考慮煤體彈-塑性變形的基本頂板初次破斷結構特征

2020-09-16 13:18:38何富連何文瑞陳冬冬謝生榮何常西

煤炭學報 2020年8期

關鍵詞：模型

何富連，何文瑞，陳冬冬，謝生榮，李輝，何常西

(中國礦業大學(北京) 能源與礦業學院，北京 100083)

工作面上覆基本頂的破斷位置、破斷順序和破斷形態對指導工作面安全回采以及鄰側區段巷道的煤柱寬度合理確定等意義顯著[1-2]。

要研究基本頂的破斷規律，需要明確兩類問題:① 采用梁結構模型，還是板結構模型;② 模型的邊界條件是固支、簡支、彈性基礎邊界還是彈-塑性基礎邊界，這2個方面選擇對科學合理的制定措施至關重要。

多年來，礦業科技工作者分別建立了基本頂在固支邊界、簡支邊界、文克爾彈性基礎邊界(錢鳴高院士等根據煤體抗剪切能力弱等特點提出煤體近似符合文克爾彈性地基假設[1])等條件下的梁結構模型，據此分析了基本頂破斷機理、破斷形態、破斷時的反彈壓縮擾動，采場初次來壓的結構特征及來壓步距等問題[1,3-7];建立了基本頂在固支、簡支及自由邊界條件下的板結構模型，分析了基本頂的破斷位置、破斷順序及“O-X”型破斷形態特征等[8-15];初次破斷前的基本頂四周處于上覆較軟巖層和下伏直接頂與煤層的夾支狀態，由于煤層的剛度小于甚至遠小于基本頂的剛度，那么相同受力條件下煤層的壓縮變形量大于甚至是遠大于基本頂的壓縮變形量，可見下伏煤層限制基本頂下沉的能力很弱，特別是煤層厚度較大且較軟時，此時遠無法滿足固支邊界條件假設，為了彌補此缺陷，構建并系統研究了文克爾彈性基礎邊界基本頂板結構首采工作面初次破斷、周期破斷、一側采空與兩側采空時的破斷規律及影響因素等[16-20]，并得到了固支邊界模型得不到的重要結論，這些研究從不同角度，基于不同的模型假設得到的研究結論對采礦工程實踐起到了重要的指導作用。

但是，煤層開采后，基本頂懸頂區域周邊一定深度范圍內的煤體必然進入塑性狀態，即全區域煤體并不能全部滿足彈性基礎邊界條件假設。可見，全面考慮采空區周邊煤體的彈-塑性變形，才能更符合基本頂初次破斷特征，得到的結論才能更有效的指導實踐。筆者通過構建彈-塑性基礎邊界條件下的基本頂板結構初次破斷模型，基于有限差分方法研究煤體的塑化程度和塑化范圍、基本頂厚度、彈性模量及未塑化煤體的彈性基礎系數、懸頂跨度對基本頂板結構破斷位置、破斷順序及整體形態特征的影響，對于認識基本頂初次破斷過程及其結構形態具有重要價值。

1 基本頂邊界條件類型

煤層開采后，懸頂區域的基本頂處于上覆與下伏巖層的夾支狀態。若基本頂上下覆巖層的剛度為無窮大，可構建固支邊界模型，如圖1(a)所示;實際上，基本頂上下覆巖層的剛度小于甚至遠小于基本頂的剛度，特別是煤層厚度較大且較軟時是無法滿足固支邊界條件要求的，所以如圖1(b)所示，可假設基本頂受到上下覆彈性巖層的夾支，即可構建彈性基礎邊界模型;對于實際的采礦工程問題，支撐基本頂的煤體淺部必然處于塑性狀態，而圍巖表層甚至處于破碎狀態，深部煤體處于彈性狀態，所以如圖1(c)所示，可構建彈-塑性基礎邊界基本頂板結構模型，研究所得結論顯然更符合實際。

圖1 基本頂邊界條件對比Fig.1 Comparison ofmain roof boundary conditions

2 彈-塑性邊界基本頂板結構力學模型

2.1 力學模型建立

根據彈性薄板力學假設[21]

(1)

式中，h為板厚度,m;l為板短邊長度,m。

一般條件下采場上覆基本頂均滿足上述要求，所以滿足彈性薄板假設[21-22]。

開采區域周邊的基本頂四周受到上下覆巖層的夾支，尤其是下伏煤層的基礎系數是限制基本頂在煤體支撐區變形與破斷的關鍵。通常條件下淺部煤體處于塑性狀態，深部煤體處于彈性狀態，即支撐基本頂的為周邊彈-塑性煤體，而煤體塑化程度和范圍必然對基本頂的破斷特征有影響。

