接納理解重于訓練運用

摘? 要：從學生不能畫出過定點的斜率確定的直線的現象入手，分析問題在于概念理解僅停留在淺層次、教學情境問題泛化、缺少數學抽象的活動載體和數學表征形式單一. 提出在章起始課教學中建構恰當的概念語境情境、合理創設情境激發學習心向促進概念接納、通過活動拉長進程減緩坡度、以多樣化的概念表征建立概念圖式等改進教學的途徑，得出“章節起始課因涉及核心概念生成、思維方式轉變和思想方法的萌生，故接納理解應重于運算訓練”的結論.

關鍵詞：直線斜率;接納理解;教學思考

一、問題的提出

近日聽了“直線的斜率”研討課，教學過程大致如下：教師先以蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學2（必修）》（以下統稱“教材”）章頭圖為情境，在引言中明確解析幾何的研究對象、方法、策略，然后提出核心問題：如何建立直線的方程？如何利用方程研究直線的性質？接下來是直線斜率的教學，以臺階坡度的定量刻畫作為概念原型抽象斜率的概念和斜率公式，然后以計算運用等手段強化對概念和公式的理解. 從教學時間分配來看，介紹解析幾何研究對象、方法、策略等引言內容用時約4分鐘，直線斜率概念抽象和得到斜率公式用時約14分鐘，例題評講訓練用時約20分鐘;從課堂即時效果來看，學生能順利完成由點的坐標計算直線的斜率，但面對“依據斜率數值畫過定點的直線，如過點[3，2]畫直線，使其斜率為[3/4]”的問題時無從下手. 雖然經過教師提示，把點[3，2]向右平移4個單位再向上平移3個單位得到的點[7，5]在直線上，但是仍有學生追問“斜率為何變成了平移”. 出現該現象的原因何在？教學中如何改進？引起筆者的思考.

二、問題的分析

1. 學生的概念理解水平僅停留在記憶性理解

根據相關研究，數學概念的理解分為三個不同水平：記憶性理解，解釋性理解，探究性理解. 記憶性理解是指能夠記憶概念的定義、符號等，在應用概念方面是標準情境中的簡單套用，或是按照示例進行機械的模仿;解釋性理解是指能夠掌握概念的來龍去脈，能用自己的語言或換一種形式正確地表達概念，在應用知識方面是從一定范圍的變式情境中區別出概念的本質屬性與非本質屬性，或把變式靈活轉換為標準式，以便解決數學問題;探究性理解是指能夠從實際問題中抽象出數學概念或進行歸納假設，探索新概念，在應用概念方面是在相當開放的變式情境中對已有數學概念的擴展. 由斜率數值畫直線，概念理解應達到解釋性理解的層次，需要將具體數值進行邏輯和形式上的運演，運用相關的表征形式將其轉化為熟悉的結構和形式. 課堂上，學生將斜率轉化為關于動點坐標[x2，y2]的方程[y2-2x2-3=34]，但是無法求出不定方程的解，畫不出直線. 若能轉化為其他形式，也許就能順利求解.

2. 教學設置的問題情境不足以喚醒學習心向

在概念邏輯體系中，斜率是章節的核心概念，直線的方程是斜率的“下位概念”. 章頭圖的情境是圍繞“如何建立直線的方程”而設置的，與斜率的概念在邏輯關系上有一定的距離，以此作為問題情境則顯得泛化，不能喚醒學習心向. 依據學生的數學現實，從平面幾何的視角，兩條直線的傾斜程度在圖形上“一目了然”，為何還要“另起爐灶”定量刻畫？這是學生的疑惑. 教學時若以此為切入點，用具體問題將此疑慮顯現放大，可以引發學生學習心向，當疑慮消失后，學生對平面解析幾何涉及的思維視角和研究方法也就有了感性認知.

3. 數學抽象缺少載體致使思維進程快、坡度大

通過引言的教學，學生雖然能感知量化傾斜程度與建立直線方程有關聯，但這種關聯的邏輯性尚不清楚，所以不能自然接納對傾斜程度的量化. 如果有如下認知的鋪墊：延伸方向是直線的本質屬性，傾斜程度是延伸方向的直觀表達，斜率是延伸方向的量化表達. 學生便能自然地從代數角度理解斜率是直線本質屬性的數量表示，與圖形直觀是一體兩面，促進關于直線整體認知的形成. 這既需要學生經歷相應的數學抽象過程，又需要教師設置相應的數學抽象活動. 教學中，可以基于直線是質點做直線運動的軌跡這一認知基礎，引導學生從變化中的不變量和不變關系抽象直線的本質屬性，在活動中拉長思維進程、減緩思維坡度，促進理解的形成和深化.

