不確定性原理的前世今生(下)

不確定性原理事實上并不是一個單獨的定理，而是一組定理的統稱，凡是刻劃一個信號不能在時空域和頻域上同時過于集中的命題都可以稱為不確定性原理，“集中”這一性質可以有不同的數學描述，也就對應了不同的數學定理，但是在所有冠以“不確定性原理”之名的定理中，最著名的當然是由德國物理學家、量子力學的主要創始人海森堡（W，Heisenberg）在1927年提出的、影響了物理學發展的那個版本，它的精確描述是：

假定一個信號的總能量為1.則這個信號和它的傅立葉變換的能量的方差之積不小于1/16π2換言之，兩者各自的能量都可能很集中，但是不能同時很集中，如果時空域中能量的方差很小（即集中在一起），那么頻域上能量的方差就不會太小（即必然會彌散開），反之亦然。

對這個定理在量子物理學中的意義的討論超出了本文的話題范圍，下面簡單羅列一些相關的歷史事實：

海森堡在1927年發表了一篇標題為《量子理論運動學和力學的直觀內容》的文章，這篇文章很大程度上是對薛定諤（E，Schrodinger）在1926年提出的薛定諤波動方程的回應，相較于海森堡的矩陣力學而言，薛定諤的方程很快由于它物理上的直觀明晰而得到了越來越多物理學家的贊賞，海森堡對此感到極為失落，在1926年6月8日寫給物理學家泡利（W，Pauli）的信中說：“我對薛定諤的理論想得越多我就越覺得惡心，”因此，他迫切需要給自己的理論配上一個更直觀的圖象。

海森堡的這篇文章給出了后來被人們所熟悉的有關為什么無法同時測量一個電子的位置和動量問題的解釋，但是并未給出任何嚴格的數學證明，他把他的結論籠統地表達為△x △p≥h，其中x是位置，p是動量，h是普朗克常數，但他并沒有詳細說明△x和△p的意思，只針對若干具體情形作了一些直觀的討論。

第一個從數學上證明不確定性原理的是物理學家E，Kennard，他在1927年證明了文章開頭所描述的定理，指出△x和△p的數學意義其實是方差，這種解釋很快就成了海森堡不確定性原理的標準數學表達，海森堡于1930年在芝加哥的演講中也用了這種數學推導，來佐證他的立論，需要說明的是，海森堡盡管很快接受了這一數學解釋，但是后來人們發現在他本人原先的論文里所舉的那些例子中，有很多被他用△x和△p籠統概括的含混概念其實是無法被解釋成方差的，在他的心目中，不確定性原理首先是一個經驗事實，其次才是一個數學定理，

海森堡并未將他的發現命名為不確定性“原理”，而只是稱為一種“關系”，英國天文學家、數學家愛丁頓（A，Eddington）在1928年似乎第一個使用了“原理”一詞，將之稱為principle of indeterminacy，后來uncer-tainty principle這種說法才漸漸流行起來，海森堡本人始終稱之為ungenauigkeitsrelationen/unbestim-mtheitsrelationen（相當于英語的inaccuraey/indetermi-nacy relations），直到20世紀50年代才第一次接受了principle這種稱呼。

有趣的是，即使很多信號處理或者量子力學領域的專家也不知道自己平時所討論的不確定性原理和對方所講的其實是一回事，兩者之間的聯系的確并不太明顯，一個關注信號的時空和頻域分布，一個關注粒子的運動和能量，它們之間的相關性只有從數學公式上才看起來比較明顯，在海森堡的時代當然并不存在“信號處理”這一學科，數學家們也只把不確定性原理當作一個純數學的結論來對待，他們什么時候最先注意到這一定理并不是很清楚，有記錄表明美國應用數學家維納（N，Wienerl 1925年在哥廷根的一次講座中提到了類似的結論，但是那次講座并沒有任何書面材料留存下來，德國數學家外爾（H，Weyl）在1928年名為《群論與量子力學》的論著中證明了這一定理，但他將之歸功于泡利的發現，直到1946年，英國的加博（D，Gabor）發表了一篇名為《通訊理論》的經典論文，才真正讓這個定理以今天信號處理領域的專家們所熟悉的方式流傳開來。

正如前面所說過的那樣，在數學上，不確定性原理不僅僅有海森堡這一個版本，它其實是一組定理的統稱，譬如哈代（G，Hardy）在1933年證明了一個和海森堡原理類似的定理，今天一般稱之為哈代不確定性原理，海森堡和哈代的定理都只約束了信號在時空域和頻域的大致分布，并沒有限制它們同時集中在有限大的區域內，M，Benedicks第一個證明了信號在時空域和頻域中確實不能同時集中在有限大的區域內，而這已經是1974年的事情了。

