正態分布及其實際應用

隨著計算機的廣泛使用和人工智能時代的來臨，數據量越來越龐大，如何處理這些數據？如何從數據中發現規律，提煉出有價值的信息？這些都是非常重要的問題，為此，很多人開始從事這些問題的研究工作，他們被稱為數據挖掘工程師，現在，讓我們一起來探索數據挖掘中的奧妙，

舉一個身邊的例子，我們先觀察某中學男生的身高數據，從中找出身材最高和最矮的同學，或者算出他們身高的平均值，如果我們想要知道男生身高數據的分布情況，比如1.7米至1.75米之間有多少人，占所有男生的比例是多少，我們應該怎么做？如圖1所示，我們可以畫出頻率分布直方圖，將身高最小值至最大值這一區間等分成若干組，統計每一組男生的人數和頻率，然后，在平面直角坐標系中，用橫坐標代表身高，縱坐標是每個小組的頻率除以相應的組距，并繪制出相應的矩形，每個矩形的面積就是該小組男生身高的頻率。

從身高的頻率分布直方圖中我們可以看到，數據大致呈現“中間高，兩邊低”的特點，在十六七歲的男生中，身高超過1.85米和低于1.5米的人數都非常少，而大部分人的身高集中在1.6米至1.75米之間，因此，雖然每個人的身高具有隨機性，但對同一年齡、同一性別的人群來說，其身高的分布是有規律的。

這種規律性是只在身高數據中體現，還是在自然界中普遍存在呢？英國生物統計學家法蘭西斯·高爾頓做了一個實驗，他在一塊木板上畫了一塊等腰三角形，并在三角形區域內釘上n+1層釘子，第1層釘2個釘子，第2層釘3個釘子，下面每一層都比上一層增加1個釘子，上一層的每個釘子都在下一層2個釘子的中間位置，之后，在第n+1層的下面，放人n+2個球槽。

建成后，高爾頓從頂端逐個扔下小球，這些小球在下落的過程中與眾多釘子發生碰撞，每次碰撞都會使得小球隨機向左或向右下落，隨著小球個數的增加，掉入各個球槽內的小球的個數會越來越多，堆積的高度也會不斷增加，最終，如圖2所示，各球槽將呈現出“中間高，兩邊低”的分布，這與我們身高數據的分布非常相似。

并且，如果進一步增加釘子的層數和小球的個數，球槽中小球分布形成的曲線就會越來越光滑，最終趨向于圖3“中間高，兩邊低”的“鐘型”曲線，我們將這條曲線稱為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線。

我們通過觀察這條曲線可以發現，正態曲線是單峰的，有一條對稱軸，對稱軸所在的位置正是數據的平均值，用字母u表示，例如我們的平均身高等。對比圖4中的兩條正態曲線，我們可以看出虛線對應的平均值更大，

圖5中兩條正態曲線的平均值相同，但是形狀不同，實線的正態曲線更加“矮胖”，而虛線的正態曲線更加“高瘦”，我們用另一個希臘字母σ（σ>0）來反映這種“矮胖”或“高瘦”的程度，假設這兩條曲線分別代表了兩個班學生成績的分布情況，兩個班學生的平均成績相差較小，但虛線對應的班級，學生的成績更集中于平均成績附近，它的σ小，而實線對應的班級，學生的成績相對分散，它的σ大，可能出現兩極分化的情況，所以，σ反映了數據的離散程度，它代表了數據的標準差，知道了u和σ這兩個參數，我們就能畫出正態曲線。

我們也可以從另一個角度理解σ，正態曲線與直線x=a，x=b和x軸所圍成圖象的面積代表了數據在區間（a，b）所占的比例，假設工廠生產某種零件，要求孔徑為10mm，但在實際生產中會有誤差，如果孔徑的分布近似服從平均值為10mm、標準差為0.1mm的正態分布，那么如圖6（1）（2）（3）所示，孔徑落在9.9-10.1這一范圍的比例應該是0.683.這是數據分布的主體孔徑落在9.3-10.3這一范圍的比例應該是0.997.落在該區間之外的機率非常小，如果出現比較多的產品超出了這一范圍，那么我們可以懷疑生產過程出現了問題，這稱為“3σ原則”，在生產的過程中，我們可以根據這一原則進行產品質量檢測。

正態分布在統計中是很常用的，例如在醫學上，可以運用正態分布估計人體的某些生理指標，比如白細胞數的正常值范圍，白細胞數在正常人群中近似正態分布，我們可以制定一個上限和下限，比如95%的人在正常范圍之內，而超出這一范圍的人，我們就認為需要對其進行特殊關注了。