一種考慮時延的雙氣泡耦合振蕩模型

蒿超凡，趙 梅，胡長青

(1. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海201815；2. 中國科學院大學，北京100190)

0 引 言

開闊海洋存在大量氣泡，氣泡以固有頻率自由振蕩時會產生類似單極子一樣的輻射噪聲[1]，是海洋噪聲的主要來源之一。

Minnaert[2]早在1933年研究了單個球形氣泡的小振幅振蕩特性，并給出了氣泡的固有頻率表達式。Plesset[3]在Rayleigh[4]氣泡運動理論模型的基礎上進一步發展，得到了廣為適用的Rayleigh-Plesset方程。后來的研究[5-6]表明，水中氣泡產生聲音的原理，是由于受激氣泡體積在短時間內發生變化引發了氣泡的體積振蕩，也稱呼吸模式。氣泡振蕩在聲學上表現為一個高品質因素(Q值)、高阻尼的振蕩器，并在氣泡受激時發出具有指數衰減的正弦曲線形式的窄帶脈沖。1971年Shima[7]在考慮絕熱系數的基礎上推導了雙氣泡耦合振蕩方程，并得到了耦合頻率的表達式。公式表明氣泡間的耦合效應會導致振蕩頻率偏離其原本的固有頻率。但是Shima的推導中忽略了粘度、流場的可壓縮性等特征，因此只適用于距離不遠處氣泡間的相互作用。1980年Keller等[8]在考慮周圍流場粘滯性與可壓縮性的基礎上，推導了新的氣泡運動方程，稱為Keller方程。2011年An[9]和2013年Zhang等[10]討論了微氣泡鏈和簇在有時延情況下的聲空化、聲致發光現象，表明氣泡間的相互作用會抑制彼此振蕩。而氣泡間的Bjerknes力有助于氣泡鏈維持穩定。

綜上所述，在研究雙氣泡耦合振蕩時，需要考慮到周圍液體的聲速是有限的、氣泡間相互影響是有延遲的這一特點，即考慮液體的可壓縮性，氣泡受到其他氣泡的影響通常是一個時延場。因此，本文建立了考慮即時影響與時延的雙氣泡耦合計算模型，研究時滯效應在雙氣泡耦合過程中起到的作用，考察氣泡的阻尼以及頻率在耦合過程中的變化規律。

1 氣泡耦合振蕩方程

1.1 單氣泡振蕩方程

假設無外力影響的無限流域中的氣泡是球形的，氣泡劇烈振蕩時周圍流體是可壓縮和粘滯的。則氣泡運動應該滿足Keller方程[8]：

其中：R表示氣泡半徑，表示半徑變化的速度；為加速度；ρ為流體密度；cl為液體中的聲速；ptotle定義為當氣泡不存在時此位置處的壓強和；對于自由振蕩的單氣泡，ptotle等于靜水壓強，pl表示流體作用在氣泡壁外側的壓強，其滿足：

其中：p∞表示氣泡所在位置處的靜水壓強；σ表示表面張力系數；R0為氣泡平衡半徑；κ為多方指數；η為粘滯系數。

距離r處的輻射聲壓滿足[11]：

式中，等號右側第三項為伯努利壓力項，計算時可忽略。

1.2 雙氣泡振蕩公式

設有相距為d(R0?d)的兩氣泡平衡半徑為R10和R20，則兩個氣泡自由振蕩時都受到彼此輻射聲壓的影響，于是由式(3)可知，ptotle需滿足：

式中：τ=d/c1。將其代入式(1)，則雙氣泡耦合振蕩公式為

其中：m,n=1或2且m≠n。

1.3 無時延雙氣泡的頻率和阻尼

首先考慮小振幅振蕩、無時延情況下的雙氣泡耦合公式。并討論一種特殊情況，當兩氣泡尺寸一樣，在相同工況條件下兩氣泡的振蕩情況是一致的，令R=R0+Rε，將式(5)線性化處理[12-13]：

其中，δc和ωc0分別滿足：

其中，cδ為耦合阻尼，耦合后的系統頻率應為

由以上推導可以得到，耦合后的阻尼δc相較于單氣泡時的阻尼δ偏小，δ/δc＞1，其衰減系數隨著距離的增大而增大；其頻率相較于單氣泡時的頻率偏小，ω/ωc＞1，其頻率隨著距離的增大而增大。

1.4 有時延雙氣泡的頻率和阻尼(展開)

類比式(6)，對于雙氣泡耦合公式為[12,14]