4. 概念表征形式單一，不能建立聯系形成網絡

斜率表達的是直線延伸方向，而方向的數學表征具有多樣化. 雖然不同時期不同版本的教材對斜率的定義方式不盡相同，但表征斜率的形式都離不開代數、幾何和運動等形式，如角度（直線的傾斜角）、向量（直線的方向向量和法向量）、平移變化和一次函數圖象等. 多樣化的概念表征無論是對內涵的理解還是概念網絡的建立都是必要的. 教材也選用了傾斜角來表征斜率，但斜率的定義不是源于傾斜角的正切函數值而是趨于本質的“函數平均變化率”. 回顧斜率公式的教學，過分強調直線上任意兩點的坐標都能表達和計算斜率，沒有理清直線斜率與點坐標間的邏輯關系，又使得斜率的表征形式單一，致使學生在面對斜率數值時，概念的提取形式僵化，能夠建立的聯系單一，這樣概念理解很難深化，后續的靈活運用將缺乏思維的源泉.

三、相應的對策

1. 重視章起始課教學，建構恰當的概念語境

數學概念不僅表現為一種邏輯關系，同時還有語境和情境的問題. 語境是表達概念外在形式的載體，同時還創造了相關概念的整體語言氛圍. 坐標法及蘊涵的數學思想是平面解析幾何的概念語境和情境，這對于初學者而言因研究視角和研究方法的變化而顯得不能適應和接受，所以在學生認知過程中，適宜的語境氛圍對于概念接納理解和后續學習都是十分必要的. 數學章起始課的重要教學功能就是創建適合概念學習的語境和情境.“直線的斜率”是“平面解析幾何初步”章起始課的教學內容，學生對其理解程度不僅反映在知識點的掌握上，也對概念語境的建構產生直接的影響.

為建構解析幾何的概念語境，教師應從課程的整體性和系統性理解教學內容和目標，辯證地面對“知識的整體性與教學的分散性”之間的矛盾. 實踐中，學生學完直線方程即可發現“并非所有的直線都是一次函數的圖象”，這有助于澄清片面認識，強化知識間的聯結，促進整體理解形成整體觀念. 教學時，教師可以根據“歷史相似性原理”創設情境讓學生經歷“繞不開”的那幾步，以此體會解析幾何的研究內容和方法，還可以創設相關活動，如查閱數學史實、撰寫小論文等，為學生感悟坐標法中蘊涵的量化、符號化和變量化思想提供機會.

2. 創設合適情境，尋找認知基點激發學習心向

一次函數的學習，使“兩點確定一條直線”成為學生的共識. 但是，他們既沒有思考兩點是如何確定直線的，也缺乏這樣思考的意識. 因為學習函數時，函數的圖象是作為研究函數性質的途徑和工具，教學的最終會落點在函數的性質上，通過“描點、連線”畫圖象的依據和嚴謹性不是彼時教學的必須. 而在平面解析幾何中，用代數的方法研究幾何圖形，這種研究視角的改變不是學生熟悉的，教學時在學生熟知的知識體系中提出陌生的問題. 例如，如何保證一次函數解析式確定的所有點都在由兩點畫出的直線上？如何保證由兩點畫出的直線上所有點的坐標都滿足一次函數的解析式？可以將學生帶入“憤”“悱”的狀態，形成學習心向促進主動接納，把思維引向兩點的確定性與直線延伸的方向性的聯系上來. 這樣既可以使得學習新知識的意義不言自明，思維敏銳的學生還能捕捉到“另起爐灶”意味著思維視角和研究方法的改變.

3. 恰當安排活動，拉長思維進程，減緩抽象坡度

《辭海》對“本質”一詞的解釋為“事物內部穩定的聯系”，教學中應以表現本質屬性的關系和問題為載體，設置與之相應的認知活動，如觀察、比較、辨別、表達等. 通過這些具體認知活動可以拉長思維進程、減緩思維坡度，以促進概念理解和觀念形成. 在教學過程中，筆者提煉直線本質屬性的過程如下：先以追問“兩點究竟是確定了直線的哪種屬性，從而才使得直線得以確定？”引導學生思考，在形成“延伸方向是直線的本質屬性”的認識后，任意畫出一條直線，讓學生表達其延伸方向，當學生明白直線上任意兩點都可以用來表達延伸方向時，以表達的任意性凸顯直線延伸方向的唯一確定性;然后讓學生辨別平行直線延伸方向的一致性和相交直線延伸方向的不一致性，明確延伸方向與直線位置的因果關系，以此強化對直線本質屬性的理解;最后在觀察、描述多對相交直線傾斜程度差異性的活動中，形成差異的精確化需要傾斜程度的數量化，引入斜率概念和公式. 這樣，讓學生在具體數學活動中親身體驗數形結合具有內在的一致性.

4. 多樣化概念表征，建立聯系形成概念圖式

數學概念教學的重要課題是如何幫助學生適時、連續地完成概念圖式的不斷形成和轉換. 相關概念間的邏輯、并行、上下位等關系是形成概念圖式的基本途徑. 多樣化的表征對于核心概念圖式（如直線的斜率）的形成和轉化至關重要. 如下案例是筆者多樣化表征斜率的教學片斷.

