基于NES 的空間桁架結構被動減振研究

劉 艮，陳貢發

(廣東工業大學土木與交通工程學院，廣州 510006)

關于空間可展開結構的研究始于20 世紀 60年代，空間可展結構以其鮮明的特點為航天結構不斷的大型化發展提供了可能。環形桁架支撐結構由桿件組成的胞元循環重復形成的環形結構。環形桁架天線為衛星通訊、對地觀測等任務的實施提供了有力的支持，其動力學行為直接影響著整個反射器型面的精度。數值方法可以對桁架結構的動力學行為進行有效的分析，但是，從大量的數值結果中找出高維系統的動力學特性是一件繁瑣且無章可循的工作。基于連續體模型的解析或半解析的方法可以為探索結構的動力學特性提供幫助，于是怎樣將由大量桿件等離散結構構成的桁架轉換為連續體模型成為后續動力學研究的基礎。

Timoshenko 和Gere[1]在20 世紀就已經對桁架的等效問題進行了研究。在隨后的幾十年中，學者們將平面桁架及空間桁架動力學問題的研究重點投放到了對具有循環對稱胞元的梁式桁架或者平面式桁架結構等效連續體的建立中。Nayfeh 和Hefzy[2?3]分別對具有鉸接鉸鏈和剛接鉸鏈的桁架結構的問題進行了研究。利用循環對稱的胞元建立起了桁架結構的等效連續體模型。給出了求解二維及三維桁架結構的力學參數計算的方法，將每根桿件對結構剛度的貢獻計算出來，并用實際例子對方法進行了驗證。Sun 和 Kim[4]研究了將直線式桁架結構等效為Timoshenko 梁的等效方法。從桁架的胞元入手進行剛度等效的計算，利用等效Timoshenko 梁模型研究了非對稱桁架的自由振動問題，并將其與全尺寸有限元解進行了比較。結果表明等效的Timoshenko 梁模型在預測桁架構件的固有頻率、模態形狀和荷載方面都是有效可行的。

Noor 和Mikulas[5]在20 世紀80 年代至90 年代的十多年間對桁架結構的等效問題進行了細致深入的研究。通過能量等效的手段，分別對鉸接式桁架、剛接式桁架進行了等效建模。其研究中，將桁架的構型加以分類對梁式結構、面式結構的平面問題及空間問題進行了細致的討論。Lee[6]提出了一種基于譜元法的連續體建模方法，利用譜元將周期桁架結構轉換為結構等效連續梁模型。對等效連續梁模型的有限元傳遞矩陣進行了解析，通過組裝桁架單元內每個結構的譜元素來計算一個具有代表性的晶格單元的傳遞矩陣，然后令其等于有限連續梁單元，從而確定未知連續體結構特性。Burgardt 和Cartraud[7]利用能量等效的方法提出了一種梁式桁架的等效方法。給出了連續體的位移場及應變及應力參數。對比了不同方法得到的本構關系，對鉸接梁式桁架進行了靜態分析，同時對于三維梁式桁架進行了動力學分析。Odegard 等[8]將等效連續體建模的方法引入到了納米材料的力學特性的研究中。以桁架結構的構型為中介建立起了分子動力學模型與殼模型的關系，求解了等效殼模型的等效剛度，通過計算等效模型的動力學特性來確定石墨烯結構的厚度。Fan 和Yang[9]采用等效連續體方法分析了三維拉伸占主導的晶格材料的剛度。文中計算了等效連續體的強度并建立了連續體的屈服模型，且與其他模型的結果進行了比較。Salehian 和Inman[10?11]利用均勻化的方法對空間大型充氣式桁架天線的等效連續體進行建模。對剛性鉸鏈連接及柔性鉸鏈連接的充氣式結構分別進行了等效研究。Liu 等[12]利用等效連續體建模的手段研究了大型空間可展開桁架天線結構，為后續的振動控制的研究提供了理論模型。對剛接環形桁架建立了等效圓環的連續體模型，為了簡化等效過程，文中沒有考慮剛節點引起的微極效應。

非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)的概念提出于2000 年左右，在動力吸振器的基礎上發展而來[13]。非線性能量阱是一種具有純非線性剛度的吸振器，由于具有寬頻吸振、輕質等優點，吸引了大量研究者的關注。研究表明，非線性能量阱的吸振效果明顯高于傳統被動式吸振器[14?15]。