考慮1.3節中的工況，對式(11)等號左邊第一項進行展開，保留前兩項，可得：

式中出現了高階項，并且考慮到R0?λ，將式(12)兩端同時求導并略掉四階項，三階項可以用低階項表示。將使用低階項表示的三階項代回原式，可以得到：

其中：δdc為耦合阻尼；ωdc0表示系統固有頻率，表達式分別為

于是耦合頻率ωdc為

考慮文獻[15]中的數值結果，1 mm單氣泡自由振蕩的衰減系數為 412，角頻率為 2.06×104。可以得到帶時延的雙氣泡耦合有：δ/δdc＜1 ，且阻尼隨著距離的增大而增大；ωdc/ω＞1，頻率隨著距離的增大而增大。對于反相耦合氣泡有：δ/δdc＞1 ，且阻尼隨距離的增大而減小；ωdc/ω＜1，頻率隨距離的增大而減小。

1.5 有時延雙氣泡的頻率和阻尼(不展開)

1.4節中對于式(11)進行了展開，但是當距離d足夠遠的時候，展開式誤差就會變得很大。這里不進行展開，直接將代入可以得到：

為了驗證3種氣泡耦合模型的正確性，建立了耦合計算數值模型，并采用四階龍格庫塔方法仿真氣泡的運動情況。

2 數值計算模型

基于式(5)，構造一種耦合模型，如圖1所示。首先將氣泡間輻射聲壓的傳遞時間分成M份，即每份時間為τ/M。考慮兩個自由振蕩氣泡，tn時刻在極短的時間內以當前半徑，在受到彼此輻射聲壓的共同作用下開始振蕩(初始時刻彼此輻射聲壓影響為0)，并輻射聲壓，經過τ/M后氣泡半徑變為，然后氣泡1和氣泡2于tn+1時刻在半徑為以及彼此氣泡影響的共同作用下繼續振蕩并再次輻射聲壓，如此反復。直到經過τ時間后，tn時間點半徑為的氣泡，輻射的聲壓在tn+M時間點到達另一個氣泡并作用于該氣泡，該氣泡的半徑由當前時刻的變為下一時刻的，然后下一時刻氣泡繼續輻射聲壓再進入時刻，一直重復上述過程。當選取的Δt足夠短，就可以近似認為，雙氣泡之間復雜的耦合過程能用此模型來表示。

其中Δt表示數值計算模型的時間步長，在模型中設為氣泡間聲傳播時間τ的1/M，即 Δt=τ/M。隨著氣泡間距離的增加，模型的計算步長也會發生相應的變化，這時只需要選取一個較大的M，就能防止數值計算的過程中由于時間步長過大，從而產生離散的結果。

圖1所示的模型選取了M= 2 的情況，氣泡tn時刻受到的影響總是來自tn-2時刻。

圖1 M=2時的數值計算模型Fig.1 Numerical calculation model for M=2

3 耦合振蕩的影響因素

3.1 耦合氣泡的阻尼與頻率

假設水中有兩個球形氣泡相距0.01 m，氣泡半徑均為 1 mm，對兩個氣泡同時施加相同的初始擾動，擾動幅度為+0.1 mm。兩氣泡的耦合振動應該對稱且一致。同相藕合的氣泡振蕩波形如圖2所示，同相藕合的氣泡振蕩頻譜如圖3所示。

由仿真計算結果可以看出，氣泡間的耦合作用會對氣泡的振蕩產生較為明顯的影響。由圖2可以看出，相較于單氣泡時的氣泡振蕩情況，耦合氣泡會因為彼此間的相互作用，而比單氣泡衰減得更快，即具有較大的衰減系數。由圖3可以看出，氣泡的振蕩頻率也會因為耦合向低頻偏移，相較于單氣泡降低了約150 Hz。這是因為相距不遠的氣泡膨脹和縮小時，其周圍流體可以認為都是壓縮相或者稀疏相，會使得另一個氣泡更難且更慢地膨脹或者縮小，從而抑制另一個氣泡振蕩，使得氣泡阻尼變大，頻率變小。

圖2 同相耦合氣泡振蕩波形Fig.2 Oscillation waveforms of in-phase coupled bubbles

圖3 同相耦合的氣泡振蕩頻譜Fig.3 Oscillation spectrums of in-phase coupled bubbles

當其他條件不變，僅把初始工況改為相反的情況，氣泡1擾動為+0.1 mm，氣泡2擾動為-0.1 mm。兩個反相藕合的氣泡振蕩波形和第0.005～0.01 s的細節放大圖如圖4所示，振蕩頻譜如圖5所示。