據此建立如圖2所示的考慮煤體彈塑性變形的彈-塑性基礎邊界基本頂薄板初次破斷力學模型，其中，ABCD區域為已經開采而基本頂懸頂未斷區域、A1B1C1D1區域之內與ABCD區域之外為塑化煤體支撐區、A1B1C1D1區域之外而A2B2C2D2區域之內為彈性煤體支撐區，邊A1B1,B1C1,C1D1及A1D1為彈-塑性煤體分界線，工作面的長度AB為2a、開采懸頂區的跨度AD為2b、外邊界A2B2長度為2a2、外邊界A2D2長度為2b2，長邊塑性區的寬度為bs(即AB與A1B1或CD與C1D1之間的距離)、短邊塑性區的寬度為as(即AD與A1D1,B1C1與BC之間的距離)，長邊彈-塑性分界邊A1B1長度為2as+2a、短邊彈-塑性分界邊A1D1長度為2bs+2b;開采區域上覆基本頂承擔載荷為q，其值為基本頂自重與上覆軟巖層載荷之和。

圖2 彈-塑性基礎邊界基本頂板結構力學模型Fig.2 Mechanical model of main roof structure with elastic-plastic foundation boundary

S懸頂區的基本頂撓度微分方程為

(2)

式中，ω(x,y)為S區域基本頂撓度函數;D為基本頂剛度。

S1塑性區的基本頂撓度微分方程為

(3)

式中，ωs(x,y)為S1區基本頂撓度函數;ks為塑性區煤體基礎系數(支撐系數)。

S2彈性區的基本頂撓度微分方程為

(4)

式中，ωt(x,y)為S2區基本頂撓度函數;kt為彈性區煤體基礎系數(支撐系數)。

(5)

式中，ν為泊松比;E為基本頂彈性模量，GPa;h為基本頂厚度，m。

上述參數中，彈性煤體區的基礎系數kt為煤體的彈性模量與煤體厚度的比值[7,20];煤體塑性區的寬度由文獻[1]式(8-5)計算得到。ABCD邊界線即淺部煤體基礎系數(支撐系數)設為k0，k0代表了塑性區煤體的塑化程度，由于開采區淺部的煤體必然塑化甚至破碎，所以淺部煤體的基礎系數k0值較小甚至為0(代表淺部破碎)，而開采區周邊深部煤體的塑化程度越來越小，即基礎系數越來越大，直到彈性煤體區時煤體基礎系數達最大值kt，設S1塑化區煤體基礎系數為ks并滿足關系式k0

2.2 邊界條件

2.2.1內邊的邊界條件

邊DC,BC,AD及AB為基本頂塑性基礎起始邊界(也是已開采區與煤體區分界邊)，該邊界上各點撓度同時滿足懸頂區S的微分方程(2)與塑化區S1的微分方程(3)，且各邊上的撓度、截面法向線轉角、彎矩與剪力分別連續，即滿足:

(6)

2.2.2彈-塑性分區的邊界條件

邊D1C1,B1C1,A1D1及A1B1為基本頂下伏煤體的彈-塑性分界邊，邊上各點撓度同時滿足塑化區S1微分方程(3)與彈性區S2微分方程(4)，且各邊上的撓度、截面法向線轉角、彎矩與剪力分別連續，即滿足:

(7)

2.2.3模型外邊界的邊界條件

圖2中，對于首采面的基本頂板結構初次破斷來說，開采區域的外邊界A2B2C2D2距離開采懸頂區的距離要求不受或者基本不受開采區ABCD的擾動影響，由于外邊界C2D2,B2C2,A2B2及A2D2不受開采擾動的影響，那么這些邊不僅滿足撓度為0，而且滿足截面法向線轉角為0，即滿足式:

(8)

3 彈-塑性基礎邊界板結構模型計算法

要研究彈-塑性基礎邊界條件下的基本板結構破斷規律，就需要得到偏微分方程(2)～(4)在邊界條件(6)～(8)條件下的解，但是求出精確解極為困難，即便是彈性基礎邊界條件下的求解難度也很大[1,17-20]。眾所周知，獲得精確解并不是采礦工程問題所追求的，能求出近似解滿足分析并解決采礦工程實際需求即可，而有限差分法就是符合該要求的有效方法[17-23]。

