集合的概念教學設計及思考

宋陽

摘要：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析是高中數學核心素養的六個方面，其中數學抽象是形成集合概念的第一步。高中階段的數學概念，也可以促進學生的數學思維發展，在高中數學問題中找到正確的思維判斷和理論推理。但作為高中數學的起始課，需要培養學生對于高中數學的興趣愛好，調動學生在教學活動中的積極性，進而得出正確和嚴謹的數學結論。第一章集合是高中數學的第一個概念，體現了集合在數學中的奠基性地位，也體現了高中數學的學習過程、特點和方法。本節課中通過小學、初中、高中集合知識的學習階段的類比和具體問題的分析，既完成集合概念的形成，又能教學生如何進行高中數學的學習，達到讓學生從初中到高中的順利過渡。

高中數學需要培養學科核心素養，集合這一章重點需要培養學生的數學抽象，具體表現是學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，集合的概念需要通過具體事例抽象而出。集合是刻畫一類事物的語言和工具，通過本單元的學習，可以幫助學生使用集合的語言簡潔、準確地表述數學研究對象，學會用數學的語言表達和交流，積累數學抽象的經驗。

而對于進入高中后的第一章內容，往往是學生遇到的第一個困難，從初中具體化內容過渡到抽象的數學符號和語言是教學難點。我通過兩屆學生課前和課后的反映，分析學生遇到的問題，找出初高中銜接上需要的注意事項并進行了新一輪的教學設計，現將同學的反饋情況總結如下。1.在能力水平方面：因為班內同學的初中層次不同，對于高中知識在初中的滲透有所不同，所以造成同學間對新知識的認識程度存在差異，有些同學已經在初中學習過簡單的定義，但未深入理解，有些同學則一點沒有接觸過。2.在學習能力方面：每位同學的學習能力有差異，對于整班教學無法做到一刀切，引導學生思考的深度需要拉開梯度，讓每位同學聽懂的前提下，好學生有所提高。3.在心態方面：在過去的暑假里學生多是放松為主，開學后進入新的環境，學習難度的加大會讓學生感到壓力，無形中造成學生知識獲取的慢。

針對我的教學班級出現的以上現象，我的教學設計進行了一系列的調整，目的是解決上屆同學在學習上出現的問題，更好地進行初高中的銜接工作。1.在能力方面，班中已經學習過集合內容的同學會認為高中知識第一章已經掌握，但并不理解知識的由來和集合本章的學習意義，即集合的定位是將集合作為一種語言來學習，通過教學使學生感受到用集合語言來表示數學內容時的簡潔性、準確性，并使學生能用幾何語言簡潔、準確地表示數學對象。所以我的設計是通過具體實例進行抽象概括，讓同學培養和鍛煉語言的簡潔性和準確性。課堂上及時表揚表達上的進步，而不停留在知識的獲取上。2.在本節課的設計中，我有意識的涉及到更多的數學知識和其他知識，例如素數、三角、二次方程和二次不等式、反比例不等式和社會熱點“新四大發明”。我希望學習能力較強的同學在看到這些發散的名詞后能夠回憶起更多內容，把一節課的內容拓寬拓廣。3.在同學的心態方面，我向特級教師請教，學習設計更多的小組討論和回答問題的互相補充，意在讓同學們交流中互相熟悉并且思維上互相碰撞。知識的形成應該是對比、分析、總結、互相交流、修正、總結的過程，在小組討論中更能夠激發學生的興趣，并且在互相的交流中找到自己的問題并加以修正，這正是學習新知識應有的順序，為今后的高中數學學習打下基礎。

下面是這節課我的部分設計：

教師活動1

在小學和初中我們對集合這個次已經有了一些粗略的了解，例如：一個含有未知數的等式的解的集合，簡稱為這個等式的解集。平面內到一個定點距離等于定長的點的集合是圓。

觀察下面例子中的集合，指出研究對象是什么？

（1）1～20內的質數;

（2）本班高一2班的全體同學;

（3）我國的直轄市

（4）方程的所有實根

學生活動1

指出每個集合中的研究對象分別是什么并加以定義“元素”，小組討論，注意語言的簡潔性和準確性，進而總結得出集合的含義。

活動意圖說明：通過實際例子，對比、分析、討論和總結研究對象得出集合的概念。例子的設計目的是從學習之初就讓學生理解研究對象并不一定是數字，也有可能是生活中的元素。從實際中加以總結得到概念，學生由淺入深理解概念。

教師活動2

指出下列元素是否構成集合，如果是，指出集合的元素

（1）“math”中包含的字母

（2）我們班中比較高的同學

（3）中國的“新”四大發明

（4）大于的整數

（5）不等式的正整數解

（6）方程的解的集合

（7）到一個角兩邊距離相等的所有點

學生活動2

學生進行小組合作，先自己在學案上標注出哪些是集合，再小組內合作得出最終結果，組長進行匯報。由（1）和（2）的對比得到集合中元素的確定性。老師提問“思考（3）中的：高鐵、掃碼支付、共享單車和網購，有順序嗎？”得出集合中元素的無序性。由（5）“1，2”兩個元素，得出集合中元素的互異性。由（6）發現集合中如果沒有元素，稱為空集。由（7）感受除數集外的點集。

活動意圖說明

在了解了集合的概念和元素的概念后，進一步加深對集合的理解。本設計通過生活中和數學上的例子，讓學生對比、思考、總結得到集合中元素的三個性質，并簡單了解集合的分類：空集、有限集、無限集。引用大量實例的目的是讓學生自主發現，形成更加深刻的概念理解。

例1：選擇合適的方法表示下列集合：

（1）小于8的所有自然數組成的集合

（2）大于3的有理數的集合

（3）滿足不等式的解集

例2：判斷下列集合是否是一樣的？

學生回答

在實例的背景下，學生可以得出哪些可采取描述法和列舉法，哪些采用描述法，同時練習集合的書寫和特殊數集的符號，培養數學符號使用習慣。學生對于例2的第一問題往往會出現錯誤，這時我會讓同學回答，表達自己的想法，從中讓程度好的同學得到語言上的提升。

活動意圖說明

由上題中的例子中對比學習集合的列舉法和描述法，辨析兩種方法的區別和適用條件。例1的目的是突破本節課的難點，集合的表示法，教師板書書寫格式。例2通過具體題目，引導學生使用集合的定義來判斷相等集合，并注意每個集合的元素是否是同一類型。

布置練習

練習1：求不等式的解集

練習2：下列各式中錯誤的是（ ）

練習設計意圖說明

對于各梯度水平的同學，我設計不同難度的練習題，讓這節課剛學會集合概念的同學做題時有做對的成就感，讓學有余力的同學進行更深入的探究和思考，目的是讓每個同學都能有收獲有提高。

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（北京市東直門中學 北京 100000）