近年來，非線性能量阱在振動抑制方面的研究方興未艾。Farid 等[16]利用NES 的振動抑制效果，考慮了強迫振動下部分填充液罐降解模型的減振問題，并且對比了線性調諧質量阻尼器和非線性被動減振器的減振效能。Fang 等[17]研究了一種將NES 與超磁致伸縮材料相結合的新型方法, 利用此方法同時實現了振動控制和能量采集。通過靶向能量傳遞，產生了非常有效的振動抑制。Al-Shudeifat 等[18]采用數值和實驗相結合的方法，研究了一種輕量化的旋轉非線性能量減振器，解決了被動非線性靶向能量轉移(TET)問題。Mamaghani 等[19]利用NES 研究了在正弦激勵作用下的雙固定梁的振動問題。文中作者分析了系統發生張弛振蕩、Hopf 和鞍節分叉所需的條件。結果表明在非線性能量泵送的情況下, 隨著附件位置的變化, 系統響應的振幅顯著減小。Hill 等[20]利用兩自由度NES 的骨架曲線來解釋其在受到外部強迫時的行為。Kai 等[21]基于非線性輸出頻率響應函數來評價NES 在頻域內的隔振性能。采用了具有NES 連接系統的兩自由度結構并對結構進行了數值模擬。Zang 和Chen[22]研究了單自由度彈簧質量系統與NES 耦合結構的非線性行為。通過相位軌跡、功率譜和龐加萊截面對系統的混沌運動進行識別。Chen 等[23?24]利用NES研究了夾層板及簡支梁的減振問題，同時對其動力學行為作了詳細的分析。劉良坤和陳洋洋等[25?26]研究了非線性能量阱(NES)與調諧質量阻尼器(TMD)混合控制結構振動的方案。針對典型分析模型研究其與立方NES 和TMD 的性能差異，對其性能的魯棒性進行研究。

本文將空間完全展開直線式桁架結構等效為連續梁模型，通過模態截斷研究了等效梁結構在懸臂條件下的一階彎曲振動問題。通過調節NES 的掛載位置，分析不同位置對結構減振效果的影響。結果表明當NES 所在位置初始振幅較大時，其振幅衰減效果好，減振效率高。同時，增加NES 附件的質量也可以增加結構振幅衰減的效果。

1 等效梁模型

借助主動控制、被動減振等手段對航天器結構進行結構減振是解決航天器減振的重要手段。由于空間環境呈現出微重力、低阻尼等狀態，航天器結構在結構減振方面依靠環境阻尼消耗能量以達到減振的目的難于實現。而利用非線性能量阱使結構中能量實現單向傳遞以達到耗能的目的給航天器結構減振的實現帶來了新方法。

圖1 給出了X-brace 型平面桁架附加NES 附件的示意圖。

圖1 桁架結構附加NES 附件的示意圖Fig. 1 Schematic diagram of truss structure with NES attachment

結構在軸線方向由重復的胞元組成，通過等效方法可以將此類平面桁架結構連續體等效為平面內的梁結構，從而將由眾多桿件構成的多自由度系統進行“升維”等效為連續體，再對等效后的、具有桁架屬性的連續體進行模態截斷，研究所關注的模態間的振動問題，為此類多自由度系統的振動特性的求解帶來方便。對等效后的連續體進行相關的動力學分析，不僅能有效地反映出結構的動力學特性，而且降低了計算的工作量，在對結構的理論分析中應用廣泛。

下面根據等效建模的流程對平面桁架結構的等效連續體問題進行研究。圖2 給出了平面桁架結構的等效建模示意圖。

等效后的梁模型上沿著平面軸線任意一處的位移為：

圖2 平面桁架結構的等效建模Fig. 2 Equivalent beam model of plane truss

圖3 三種典型的平面桁架構型Fig. 3 Three classical plane truss configuration

根據式(11)，等效梁的控制微分方程及系數如下：

通過X-brace 桁架的等效梁模型可以看出，結構不存在拉彎耦合剛度及拉剪耦合剛度，等效模型中各個剛度的構成較為簡單。對于空間直線式展開桁架結構，胞元結構沿著一個方向循環布置，結構細長構成了類似于梁桿的結構，著重考等效梁慮橫向振動且忽略軸向的伸長，應用歐拉-伯努利梁理論將等效梁模型進行簡化。因此基于歐拉-伯努利梁理論的等效梁橫向振動方程如下：

圖5 給出了桁架有限元模型與等效梁模型固有頻率的相對誤差。空間桁架結構的尺寸普遍較大，在空間運行環境中，結構的低階振動是主要形式，本文的研究在等效的基礎上，關注于結構的低階振動模態，與桁架有限元模型得到的模態頻率相比較，一階模態頻率誤差在5% 以內，二階模態頻率誤差在10%以內，表明模型的精確度都在研究可接受范圍內。

表1 桁架的幾何屬性Table 1 Geometric properties of truss

表2 桁架的前兩階彎曲頻率Table 2 First two bending frequencies of truss

圖4 給出了通過有限元軟件得到的X-brace 型桁架在一端固定一段自由的懸臂邊界條件下的前兩階彎曲模態，其中圖4(a)為桁架結構在胞元所在平面內的一階彎曲模態，圖4(b)為桁架結構面內二階彎曲模態。從桁架結構1 階、2 階模態中發現，在一端固定、一端自由的懸臂邊界條件下，桁架結構的振動模態與典型的梁結構在懸臂邊界條件下的振動模態一致。

圖4 面內前2 階彎曲模態Fig. 4 First two in-plane bending modes

圖5 桁架結構有限模型與等效梁模型固有頻率的相對誤差Fig. 5 Relative error of natural frequency between finite model of truss structure and equivalent beam model