3.1 差分節點編號

為了便于采用有限差分法具體求解偏微分方程(2)～(4)在邊界條件(6)～(8)條件下的解，需要對差分節點進行編號，這樣便于計算處理，圖3為13節點編號圖，中間特征節點為P點，節點間距為d。

圖3 差分法節點編號Fig.3 Node number of difference method

3.2 撓度方程的差分方程

基于差分節點編號圖3可得式(2),(3)及(4)在特征節點P的差分方程分別為式(9),(10)及(11)。

20ωβ，δ-8(ωβ+1，δ+ωβ-1，δ+ωβ，δ+1+ωβ，δ-1)+

2(ωβ+1，δ+1+ωβ+1，δ-1+ωβ-1，δ+1+ωβ-1，δ-1)+

(9)

ωβ，δ-1)+2(ωβ+1，δ+1+ωβ+1，δ-1+ωβ-1，δ+1+

ωβ-1，δ-1)+ωβ+2，δ+ωβ-2，δ+ωβ，δ+2+ωβ，δ-2=0

(10)

ωβ，δ-1)+2(ωβ+1，δ+1+ωβ+1，δ-1+ωβ-1，δ+1+

ωβ-1，δ-1)+ωβ+2，δ+ωβ-2，δ+ωβ，δ+2+ωβ，δ-2=0

(11)

3.3 外邊界條件方程的差分方程

一般條件下，對于實際開采邊界范圍以及采礦工程所要求的精度來說，外邊界的范圍不需要無窮遠，只要是矩形區ABCD長邊長度的3～5倍以上[1,17-20]即可近似滿足式(8)要求的條件，且有限邊界對于具體求解來說是有利的。所以可得外邊界條件式(8)基于特征節點P的差分方程為式(12)。

(12)

3.4 彈-塑性基礎板結構模型求解及破斷指標

根據基本頂板結構在開采懸頂區S、塑性區S1及彈性區S2的撓度偏微分方程的差分方程(9)～(11)可知，3個區域的撓度偏微分方程的差分方程均含有13個差分節點且撓度未知，而節點之間相互關聯并通過邊界條件來約束范圍，由此可建立并求解基于邊界條件的基本頂板結構撓度未知的13節點差分方程組，方程組的解即為各個節點的撓度解。顯然，求解差分方程比直接求解偏微分方程要簡單，為了滿足計算精度要求，需要構建足夠數量的差分方程(設節點間距d=0.2)，那么雖然計算較易，但是方程數量多，此時可以采用軟件Matlab[23-24]輔助計算，具體可采用sparse構建系數為稀疏矩陣聯合代數方程組，然后采用函數gmres函數求解方程組，從而得到各個撓度未知節點的撓度解。

各個區域的所有撓度未知節點的撓度求解出來后，可得分量彎矩值，代入式(13)即可得到各個節點的主彎矩值，通過各個區域的主彎矩極值與彎矩極限Ms對比[1,17]，可分析彈-塑性基礎邊界條件下的基本頂板結構是否發生破斷，破斷時的位置和破斷順序及影響因素等。

(13)

4 彈-塑性基礎基本頂板結構模型分析

4.1 彈-塑性基礎邊界基本頂板結構的主彎矩形態特征

為系統研究彈-塑性基礎邊界基本頂板結構的破斷規律，選取一特征參數采用上述計算方法計算并著重分析基本頂的主彎矩極值大小及位置特征。為了研究問題方便，設塑性區的煤體基礎系數ks由淺部基礎系數k0到彈性煤體區基礎系數kt呈正相關線性增長;取工作面長度132 m(即圖2中的AB長度)、推進距離44 m(即圖2中的AD長度或跨度);基本頂的彈性模量E、厚度h、泊松比ν、載荷q分別為32 GPa,6.5 m,0.22,0.32 MPa;煤體淺部基礎系數k0=0、煤體彈性區基礎系數kt為1.5 GN/m3，周邊煤體塑性區寬度(設為b0)為4 m。

通過計算得到各節點最大與最小主彎矩值并繪制出基本頂全區域主彎矩形態特征圖。圖4(a)為彈-塑性基礎邊界基本頂最小主彎矩M3的分布形態特征云圖，圖4(b)為彈-塑性基礎邊界基本頂最大主彎矩M1的分布形態特征云圖。