到20世紀末，人們對“信號”這個詞的理解已經有了微妙的變化，如果在20世紀上半葉的時候提到一個信號，人們還傾向于將它理解為一個連續的函數，而到了下半葉，信號已經越來越多地對應于一個離散的數組，毫無疑問，這是電子計算機革命的結果。

在這樣的背景下，“不確定性原理”也有了新的形式，在連續情形下，我們可以討論一個信號是否集中在某個區域內;而在離散情形下，重要的問題變成了信號是否集中在某些離散的位置上，而在其余位置上是零，數學家給出了以下有趣的定理：

一個長度為Ⅳ的離散信號中有a個非零數值，而它的傅立葉變換中有b個非零數值，那么a+b≥2根號N，也就是說一個信號和它的傅立葉變換中的非零元素不能都太少，毫無疑問，這也是某種新形式的“不確定性原理”。

在上面的定理中，如果已知Ⅳ是素數，那么我們得出以下結論：

—個長度為素數N的離散信號中有a個非零數值，而它的傅立葉變換中有6個非零數值，那么n+b>N。

不幸的是，這里“素數”的條件是必須的，對于非素數來說，第二條命題很容易找到反例，這時第一條命題已經是能夠得到的最好結果了。

這些定理有什么用呢？如果它僅僅能用來說明某些事情做不到，就像它字面意思所反映出的那樣，它的用處當然是相對有限的，可這無疑是辯證法的一個好例證，這樣一系列宣稱“不確定”的定理，事實上是能夠用來推出某些“確定”的事實的。

設想這樣一種情況：假定我們知道一個信號的總長度為Ⅳ，已知其中有很大一部分值是零，但是不知道是哪一部分（這是很常見的情形，大多數信號都是如此），與此同時，我們測量出了這個信號在頻域空間中的K個頻率值，但是K

按照傳統的信號處理理論，這是不可能的，因為正如前面所說的那樣，頻域空間和原本的時空域相比，信息量是一樣多的，所以要還原出全部信號，必須知道全部的頻域信息，就像要解出多少個未知數就需要多少個方程一樣，如果只知道一部分頻域信息，就像只知道K個方程，卻要解出Ⅳ個未知數來，任何一個學過初等代數的人都知道，既然K

但是借助不確定性原理，卻可以做到這一點，原因是我們關于原信號有一個“很多位置是零”的假設，那么，假如有兩個不同的信號碰巧具有相同的K個頻率值，那么這兩個信號的差的傅立葉變換在這K個頻率位置上就是零，另一方面，因為兩個不同的信號在原本的時空域都有很多值是零，它們的差必然在時空域也包含很多零，不確定性原理（一個函數不能在頻域和時空域都包含很多零）告訴我們，這是不可能的，于是，原信號事實上是唯一確定的！

這當然是一個非常違反直覺的結論，它說明在特定的情況下，我們可以用較少的方程解出較多的未知數來，這在應用上極為重要，比如醫學核磁共振技術，核磁共振成像本質上就是采集身體圖像的頻域信息來還原空間信息，由于采集的成本很高，所以核磁共振成像很昂貴，也很消耗資源，但是上述推理說明，事實上核磁共振可以只采集一少部分頻域信息（這樣成本更低、速度也更快），就能完好還原出全部身體圖像，這在醫學上的價值是不可估量的。

今天，類似的思想已經被應用到很多不同的領域，從醫學上的核磁共振和x光斷層掃描到石油勘測和衛星遙感，簡言之：不確定性可以讓測量的成本更低、效果更好，雖然這聽起來自相矛盾。

這里的“極大概率”并不是一個生活用語，而是一個關于具體概率的精確的數學描述，換言之，雖然在最倒霉的情況下不確定性可以比較小，但是這種情況很罕見，一般來說，不確定性總是很大，于是，可以節約測量的成本。

這當然也是一種“不確定性原理”，而且因為引入了隨機性，所以在某種意義上來說比原先的定理更“不確定”，在他們工作的基礎上，一種被稱為“壓縮感知”的技術在最近五六年的時間內很快發展起來，成為涵蓋信號處理、信息提取、醫學成像等多個工程領域最重要的新興工程技術之一。

不過，這些后續的應用和發展估計遠遠超出海森堡的本意了。