基于質點成形運動和端面型線的EPS蝸桿球面螺旋面模型構建

王少英

摘要：本文研究了汽車電子助力轉向（EPS）減速器中蝸桿球面螺旋線的成型原理，并且對球面螺旋線按照質點成型運動原理進行數學建模。根據螺旋曲面的形成原理，構建基于端面型線的新的球面螺旋面模型;研究了球面螺旋線和球面螺旋面的特征參數;運用MATLAB編程通過數值計算和函數可視化功能，得到球面螺旋線。

關鍵詞：球面螺旋面;成型原理;MATLAB編程;端面型線;模型

0? 引言

EPS（汽車電子助力轉向）中的減速器主要起降低速度和增加轉矩的作用，因此常用蝸輪蝸桿減速器。現在常用的渦輪蝸桿機構主要有效率低、摩擦因數較高、潤滑效果不好，熱量大等缺點。而利用球面螺旋面做蝸桿螺旋面可以提高傳動效率，使結構緊湊、動作靈活，降低摩擦。EPS中蝸桿的球面螺旋面模型如何構建是這種新型蝸桿球面螺旋面的關鍵技術。

螺旋曲面的種類有許多種，對不同的螺旋曲面其成形原理和數學建模都有區別，對螺旋曲面統一的成形原理和模型的構建缺少系統研究，對特殊類的螺旋曲面比較復雜的球面螺旋面對其運動的成形原理和數學模型的研究也鮮有報道。為此，通過對螺旋曲線和曲面的成形原理以及數學模型的構建入手，引出球面螺旋面的成形運動原理與模型的構建。

1? 球面螺旋線的成形原理

球面螺旋線的成形運動為質點在兩個圓周運動的組合下按照一定的運動規律形成的，即為第三類（CC）螺旋曲線。

球面螺旋線的成形特征是有兩個圓周運動合成的運動形式，是一種光滑的螺旋曲線，它的形成是由質點在動坐標系中繞原點以某一參數作圓周運動，并同時動坐標系又在定坐標系中繞一軸以某一參數作圓周運動。如圖1所示。

2? 基于質點成形運動的球面螺旋線數學模型建立

根據球面螺旋線的成形原理，通過給定相應的參數就可以得到球面螺旋線的數學方程。兩個圓周運動合成的球面螺旋面：規定初始位置動坐標系與定坐標系的Y軸重合，動系相對于定系繞Y軸轉過λ角度，母線繞著動坐標系Y軸，以參數等于β0做圓周運動，動系繞定系X軸做參數為α0的圓周運動。

根據運動成形原理，可以得到在歐式空間內的轉換矩陣：

取質點的初始坐標為（0，r，0）得到球面螺旋線的方程：

球面螺旋線的特征是復雜的，在成形過程中為了降低球面螺旋線的復雜度，在構造球面螺旋線時保持一般螺旋線的特征有利于對球面螺旋線的研究，其中一個重要參數就是螺旋角，螺旋角的恒定是螺旋曲線中的一個重要特征，為保持球面螺旋線的螺旋角是一個定值即為等螺旋角的球面螺旋線，因此，此螺旋線的方程滿足：

依據對球面螺旋線的定義和成形原理結合以及前面的數學模型運用MATLAB編程通過數值計算和函數可視化功能，得到如圖2所示的球面螺旋線，其中圖2（a）為編程代碼，圖2（b）為球面螺旋線的成形。

3? 基于端面型線沿球面螺旋線運動的球面螺旋面數學模型

質點和直線（或曲線）的成形運動分別是球面螺旋線與球面螺旋面的成形原理。若想獲得球面螺旋面方程的數學模型，只需將端面為質點的球面螺旋線替換成端面為直線（曲線）的端面形線，以原球面螺旋線為軌跡的端面形線，運動成形為球面螺旋面。如圖3所示，其中圖3（a）為球面螺旋線，圖3（b）為球面螺旋面。

取球面螺旋面的端面型線通用數學方程為：

依據球面螺旋面的成形原理，將球面螺旋面端面型線的方程（4）聯合空間矩陣轉換方程（1）得到球面螺旋面的數學方程式為：

最后化簡方程式得到：

其中：公式中的參數λ為常數，表示動坐標系OX’Y’Z’相對固定坐標系OXYZ繞Z軸轉過的角度，并且角度參數滿足關系：■。根據球面螺旋面的端面型線方程（4）中三個參數的不同取值可以獲得不同球面螺旋面。

4? 小結

利用球面螺旋面做蝸桿螺旋面可以提高傳動效率，降低摩擦，因此主要分析研究了EPS（汽車電子助力轉向）中球面螺旋面蝸桿的新型螺旋面模型構建。文章首先根據螺旋曲線的基于質點成形原理研究螺旋曲面的成形與端面型線的關系，再根據曲面成形原理得到螺旋曲面的成形原理和分類，并分別給出了螺旋面的數學方程。

最后，根據對螺旋曲線的成形運動特點，直線運動與圓周運動的組合形式變換得到了球面螺旋線和球面螺旋面的成形運動特點，根據球面螺旋線的成形運動形式，構建了球面螺旋線的模型，根據球面螺旋面的成形運動原理構建了球面螺旋面的模型。

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