基于小波包變換及時間-小波能量譜的振動信號分析研究

谷旭東，滕科嘉,史雪梅

0 引 言

小波分析是一門正在迅速發展的信號處理方法，可以對測量信號進行時頻域分析，具有多分辨分析的特性[1]，可有效地從非平穩信號中提取瞬態、穩態信息及信號的波形特征.近年來實際的工程項目中，有很多采用小波濾波進行信號處理方面的應用，并且效果也十分令人滿意[2].特別是Mallat在基于塔式構造思想提出基于小波變換的多分辨率分析算法之后，學界又提出了一系列基于小波理論的信號分析方法.

工程中常用基于傅里葉變換的帶通濾波器進行降噪，但在處理過程中經常將部分系統真實信號一起過濾掉，造成信息損失.近年來，隨著小波理論的發展.工程中廣泛采用小波閾值去噪方法進行信號去噪[3,4].小波閾值去噪主要用于處理含有白噪聲的信號，測量信號經小波變換后，通常認為那些由信號產生的小波系數主要包含著信號的重要信息部分，并且其幅值較大，數目較少，而由白噪聲產生的小波系數的幅值較小，可以方便分離出噪聲干擾.小波降噪能夠很好地抑制非平穩信號中的噪聲并且保留原始信號的特征，這使得小波降噪在信號領域得到了越來越廣泛的應用.其中小波閾值降噪實現簡單、降噪效果好，因此在工程應用中得到了深入研究和廣泛應用.小波濾波后的信號經時窗小波變換后,可獲得不同尺度下的小波系數.對于信號的奇異點,可以從小波分解系數的模極大值檢測出來[4].樊春玲等[5]采用小波模糊神經網絡對陀螺儀系統進行了故障診斷，吳麗娜等研究了離散小波變換在衛星姿控系統故障診斷中的應用，均取得了很好的效果[6].

在航天、航空中的機械系統中，存在眾多的旋轉、振動組件，其運行狀態需要進行檢測，故障模式需要識別.近年來，基于小波能量譜方法的分析方法在機械故障診斷中的應用越來越廣泛[7-8].近年來，許多學者將小波能量譜與主成分分解、自適應等方法結合應用于軸承等結構中[9-10].基于小波包分解的小波能量譜方法可將測量信號的能量在不同頻段的分布展現出來，通過對比，發現機械系統固有頻率、模態等參數隨時間的變化，并識別出系統的狀態.本文將首先基于小波分析的折中閾值法對測量信號進行降噪，然后基于小波能量譜方法對信號進行分析，識別出系統的運行狀態.

1 小波分析簡介

小波變換的本質就是用精心挑選的基來表示信號方程的過程.每個小波變換都會有一個母小波ψ(t)，同時還有一個尺度函數，對二者進行縮放和平移后即可得到任何小波變換的基函數集合.

對于信號f(t)的連續小波變換定義為

(1)

其逆變換(恢復信號或重構信號)為

(2)

小波的兩個系數a,b表示信號分解的伸縮因子和平移因子，分別可以刻畫信號的頻域信息和時域信息，參數a又可以稱為尺度因子，用于將信號在不同頻域進行分解，進行多尺度的分析.

信號f(t)的離散小波變換定義為

(3)

其逆變換(回復信號或重構信號)為

(4)

一般信號的小波多尺度分解可以從如下示意圖看出：

圖1 三層小波的分解Fig.1 Wavelet decomposition with three layer

一般的，小波分解時僅對上一層的低頻信號進行分解，而高頻信號不再進行分解，會造成高頻段的頻率分辨率和低頻段的時間分辨率不太好，因此，發展出了小波包分解方法，它是一種更為精細的信號分解方法，提高了信號的時頻分辨率，且在能量分布分析時有較好的表現(信號損失更少)，小波包分解的圖示如下圖所示：

圖2 三層小波包分解Fig.2 Wavelet packet decomposition with three layers

2 小波系數估計的折中閾值法

小波閾值降噪包括軟閾值和硬閾值去噪方法，即在眾多小波系數中，把絕對值較小的系數置為零，而讓絕對值較大的系數保留或收縮，分別對應于硬閾值和軟閾值方法.在本項目研究中，通過對比分析了基于軟閾值和硬閾值的小波閾值降噪方法的特點，提出了軟硬閾值折中法，小波系數估計的軟硬閾值折中法模型定義為：