根據圖4基本頂各個區域的最大與最小主彎矩M1與M3的形態特征和數值分布規律可知:

(1)開采區域長邊與短邊深入彈-塑性煤體區域基本頂板結構的最大與最小主彎矩M1與M3為負值，所以深入彈-塑性煤體區域基本頂板結構的上表面受拉應力而下表面受壓應力，由巖石抗拉強度遠小于抗壓強度可知，基本頂深入彈-塑性煤體區的上表面先于下表面破斷。

(2)開采區域長邊與短邊區域的絕對值最大主彎矩為最小主彎矩M3的相反數，且位置在深入彈塑性煤體區域而不是固支邊界模型得到的沿著煤壁。

(3)開采懸頂區域中部基本頂的最大與最小主彎矩M1與M3均為正值，所以該區域基本頂的上表面受壓應力而下表面受拉應力，且下表面先于上表面破斷。

(4)基本頂中部區域的最大主彎矩在開采區域的中點(坐標為圖2中O點坐標(0,0)位置)，且數值為對應點主彎矩M1。

不同參數條件下彈-塑性基礎邊界基本頂板結構全區域的最大與最小主彎矩的分布形態與圖4相似，且開采區域長邊與短邊主彎矩極值的位置也處于彈-塑性煤體區，開采區域中部的最大主彎矩在開采區的中點，所以要得到彈-塑性基礎邊界基本頂板結構的破斷規律可以通過研究各個特征區域的主彎矩極值的大小和位置及隨影響因素的變化特征來分析。

圖4 彈-塑性基礎邊界基本頂板結構主彎矩云圖Fig.4 Cloud chart of main bending moment of main roof plate structure with elastic-plastic foundation boundary

圖5 彈-塑性基礎邊界基本頂主彎矩極值位置Fig.5 Location of the extreme value of the main roof main bending moment with the boundary of elastic-plastic foundation

彈-塑性基礎邊界條件下，基本頂板結構的初次破斷規律主要受基本頂的厚度h、彈性模量E、跨度L(L越大代表基本頂強度越大，可懸頂距離越大)、實體煤區彈性煤體基礎系數kt、煤體塑化范圍as,bs及淺部煤體基礎系數k0影響，本文采用控制變量法著重研究這些因素對彈-塑性基礎邊界基本頂板結構初次破斷特征的影響，最后研究這些因素的權重關系。

由于采用控制變量法進行研究，以下所采用的計算基礎參數未經說明更改的均為:工作面長度及跨度分別為132,44 m;基本頂的彈性模量E、厚度h、泊松比ν及載荷q分別為32 GPa,6.5 m,0.22及0.32 MPa;淺部煤體的基礎系數k0及未塑化彈性煤體基礎系數kt分別為0及1.5 GN/m3，周邊煤體塑性區寬度as及bs均為4 m。

4.2 破斷特征的彈性煤體基礎系數kt效應

如圖6所示，未塑化的彈性煤體基礎系數kt不僅可以改變基本頂的破斷位置且可改變基本頂的破斷順序。

圖6 主彎矩及位置隨kt變化規律Fig.6 Variation rule of main bending moment and position with kt

(1)基本頂破斷位置方面:隨kt值增大，長邊主彎矩Msc深入煤體距離Lsc由大于煤體塑性區寬度bs過渡到逐步小于bs，這說明kt較小時長邊破斷線在未塑化的彈性煤體區上覆，kt較大時長邊破斷線在塑化煤體區上覆;kt值越小，長邊破斷線深入煤體距離Lsc越大，即煤體越軟，約束基本頂整體下沉變形的能力越弱，破斷線越超前煤壁，此時與固支邊界模型的差距也越大;短邊破斷位置Lsd與長邊Lsc的變化規律相同。

(2)基本頂破斷順序及形態方面:隨kt值增大，基本頂中部主彎矩Msz減小，而長邊與短邊的主彎矩Msc與Msd逐漸增大，但增長幅度小于降低幅度;①kt較小時，Msz>Msc>Msd，主彎矩達到彎矩極限Ms時，基本頂破斷順序為:中部下表面→長邊深入彈性煤體區上表面→短邊深入彈性煤體區上表面，最終在彈性煤體區上方形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(d),(e)所示;②kt較大時，Msc>Msz>Msd，基本頂破斷順序為:長邊深入塑化煤體區上表面→中部下表面→短邊深入塑化煤體區上表面，最終在塑化煤體區上覆形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(a)～(c)所示;③kt=kts時，基本頂“O”型斷裂圈在煤體彈-塑性分界線區域，如圖7(f),(g)所示;④kt=ktj時，Msz=Msc=Mj，即存在基本頂中部與長邊同時破斷的情況。

