基于一道定積分題的解法引起的困惑與探究

摘要：由一道利用定積分的幾何意義進行求解的定積分題的解法引起的困惑——是不是所有的定積分都能用此方法？知道其幾何意義卻沒公式繼續求解怎么辦？由此進行解法探究。

關鍵詞：定積分;牛頓-萊布尼茨公式;變量替換法

中圖分類號：G4? 文獻標識碼：A? 文章編號：（2020）-31-289

1 問題的提出與解答

我們知道，如果f（x）是區間[a，b]上的連續函數，并且存在原函數F（x），即F/（x）=f（x） ，則f（x）在

[a，b]上可積，且∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.這個結論叫做微積分基本定理（fundamental theorem of calculus），又叫做牛頓一菜布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），它也常寫成∫baf（x）dx = F（x）ba♂。

人民教育出版社（A）版出版的普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2的P60習題1.7B組第1題：由定積分的性質和幾何意義，說明∫a-aa2-x2dx的值

正如數學家柏拉圖所說：“不懂幾何者免進。”大部分教師拿到題目后，都會直截了當地告訴學生利用定積分的性質和幾何意義，說明定積分∫a-aa2-x2dx的幾何意義是表示以原點為圓心，以a為半徑，在x軸上方的半圓的面積，因此定積分∫a-aa2-x2dx的值為12πa2。這樣完滿解答了這道題，學生也容易接受。

2 解答帶來的困惑與探索

我們知道，利用牛頓一菜布尼茨公式的關鍵是要找到被積函數f（x）=a2-x2的原函數F（x），經

過大量的運算和思索，我們利用現有的知識水平是找不出f（x）=a2-x2的原函數，上面是利用定積分的幾何意義來解答的，教師用書也是這樣講的，這是無可厚非的，這似乎成了“自古華山一條道”的絕法。

李秉彝先生2008年發表在新加坡Association of Mathematics Educators（AME）主辦的刊物Maths

Buzz 10（2） 的文章 Why do we teach what we teach in schools？（即為什么在學校我們要教這樣的數學）中說：新加坡的數學教學大綱，告訴我們在學校里應該教哪些數學。接著，教育學院就培訓我們應當怎樣教這些數學。我們通常不會問這樣的問題：“為什么我們要教這樣的數學？”也就是說，我們常常問“教什么”、“怎么教”，但是從來不問“為什么”。

難道上面的題目只能利用定積分的幾何意義來解答嗎？不能用牛頓一菜布尼茨公式了嗎？難道牛頓一菜布尼公式真的失靈了。這的確沒有讓我墨守成規，反而激起了我無限的探索欲。我國著名數學家華羅庚在談到學習與探索時指出：“在學習中要敢于做減法，就是減去前人已經解決的部分，看看還有那些問題沒有解決，需要我們去探索解決?！?/p>

利用定積分的幾何意義固然很好，正如西爾維斯特（James Joseph Sylvester ）說：“幾何看來有時候要領先於分析，但事實上，幾何的先行於分析，只不過像一個仆人走在主人的前面一樣，是為主人開路的。”讓我們成為真正的主人吧！達朗貝爾說：“前進吧， 前進將使你產生信念。”讓我們的信念進行到底！

我們知道利用定積分的幾何意義求得∫a-aa2-x2dx 的值為12πa2，通過對答案12πa2的剖析，其中的π與角度θ有關，這就啟發我們聯想到圓的參數方程x=a·cosθy=a·sinθ （θ為參數），能否把參數x、y轉化為θ呢？如果如果這一設想成功的話，那么問題就能轉化用牛頓一菜布尼公式來解答了。

例1：計算定積分∫a-aa2-x2dx的值

分析：設x=a·cosθ，∴dx=-a·sinθ·dθ

∵當x=-a時θ=π;當x=a時θ=0。

∴a2-x2=a·sinθ=a·sinθ。

∴∫a-aa2-x2dx=∫0πa·sinθ·（-a·sinθ·dθ）=-a2∫0π·sin2θ·dθ

=-a2∫0π1-cos2θ2·dθ = -a2·（12θ-14sin2θ）0π♂

=-a2·（0-12π）=12πa2

這樣，我們撇棄定積分的幾何意義，用牛頓一菜布尼公式也能解答這個問題了。這種方法我們稱之為“變量替換法”。正如數學家笛卡兒說：“我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現象的幾何?！边@就是我研究問題的真正目的。