案例：斜率數值的形象化.

師：在平面上畫直線，使其斜率分別等于數值1，[-1]，[12]，[-23]，并簡要說明依據.

對于1和[12]，有的學生轉化為等腰直角三角形和內角為30°的直角三角形（雖然找出的三角形不對，但是思路很好）的斜邊，也有的學生轉化為一次函數的圖象;對于-1和[-23]，采用直角三角形畫法的學生顯得有些無助.

師：大家采用的策略都是以形助數，把斜率的數值與具體的圖形建立關聯，圖形直觀可以為問題的解決提供幫助. 從公式結構看，斜率是[Δy]與[Δx]的比值，如果將[Δy]和[Δx]都看成變量，有何發現？

生：將公式變形后即為[Δy=kΔx]，是一次函數關系.

師：若從函數關系的內涵思考，可以得到什么？以[k=-23]為例具體說明.

生：若確定了[Δx]的值，則[Δy]也隨之確定. 例如，當[Δx=3]時，[Δy=-2].

師：利用哪種圖形可以表達[Δx=3]和[Δy=-2]呢？

學生進入沉思狀態，稍后學生提出平移變換，將點向右平移3個單位再向下平移2個單位，即可實現[Δx=3]和[Δy=-2].

師：同學們的思考非常有意義！枯燥的斜率[k]被看成了直角三角形、一次函數的圖象和平移變換，豐富了對斜率的認識. 在后續學習中，斜率也許還有其他的形象.

解析幾何的核心是數形結合，遵循“幾何問題代數表達—代數運算獲得結果—代數結果的幾何形式”的研究過程，但是這并非機械的線性順序，而是要數形結合貫穿始終. 實際上，圖形的代數表達既不能僵化也不是單向的，而是在深入分析形的特征和幾何推理的基礎上完成的;而代數運算也不是純粹的運算，要以形啟算、以形導算、以形驗算，才能使運算的路徑簡潔，結果合理. 學生不能由斜率的數值畫出直線，表明他們不能識別斜率數值中隱含的圖形特征，無法將其與具體圖形建立關聯.

另外，概念間的邏輯關系也是影響概念理解和概念圖式的重要因素. 例如，斜率與點坐標間的關系，在有些學生的理解中，斜率就是兩點的縱、橫坐標變化量的比值，所以必須有點的坐標才能求出直線的斜率. 如此，點坐標是斜率的先決條件，斜率變成了點坐標的附屬品. 顯然，這使兩者的邏輯關系本末倒置了. 在教學中，教師提出問題：不在坐標系中的直線存在斜率嗎？如果存在，將其表達出來. 這樣就可以清楚斜率與點坐標之間的關系，使學生形成正確的認知.

四、結語

對于核心概念的教學，接納理解應重于運算訓練. 運算是一種重要的數學能力和素養，培養運算能力不能僅靠技能訓練而脫離數學理解. 訓練需要建立在理解的基礎上. 因為數學概念、定理、法則的理解，公式的靈活運用等必須通過解題訓練來完成，這是數學的學科特點，也是數學教學中更加具體的教學任務，但是如果教學中僅以運用和訓練來代替數學理解，在形式上就會落入“數學教學 = 解題教學 = 題型教學 = 刺激 - 反應訓練”的窠臼，實質上是“淺教學”，容易造成記題型套公式的錯誤認知，對發展學生的邏輯推理能力沒有推動作用. 因為邏輯推理須講究邏輯的起點、過程和結果，只有明確數學概念和數學方法之間的邏輯關系，才能按邏輯關系有序思考. 在解析幾何學習中，經常聽到學生感慨：能找到題目的解法，但是卻算不出來結果. 于是“熟能生巧”就被奉為訓練的法寶. 在直線斜率這樣的章起始課中，涉及章節核心概念生成、思維方式的轉變及數學思想方法的萌生，應該分清輕重緩急，顯然接納理解應重于運算訓練.

參考文獻：

[1]青浦縣數學教改實驗小組. 學會教學——青浦縣數學教改實驗[M]. 北京：人民教育出版社，1991.

[2]黃秦安. 論數學概念的邏輯—語境—情境及其教學的思維—認知—社會場[J]. 教育研究，2016（9）：98-105.

[3]王海青. 論整體主義教學[J]. 全球教育展望，2019（4）：34-44.

[4]李大永. 基于數學思想方法的理解，整體設計解析幾何的教學[J]. 數學通報，2016，55（11）：13-18.

[5]章建躍. 發揮數學的內在力量為學生謀取長期利益[J]. 數學通報，2013，52（2）：1-10.

[6]章建躍. 數學概念的理解與教學[J]. 中學數學教學參考（上旬），2010（11）：2-6，13.

收稿日期：2020-07-08

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規劃課題——對高中數學教科書中章頭圖和章頭語的教學研究（B-b/2016/02/118）.

作者簡介：李昌（1972— ），男，中學高級教師，主要從事高中數學教學研究.