圖7 彈-塑性基礎邊界基本頂板結構破斷特征Fig.7 Fracture characteristic diagram of main roof plate structure with elastic-plastic foundation boundary

而固支邊模型得到基本頂斷裂線沿著煤壁與kt值無關，可見固支邊界模型所得結論與實際差距較大，尤其是破斷位置及破斷順序方面。

4.3 破斷特征的基本頂厚度效應

如圖8所示，基本頂的厚度h不僅可以改變基本頂的破斷位置且可改變基本頂的破斷順序。

(1)基本頂破斷位置方面:隨h值增大，長邊主彎矩Msc深入煤體距離Lsc由小于煤體塑性區寬度bs過渡到大于bs，這說明h較大時長邊破斷線在未塑化的彈性煤體區上覆，h較小時長邊破斷線在塑化煤體區上覆;h值越大，長邊破斷線深入煤體距離Lsc越大，即基本頂越厚，需要更大范圍內的煤體約束基本頂才能發生破斷，此時與固支邊界模型的差距也越大;短邊破斷位置Lsd與長邊Lsc的變化規律相同。

(2)基本頂破斷順序及形態方面:隨h值減小，基本頂中部主彎矩Msz減小，而長邊與短邊的主彎矩Msc與Msd逐漸增大;①h較小時，Msc>Msz>Msd，基本頂破斷順序為:長邊深入塑化煤體區上表面→中部下表面→短邊深入塑化煤體區上表面，最終在塑化煤體區上覆形成“O”型斷裂圈，整體為“O-X”型破斷形態，如圖7(a)～(c)所示;②h較大時，Msz>Msc>Msd，基本頂破斷順序為:中部下表面→長邊深入彈性煤體區上表面→短邊深入彈性煤體區上表面，最終在彈性煤體區上方形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(d),(e)所示;③h=hs時，基本頂“O”型斷裂圈在煤體彈-塑性分界線區域，如圖7(f),(g)所示;④h=hj時，Msz=Msc=Mj，即存在基本頂中部與長邊同時破斷的情況。基本頂彈性模量E對破斷規律的影響與h相似。

圖8 主彎矩及位置隨基本頂厚度變化規律Fig.8 Variation rule of main bending moment and position with thickness of main roof

而固支邊模型得到基本頂斷裂線沿著煤壁，與h及E值無關，可見固支邊界模型所得結論與實際差距較大，尤其是破斷位置及破斷順序方面。

4.4 破斷特征的跨度效應

圖2中，開采懸頂跨度越大，即代表基本頂的強度越大，那么研究跨度L對彈-塑性基礎邊界基本頂破斷規律的影響就是間接研究基本頂強度對破斷規律的影響。由圖9可得:

(1)基本頂破斷位置方面:隨L值增大，長邊主彎矩Msc深入煤體距離Lsc由大于煤體塑性區寬度bs過渡到逐步小于bs，這說明L較小時長邊破斷線在未塑化的彈性煤體區上覆，L較大時長邊破斷線在塑化煤體區上覆;L值越小，長邊破斷線深入煤體距離Lsc越大，此時與固支邊界模型的差距也越大;短邊破斷位置Lsd與長邊Lsc的變化規律相同。

(2)基本頂破斷順序方面:①L較大時，Msc>Msz>Msd，基本頂破斷順序為:長邊深入塑化煤體區上表面→中部下表面→短邊深入塑化煤體區上表面，最終在塑化煤體區上方形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(a)～(c)所示;②L較小時，Msz>Msc>Msd，基本頂破斷順序為:中部下表面→長邊深入彈性煤體區上表面→短邊深入彈性煤體區上表面，最終在彈性煤體區上方形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(d),(e)所示;③L=Ls時，基本頂“O”型斷裂圈在煤體彈-塑性分界線區域，如圖7(f),(g)所示;④L=Lj時，Msz=Msc=Mj，即存在基本頂中部與長邊同時破斷的情況。