3 問題的引申

例2：計算定積分∫a0b2-b2a2x2dx的值

分析：∵y=b2-b2a2x2 ?∴y2=b2-b2a2x2 ?∴x2a2+y2b2=1

∴定積分∫a0b2-b2a2x2dx表示橢圓x2a2+y2b2=1在第一限象與兩坐標軸所圍成的圖形的面積，那么橢圓x2a2+y2b2=1的面積為多少呢？目前，教科書沒有橢圓的面積公式，如果利用定積分的幾何意義來求，上面問題無法解決。能否用變量替換法的方法來求？拉普拉斯（Pierre Simon Laplace ）說：“在數學這門科學里，我們發現真理的主要工具是歸納和類比?！比绻軌蚯蟪鰜淼脑?，那么橢圓x2a2+y2b2=1就有象圓一樣有面積公式了。我們來繼續探索吧。

∵由橢圓的參數方程x=a·cosθy=b·sinθ （θ為參數），

∴設x=a·cosθ，∴dx=-a·sinθ·dθ

∵當x=0時θ=π2;當x=a時θ=0。

∴b2-b2a2x2=b2-b2a2？a2cos2θ=b2-b2cos2θ=b2sin2θ=bsinθ

∴∫a0b2-b2a2x2dx=∫0π2bsinθ？（-asinθ？dθ）=∫0π2-absin2θ？dθ

=-ab？∫0π21-cos2θ2？dθ=-ab？∫0π2（12-cos2θ2）dθ = -ab · （12θ-sin2θ4）0π2

=-ab？[（0-0）-（π4-0）]=π4ab

因此，橢圓x2a2+y2b2=1的面積為S=πab

例3：計算定積分∫10x21-x2dx的值

分析：我們知道定積分∫10x21-x2dx表示曲線y=x21-x2在第一限象與兩坐標軸所圍成的圖形的面積，如下圖所示，如果利用定積分的幾何意義來求，上面問題無法解決。能否用變量替換法求解呢？

設x=cosθ，∴dx=-sinθ·dθ

∵當x=0時θ=π2;當x=1時θ=0。

∴∫10x21-x2dx=∫0π2cos2θ？sinθ？（-sinθ？dθ）

=-14∫0π2sin22θ·dθ=-18∫0π2（1-cos4θ）·dθ=18∫π20（1-cos4θ）·dθ = 18（θ-sin4θ4）π20=π16

4 結束語

從一個問題出發，了解其產生的背景，展望其未來的發展，過程是艱辛但痛快的，總吸引著我們鉆進去，收獲是暢快且豐富的，總讓人想繼續追尋。反觀探索歷程，頓悟定積分的博大精深。作為一名教育工作者，在教學中不應該拘泥于固有的教學方法，應該要敢于創新。著名數學家華羅庚說：“研究科學最寶貴的精神之一，是創造的精神，是獨立開辟荒原的精神，科學之所以得有今日，多半是得利于這樣的精神，在‘山窮水盡疑無路’的時候，卓越的科學家往往是另辟蹊境，創造出‘柳暗花明又一村’的境界。”這就是數學的力量，也許聽起來奇怪，數學的力量在于它規避了一切不必要的思考和它驚人地節省了腦力勞動。筆者認為，教育工作者在教學的過程中，應該教會學生在開辟蹊境的同時，又能節省了腦力勞動。讓學生在學習中學得輕松又輕松的學。

參考文獻

[1]黃興豐. 為什么在學校我們要教這樣的數學[J].數學教學. 2011（7）：封二.

[2]林建筑. 探究等差乘等比型數列前n項和的心路歷程[J]. 中學數學教學參考. 2012（8）：36-38 .

[3]劉玉璉 傅沛仁. 數學分析講義（上冊）[M]. 上海.高等教育出版社，1989.

作者單位：福建省安溪沼濤中學