(5)

3 小波包能量譜

根據小波分解的表達式，小波變換遵循能量守恒，有：

(6)

上式可改寫為如下兩種形式

(7)

(8)

分別定義

(9)

(10)

E1(b),E1(a)分別表示能量在時間坐標和尺度坐標中的分布.E1(b)為只含有時間參數的函數，對其進行頻譜分析，可得到待分析信號能量分布的頻率信息，可用于分析非穩態信號，即本項目中的升速信號.E1(a)為只含有尺度參數a的函數，對其按分解層數進行統計，可得到能量在不同頻率段的分布，可用于分析穩態信號, 通過與正常信號的對比，可以識別出故障信號.

Pi=Ei/E

(11)

Pi代表各頻帶能量在總能量中的占比.

4 仿真實驗及分析

4.1 仿真驗證及分析

為考察所采用降噪方法的有效性，用軟硬閾值折中法對仿真信號進行分析，仿真信號如下：

f(t)=1.6cos(60t)+1.3sin(40t)+r(t)

(12)

r(t)是強度為1的高斯白噪聲.在計算過程中，采用db4小波，進行4層分解，采用的閾值函數為Stein的無偏風險估計.

圖3 初始含噪信號Fig.3 Original signal with noises

圖4 采用折中閾值法降噪后的信號，a=0.5Fig.4 Denoised signal with compromised threshold, a=0.5

圖3展示了含有噪聲的原始信號，可以看到隨機擾動將使信號呈現很強的隨機性，圖4展示了采用折中閾值法降噪后的信號，采用小波去噪方法可以很好的消除信號中的噪聲影響，將隨機擾動從初始信號中剝離出來.

圖5 軟閾值法降噪后的信號Fig.5 Denoised signal with soft threshold

圖6 硬閾值法降噪后的信號Fig.6 Denoised signal with hard threshold

將折中閾值方法得到的結果(圖4)與采用軟閾值(圖5)和硬閾值(圖6)方法得到的結果進行對比，可以看出硬閾值降噪方法能夠更多的保留系統的特征，但所得圖形相對粗糙，軟閾值降噪方法處理的結果相對光滑，但會損失一些系統信息；針對這兩種閾值的特點，折中閾值法通過折中因子的選取，可以在保留系統特征和圖形光滑度之間進行折中調節，結果表明，折中閾值法可以通過選取折中因子來平衡信號光滑度和信息損失的矛盾，更具有靈活性和操作性.

4.2 測量結果驗證及分析

對穩定轉速為 6000 r/min到的軸承信號分析，采樣頻率為25.6kHz, 分別在三個不同時間點進行測量，每個時段測得三組數據.采用小波能量譜的方法進行分析，分別得到信號能量在各頻帶中的分布，可根據不同時間測量的信號能量分布變化，完成對結構狀態的診斷.在對信號的分析過程中，采用db12小波函數，對數據進行三層分解，可將信號在八個頻帶進行分解.

圖7 同一時間測得的三組信號能量分布Fig.7 The energy distribution of three sets of signals obtained in the same time period

圖7展示了在同一時間測得的信號能量在各頻帶中的分布，從圖中我們可以看到，信號在各頻帶中的分布具有一致性，三組信號在各能帶中分布的百分比最大不超過2%，其他各組數據也具有這一特點，因此可以說明信號測量中不存在影響分析的干擾.

圖8 不同時間測量信號的能量分布Fig.8 The energy distribution of three sets of signals obtained in different time period

圖8展示了在三個不同時間測量信號的能量在各頻帶中的分布，從圖中可以看出信號在各頻段的分布隨時間有一定的變化.且第二組數據相較于第一和第三信號的能量在低頻和中頻均有一定的分布，而第二組信號在中頻部分無分量且在高頻部分有部分分量，這是由于在第二段時間后，對軸承系統進行了維護.由分析結果可以看出，所采用的小波能量譜方法可以很好的監測振動結構的狀態，用于振動系統的故障識別.

5 結 論

對含有噪聲的初始信號，本文首先基于折中閾值的小波包去噪方法對初始信號進行去噪，去掉噪聲的影響，然后基于小波能量譜方法計算出去噪后的信號在各頻帶種的占比，可有效提取出測量信號的分布特征，識別出系統的狀態.并從仿真實例和實際測量信號分析中驗證了方法的有效性.