而固支邊模型得到基本頂斷裂線沿著煤壁，與L值無關，可見固支邊界模型所得結論與實際差距較大，尤其是破斷位置及破斷順序方面。

4.5 破斷特征的煤體塑化范圍b0效應

如圖10所示，煤體的塑化范圍b0不僅可以顯著改變基本頂的破斷位置且可以改變基本頂的破斷順序。

圖9 主彎矩及位置隨跨度L變化規律Fig.9 Variation rule of main bending moment and position with the span L

圖10 主彎矩及位置隨b0變化規律Fig.10 Variation rule of main bending moment and position with b0

(1)基本頂破斷位置方面:隨煤體塑化范圍b0值增大，長邊主彎矩Msc深入煤體距離增大;當b0=b0s時，Lsc=L0sc=b0s，即煤體塑化范圍與基本頂長邊斷裂線深入煤體距離相等，可見，b0較小時長邊破斷線在彈性煤體區上覆，b0較大時長邊破斷線在塑化煤體區上覆;b0越大，長邊破斷線深入煤體距離Lsc越大，即煤體塑化范圍越大，約束基本頂下沉變形的能力越弱，破斷線越深入煤壁，此時與固支邊界模型的差距也越大;短邊破斷位置Lsd與長邊Lsc的變化規律相同。

(2)基本頂破斷順序方面:煤體塑化范圍b0增大時，各個主彎矩均增大，這相當于煤體支撐基本頂的能力減弱(或說懸頂程度增大)，所以各個主彎矩均增大;① 塑化范圍b0較小時，滿足Msc>Msz>Msd，基本頂破斷順序為:長邊深入彈化煤體區上表面→中部下表面→短邊深入彈性煤體區上表面，最終在彈性煤體區上方形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(d),(e)所示;② 塑化范圍b0較大時，滿足Msz>Msc>Msd，基本頂破斷順序為:中部下表面→長邊深入塑化煤體區上表面→短邊深入塑化煤體區上表面，最終在塑化煤體區上覆形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(a)～(c)所示;③b0=b0s=L0sc時，“O”型斷裂圈在煤體彈-塑性分界線區域，如圖7(f),(g)所示;④b0=b0j時，Msz=Msc=Mj，即存在基本頂中部與長邊同時破斷的情況。

而固支邊模型與彈性基礎邊界模型均無法研究煤體塑化范圍對基本頂板結構破斷位置及規律的影響，可見傳統模型所得結論有局限性。

4.6 破斷特征的煤體塑化程度效應

由圖11可知煤體的塑化程度(采用淺部塑化煤體基礎系數k0來表征)不僅可以顯著改變基本頂的破斷位置且可以改變基本頂的破斷順序:

(1)基本頂破斷位置方面:隨煤體塑化程度增大(即k0減小)，長邊主彎矩Msc深入煤體距離Lsc由小于煤體塑化寬度bs過渡到逐步大于bs，這說明k0較小時長邊破斷線在未塑化的彈性煤體區上覆;k0較大時長邊破斷線在塑化煤體區上覆;k0值越小，長邊破斷線深入煤體距離Lsc越大，即煤體塑化程度越大，約束基本頂下沉變形的能力越弱，破斷線越深入煤體，此時與固支邊界模型的差距也越大;短邊破斷位置Lsd與長邊Lsc的變化規律相同。

(2)基本頂破斷順序方面:塑化程度增大時(即k0減小)，各個主彎矩均增大，且長邊Msc增長程度大于中部Msz的增長幅度，這相當于淺部煤體支撐基本頂的能力減弱，基本頂懸頂程度相對增大，所以各個主彎矩均增大;① 塑化程度較大時，滿足Msc>Msz>Msd，基本頂破斷順序為:長邊深入彈性煤體區上表面→中部下表面→短邊深入彈性煤體區上表面，最終在彈性煤體區上覆形成“O”型斷裂圈，整體破斷形態為“O-X”型，如圖7(d),(e)所示;② 塑化程度較小時，滿足Msz>Msc>Msd，基本頂破斷順序為:中部下表面→長邊深入塑化煤體區上表面→短邊深入塑化煤體區上表面，最終在塑化煤體區上覆形成“O”型斷裂圈，整體為“O-X”型破斷形態，如圖7(a)～(c)所示;③k=k0s時，基本頂“O”型斷裂圈在煤體彈-塑性分界線區域，如圖7(f),(g)所示;④k0=k0j時，Msz=Msc=Mj，即存在中部與長邊同時破斷的情況。