可以發現，高校擴招政策的確增加了我國居民接受高等教育的機會，促使城鄉教育收益率顯著提高；同時，高校擴招政策對于抑制城鄉間居民收入差距的進一步擴大有一定的作用，有助于縮小城鎮居民教育收益率差距，說明發展高等教育可在一定程度上弱化城鄉不同收入階層的過度分化。同時，高校擴招政策使得優質的教育資源更傾向于城鎮居民和高收入群體。這應當引起政策設計者的足夠重視，在大力發展高等教育的同時，需要更加關注教育機會在城鄉之間和不同收入群體之間的公平分配問題。

圖4 反相耦合的氣泡振蕩波形Fig.4 Oscillation waveforms of anti-phase coupled bubbles

圖5 反相耦合的氣泡振蕩頻譜Fig.5 Oscillation spectrums of anti-phase coupled bubbles

由仿真結果可以看出，反向耦合氣泡間的相互影響相當顯著，氣泡間產生共振使得氣泡振蕩時間相較于單氣泡的振蕩時間延長兩倍以上，氣泡阻尼減小。氣泡振蕩頻率相對于單氣泡(見圖3)情況增加了約175 Hz。由圖4(b)可以看出，兩氣泡一直處于相反的相位上，彼此間形成了一個共振系統。這是因為氣泡1膨脹或縮小時，周圍流體是壓縮或者稀疏的，氣泡2是剛好相反的，這樣稠密區和稀疏區相互抵消，在距離較近時彼此氣泡更容易和更快地膨脹或者縮小，從而使得氣泡阻尼減小，頻率增大。

根據仿真結果可知，考慮帶時延的耦合計算模型更符合仿真計算結果，第1.4節的推導對于阻尼和頻率的結論在這里是正確的。

3.2 半徑和振幅對振蕩的影響

考慮兩個半徑分別為2 mm(氣泡 1)和1 mm(氣泡 2)的氣泡，初始擾動均為 0.1 mm，氣泡間距0.01 m。其振蕩情況如圖6、圖7所示。

圖6 不同初始半徑的氣泡振蕩波形Fig.6 Oscillation waveforms of the bubbles with different initial radii

圖7 不同初始半徑的氣泡振蕩頻譜Fig.7 Oscillation spectrums of the bubbles with different initial radii

從圖6可以看出，對于較大半徑的氣泡振蕩幅度并未受太大影響，但是較小半徑的氣泡會受到較大影響，其振幅隨著每個周期忽大忽小地衰減。兩個氣泡的衰減時間有所延長，但保持一致。從圖 7可以看出，兩氣泡的頻率主峰主要保持在單氣泡(圖3)時的頻率，大氣泡能在小氣泡對應的頻率上激發較為明顯的幅值，但是小氣泡卻很難激發大氣泡。這一結論與文獻[16]中的結論相一致：大氣泡對小氣泡有顯著影響，反之影響不大。

考慮兩氣泡半徑為 1 mm，但是初始擾動為0.1 mm(氣泡 1)和 0(氣泡 2)的情況。如圖 8、圖 9所示。

由圖 8、9可以發現，對于相同半徑但不同初始擾動的情況，氣泡運動更為復雜。有擾動時氣泡在若干個周期內迅速衰減，零擾動氣泡在此期間開始振蕩并達到最大振幅，此后又經若干周期并迅速衰減，此期間衰減后的有擾動的氣泡振幅又開始增大。兩個氣泡如此交替反復，直到在阻尼的影響下達到3.1節中反相耦合的共振狀態。在頻域，兩個氣泡均表現為雙峰的特點，峰值頻率均位于單氣泡(見圖3)固有頻率(3 284 Hz)的兩側，其中氣泡1的兩個波瓣有更高的區分度，且偏離固有頻率相對較遠。

圖8 不同初始擾動下的氣泡振蕩波形Fig.8 Oscillation waveforms of the bubbles under different initial disturbances

圖9 不同初始擾動下的氣泡振蕩頻譜Fig.9 Oscillation spectrums of the bubbles under different initial disturbances

再考慮兩氣泡半徑為 2 mm、初始擾動為0.2 mm(氣泡1)和半徑為1 mm、初始擾動為0(氣泡2)的情況，如圖10、11所示。

由圖 10、11可以看出，大氣泡雖然可以激發靜止狀態的小氣泡產生振蕩，但對比同半徑氣泡耦合，大氣泡對小氣泡產生的影響相對較小，圖 10中小氣泡被激發的最大振幅約為大氣泡最大振幅的1/4。頻域上小氣泡的振蕩表現為雙峰特征。其頻率峰值主要保持在大氣泡的主頻以及小氣泡本身的固有頻率附近。

