有限制型題型）

（浙江2014年高考題文科）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為.

解?構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

La，b，c，λ，μ=a+λa+b+c+μa2+b2+c2-1，

∴La=1+λ+2μa=0，Lb=λ+2μb=0，Lc=λ+2μc=0，Lλ=a+b+c=0，Lμ=a2+b2+c2-1=0.解得a=±63，b=66，c=66，λ=±13，μ=66.

∴a的最大值是63.

例3?（2018年的全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽四川省初賽第14題）設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，求（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2）的最小值.

方法1?（常規(guī)法）

記T=（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2），

當(dāng)x=y=z=1時(shí)，T=20+142.

下證T≥20+142.

由均值不等式顯然有

T≥2xy+22yz+22zx+2

=8+42xz+zy+yx

+4xy+yz+zx+22

≥8+42×33xz·zy·yx+4

×33xy·yz·zx+22

=8+42×3+4×3+22=20+142.

顯然這種做法很難想到，尤其是第一步為什么要取三個(gè)自變量相等且同時(shí)為1.

方法2?（偏導(dǎo)法）

記T（x，y，z）=（x+1y+2）（y+1z+2）（z+1x+2），

Txx，y，z=0，Ty（x，y，z）=0Tz（x，y，z）=0x=y=z=1.

代入求得Tmin=20+142.

對(duì)比發(fā)現(xiàn)這樣處理起來(lái)遠(yuǎn)比利用不等式簡(jiǎn)單，而且輻射面擴(kuò)大，能夠較好地照顧到基礎(chǔ)中等的同學(xué).

寫(xiě)在最后：很多一線教師抱怨高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)于中學(xué)的教學(xué)沒(méi)有太大的作用，實(shí)際上是因?yàn)闆](méi)有真正把兩者進(jìn)行比對(duì)分析，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的必然聯(lián)系，才造成認(rèn)為高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)里面沒(méi)有應(yīng)用的錯(cuò)覺(jué).筆者認(rèn)為必須在教學(xué)中要經(jīng)常反思，以促成教師掌握以高觀點(diǎn)的角度看問(wèn)題的思維意識(shí)和情感態(tài)度.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]呂榮春.高觀點(diǎn)下函數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2017.

[3]饒克勇.二元二次函數(shù)的極值公式[J].昭通師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1999（02）：19-21.

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