圖11 主彎矩及位置隨k0變化規律Fig.11 Variation rule of main bending moment and position with k0

而固支邊模型與彈性基礎邊界模型均無法研究煤體塑化程度對基本頂板結構破斷位置及規律的影響，可見傳統模型所得結論有局限性。

4.7 破斷特征的影響因素之間存在的關系(比值不變規律)

上文采用控制變量法分析了基本頂的厚度h、彈性模量E、跨度L、實體煤區未塑化的彈性煤體基礎系數kt、煤體塑化范圍及煤體塑化程度k0對彈-塑性基礎邊界基本頂板結構破斷特征及規律的影響。下面分析影響因素之間存在的關系。

如圖12所示，同時改變kt與h的大小，且滿足kt與k0取任意比值不變(圖中兩者比值為10:1)，kt與h3也取任意比值不變，可以得到彈-塑性基礎邊界基本頂板結構各個主彎矩大小及位置均不改變，破斷順序和位置也不變。

圖12 主彎矩及位置的影響因素權重關系Fig.12 Weight relation of main bending moment and position

可見，雖然彈-塑性基礎邊界基本頂板結構破斷的影響因素復雜，但是k0,kt與h3之間滿足上述“比值不變”條件時，具有破斷規律不變的特征。

4.8 與彈性基礎邊界模型破斷規律對比分析

彈性基礎邊界模型與彈-塑性基礎邊界模型都考慮了煤體可變形的實際特征，但是考慮煤體塑化程度和塑化范圍的模型得到傳統模型得不到的諸多結論，更符合實際且對實踐的指導意義顯著，下面為2類模型的對比說明。

(1)破斷位置方面。2類模型都可以得到基本頂深入煤體斷裂，但是彈性基礎邊界模型只能得到斷裂線在彈性煤體區，而本文模型得到基本頂的斷裂線位置主要有3種：① 彈性煤體區;② 塑性煤體區;③ 煤體的彈塑性分界線。本文模型更加全面且符合實際，對工程實踐的指導意義更大。

(2)破斷順序方面。基本頂的初次破斷位置都有2類:① 長邊超前煤壁區的基本頂上表面;② 基本頂懸頂區中部的下表面，但煤體的塑化范圍和塑化程度也顯著影響基本頂的破斷位置和破斷順序，而彈性基礎邊界模型無法得到實際工程中煤體必然塑化引起基本頂破斷順序改變的結論。

(3)破斷形態方面。基本頂巖板整體破斷形態都是“O-X”型，而本文模型得到基本頂O型圈位置有3類:① 在彈性煤體區上覆;② 在塑性煤體區上覆;③ 在煤體的彈塑性分界線上覆，而彈性基礎邊界模型只能得到O型圈在煤體的彈性區上覆，顯然本文模型得到的結論更加全面且符合實際。

5 工程算例分析

研究清楚符合實際圍巖關系的基本頂板結構的破斷順序、位置及整體形態特征，對于預防頂板大面積切頂來壓事故及合理確定工作面側方巷道的位置等至關重要。

基于彈-塑性基礎邊界基本頂板結構模型，下面選取2個方面，即從工作面推進方向基本頂斷裂位置和工作面短邊區域基本頂斷裂位置角度說明本文力學模型的重要工程意義。

現給出一具體算例進行說明，圖2中，一工作面的跨度為42 m、工作面長度為200 m，基本頂厚度為10 m、彈性模量為35 GPa，彈性煤體基礎系數為1.2 GN/m3，周邊塑性區煤體寬度為5 m，淺部煤體基礎系數為0(即淺部煤體基本無承載能力)，塑性區煤體由淺部到深部的基礎系數按線性增長，基于本文的計算方法和破斷準則，得到如下基本結論，并與傳統模型進行對比分析。

5.1 工作面推進方向基本頂板結構破斷位置的工程意義

本文的力學模型得到，基本頂超前煤壁的斷裂位置Lsc為6.6 m(與實際值接近)，斷裂線處在煤體的彈性區(圖13(b))，而傳統的固支邊界模型得到基本頂的斷裂線沿著長邊煤壁(圖13(a))，顯然在基本斷裂位置方面傳統模型不能反應工程實際。

圖13 工作面長邊區基本頂斷裂位置對比Fig.13 Comparison of main roof fracture positions at the long side area of working face