圖10 不同初始擾動下不同初始半徑的氣泡振蕩波形Fig.10 Oscillation waveforms of the bubbles with different initial radii under different initial disturbances

圖11 不同初始擾動下不同初始半徑的氣泡振蕩頻譜Fig.11 Oscillation spectrums of the bubbles with different initial radii under different initial disturbances

3.3 氣泡間距對振蕩的影響

根據式(14)，同相耦合氣泡的阻尼在任意距離處都應大于單氣泡時的阻尼，且隨著距離的增大，阻尼增大。但實際上存在一個特殊距離ds1，使得氣泡間距超過ds1時，氣泡阻尼會逐漸減小，存在一個距離ds2，超過ds2時，阻尼又逐漸增大。

利用牛頓迭代法計算了不同距離下式(17)的解，同時仿真了1.3節和1.4節中關于阻尼和頻率的推導，得到了隨距離變化的衰減系數的值。并與數值計算模型的仿真結果進行對比，結果如圖 12所示。頻率的對比結果如圖13所示。氣泡半徑均為1 mm，初始擾動均為+0.1 mm。

圖12 兩氣泡不同間距處的阻尼Fig.12 Damping at different intervals between two bubbles

圖13 兩氣泡不同間距處的振蕩峰值頻率Fig.13 Oscillation peak frequency at different intervals between two bubbles

圖12中數值計算模型的仿真結果，其衰減系數可以根據阻尼的定義得到，等于氣泡振蕩的時域波形包絡最大值的1/e處對應時間的倒數。

由圖12可知，無時延耦合(1.3節)時的阻尼變化與模型仿真結果差別較大，在間距較小時兩者的差約為δrad[13]；泰勒展開法的時延耦合(1.4 節)在間距d＜0.05 m 時，可以粗略估計阻尼的變化，當d＞0.05 m將產生較大的誤差。而不通過展開、通過數值計算到的方法(1.5 節)與仿真模型的結果相接近，平均誤差小于5%，其同相耦合氣泡的阻尼會隨著間距d的增大先增大后減小，然后繼續增大。以上結果說明在氣泡間距小于ds1(ds1≈ 0 .05 m )時，使用有解析解的展開法(1.4節)可以粗略估計耦合阻尼，當氣泡間距大于ds1時阻尼變小，1.4節中的方法不再適用，這是因為距離增大使得耦合效應變弱。當氣泡間距大于ds2時(ds2≈ 0 .33 m )，阻尼再次增大，這是因為經過一定傳播時間的壓縮(膨脹)，氣泡周圍流體變成膨脹(壓縮)狀而形成反相抵消，產生共振，這與3.1節中討論的情況有一定相似，因此本來減小的阻尼會略微增大。圖 13展示了振蕩峰值頻率隨距離的變化過程。圖 13中幾種方法均能粗略估計耦合氣泡的頻率變化，其中1.5節的方法更接近數值仿真結果，當氣泡間距大于0.4 m左右時，幾種方法對頻率的估計趨于一致，且稍低于單氣泡時的固有頻率(3 284 Hz)。

4 結 論

本文建立了時延的雙氣泡耦合振蕩仿真計算模型，研究了不同參數對耦合振蕩阻尼和頻率的影響。得出的主要結論如下：

(1) 帶時延的耦合氣泡相較于零時延耦合氣泡，阻尼有較大的不同，氣泡初始相位也起到了關鍵作用，在間距較近時，同相耦合氣泡的阻尼增大，反相耦合的氣泡阻尼減小。

(2) 氣泡半徑和初始振幅對氣泡間的影響顯著，首先是同半徑氣泡之間耦合效果最為明顯，其次是大氣泡、大振幅也能激發起小氣泡產生振蕩，在頻率上均表現為雙峰的特點。

(3) 存在一個臨界距離ds1，使得當氣泡間距大于ds1時，氣泡阻尼會逐漸減小；存在一個臨界距離ds2，當氣泡間距大于超過ds2，阻尼又逐漸增大。當氣泡間距小于ds1時，式(14)具有一定的參考作用，當大于此距離時，氣泡確切的阻尼變化無法用解析解去表示，只能通過數值計算的方法得到。而氣泡振蕩頻率的變化均能使用文中的幾種方法得到，其中1.5節中的方法相對更為準確。