工作面推進方向上，基本頂是超前煤壁破斷的，那么破斷時，前方有彈-塑性煤體的支撐，斷裂時工作面并不會顯著來壓，當支架推進到斷裂線區域時，壓力顯著增大，這說明，工作面來壓是個過程且破斷與顯著來壓之間有時間差，那么基本頂剛斷裂時即預警，提前采取措施加強支架控制，防止工作面大面積切頂事故的發生;而傳統模型得到，基本頂的斷裂線沿著煤壁，顯然不能從斷裂位置角度得到有助于實踐的結論，且不能有效指導提前采取措施預警工作面大面積切頂事故的發生。

同時由上文得到的煤體塑化程度和范圍越大時，開采區域周邊基本頂的主彎矩越大，且主彎矩深入煤體的距離越大的結論明確表明了在實踐過程中，采取對煤體的弱化措施不僅可以加速基本頂的破斷(減小來壓步距)，而且破斷線更加深入煤體，基本頂剛破斷時可以減弱對支架的沖擊，這對工作面頂板的安全控制有重要指導意義。

5.2 工作面側向(短邊區)基本頂板結構破斷位置的工程意義

本文的力學模型得到，工作面側向基本頂深入煤體的斷裂位置Lsd為6.9 m(與實際值接近)，處在煤體的彈性區(圖14(b))，而傳統的固支邊界模型得到基本頂的斷裂線沿著短邊煤壁(圖14(a))，這說明傳統模型在基本斷裂位置方面不能有效反應工程實際。

基本頂側向斷裂線的位置對沿空巷道位置選擇意義重大，直接決定了沿空巷道頂板結構穩定性程度。傳統的固支邊界模型無法得到短邊區域基本頂的斷裂位置在深入煤體區域;彈性基礎邊界板結構模型雖然可以得到基本頂的斷裂位置在深入煤體處，但是卻得不到基本頂斷裂線在煤體的彈性區還是塑性區或者彈-塑性分界面。

圖14 工作面短邊區基本頂斷裂位置對比Fig.14 Comparison of main roof fracture positions in short side of working face

沿空巷道位置選擇不僅與基本頂在側方的斷裂線位置有關，還與基本頂斷裂線在煤體的彈性區還是塑性區有關，如圖14(b)所示，若在采空區鄰側掘進下一區段回采巷道，煤柱寬度Lm與基本頂在側方的斷裂位置Lsd的大小關系(有3種:Lm>Lsd,Lm

可見，本文構建的彈-塑性基礎邊界模型可以有效彌補傳統固支邊界與彈性基礎邊界板結構模型的缺陷，不僅可以有效得到基本頂深入煤體的斷裂位置，而且可以得到斷裂位置在彈性煤體區還是塑性煤體區，這對于巷道位置選擇，煤柱寬度留設等均有重要指導意義。

6 結論

(1)彈-塑性基礎邊界基本頂板結構的破斷位置、順序及形態，均隨煤體的塑化范圍和塑化程度、彈性煤體的基礎系數、懸頂跨度、基本頂的厚度和彈性模量而改變。

(2)煤體塑化程度和塑化范圍增大，基本頂各個區域的主彎矩絕對值均增大，即基本頂更易發生破斷，且基本頂在懸頂區周邊破斷位置深入煤體距離增大，這對于工程實踐中控制基本頂斷裂線深入煤體位置和來壓步距具有指導意義。

(3)煤體塑化范圍增大，中部主彎矩增長程度大于長邊的，即塑化范圍大時，基本頂中部區域更易先破斷;煤體塑化程度增大，基本頂長邊主彎矩增長程度大于中部的，即煤體塑化程度大時，基本頂長邊更易先破斷。

(4)煤體塑化范圍及淺部塑化煤體基礎系數較大時，基本頂的破斷位置及順序為:開采懸頂區中部→長邊深入塑化煤體區→短邊深入塑化煤體區，在塑化煤體區上覆形成“O”型斷裂圈;反之，基本頂的破斷位置及順序為:長邊深入彈性煤體區→開采懸頂區中部→短邊深入彈性煤體區，在彈性煤體區上覆形成“O”型斷裂圈，最終均形成“O-X”型破斷形態。

(5)淺部塑化煤體基礎系數k0與彈性煤體基礎系數kt為任意比值不變且kt與h3為任意比值不變時，基本頂的主彎矩大小及位置均不變，基本頂的破斷規律不變。

本文的力學模型，彌補了傳統的固支邊界板結構模型和彈性基礎邊界板結構模型的缺陷。