2 等效梁附加NES 附件的瞬態響應分析

在將原始桁架結構與梁結構建立等效關系后，之前所提到的桁架結構附加NES 減振問題就轉化為等效梁模型附加NES 的減振問題，這樣從整體上將桁架結構減振問題進行了等效。等效梁結構附加NES 后的系統的動力學方程為：

通過Galerkin 方法將無限自由度連續系統進行模態截斷，從而實現了“降維”，這樣的先升維再降維的過程對問題的求解實現了簡化。基于懸臂梁的模態函數式(15)，利用Galerkin 法對式(20)進行模態截斷，系統的橫向位移可以表示為：

將式(21)代入式(20)，同時將x從0 至L進行積分，利用正交條件，得到如下耦合的非線性常微分方程：

通過式(22)對附加NES 的等效梁系統的動力學特性進行分析。在空間任務部署中，直線式桁架結構往往一端固定于航天器上，另一端掛載儀器或者負載完成任務，受到瞬態激勵后，結構振動衰減緩慢，對任務正常進行影響較大。我們考慮附加NES 的等效梁結構在受到瞬態激勵后系統的動力學特性，考察結構振幅的衰減情況。

首先，考慮結構的一階彎曲模態。瞬態激勵的位置施加在結構的兩個位置，一個為接近固定端處，一個為接近自由端處。NES 的掛載位置在固定端與自由端之間移動，考察NES 在不同位置時對結構振動幅值衰減的影響。圖6(a)～圖6(d)給出了結構一階彎曲模態位移響應情況，瞬態激勵位于自由端附近，NES 掛載位置在位于固定端與自由端之間。圖7 給出了激勵位于固定端附近時施加激勵后10 s 后等效梁幅值響應隨NES 不同掛載位置的幅值衰減比率。圖8(a)～圖8(d)同樣給出了結構一階彎曲模態位移響應情況，此時瞬態激勵位于固定端附近，NES 掛載位置在位于固定端與自由端之間。相關參數如下：

從圖6 可以看出，當等效梁結構受到位于自由端的激勵作用時，NES 附件所掛載的位置不同，等效梁的幅值響應及NES 的幅值響應不同。等效梁的幅值響應在響應發生的初始時刻相同。NES 附件的幅值在響應發生的初始時刻隨著掛載位置的不同而不同，越接近自由端時，其初始幅值響應越大，這是由于對于等效梁的在懸臂邊界條件下的情況，一階彎曲模態越接近自由端幅值響應越大。

圖6 NES 的位置Fig. 6 Location of NES

圖7 中A1為等效梁的在激勵作用下初始階段的幅值相應，A2為施加激勵10 s 后等效梁的幅值響應，A3為10 s 后等效梁相對于初始幅值響應A1的幅值響應衰減率。從圖7 可以看出，NES的作用對結構的初始位移是比較敏感的，附加NES 后，結構初始的振動幅值大時，NES 的衰減效果就比較明顯，幅值衰減效率高。

圖7 振幅衰減比率Fig. 7 Ratio of amplitude attenuation

同樣的，直線式桁架結構的固定端會受到來自航天器本體的激勵作用，考慮等效梁結構的固定端受到激勵時，NES 附件不同掛載位置對結構幅值響應衰減的影響。

圖8 給出了激勵位于固定端位置時，等效梁幅值響應隨著NES 附件不同掛載位置的變化情況。當NES 附件位于不同掛載位置時，等效梁的初始幅值響應基本相同，而NES 附件的初始位移響應區別較大。NES 附件的初始響應與其掛載位置相關，接近等效梁結構振動幅值較大處，NES附件的幅值響應較大。從圖中可以看出，當NES附件的幅值響應較大時，對結構振動幅值的衰減效果較好。圖9 給出了激勵位于固定端附近時施加激勵后10 s 后等效梁幅值響應隨NES 不同掛載位置的幅值衰減比率。其中B1為等效梁的初始振動幅值響應，B2為施加激勵10 s 后等效梁的振動幅值響應，B3為10 s 后振動幅值的衰減效率。從圖中可以看出，當NES 附件靠近自由端時，NES附件被激起的幅值大，從而對等效梁振動幅值衰減效果好。

圖8 NES 的位置Fig. 8 Location of NES

圖9 振幅衰減比率Fig. 9 Ratio of amplitude attenuation

綜合以上分析，等效梁結構掛載NES 附件進行減振受到結構振動幅值的影響，當NES 附件處于振動幅值較大處時，NES 附件對整體結構的振動幅值衰減效果好。

3 附加NES 質量對結構振動幅值衰減效果分析

在對NES 附件掛載于不同位置時的結構振動幅值衰減效果的影響進行分析之后，接著對不同質量的NES 附件對結構振動幅值衰減效果進行分析。激勵的幅值設置為0.1，考慮等效梁結構的一階彎曲模態，NES 附件位于等效梁的自由端，考察結構振動幅值衰減為初始響應的25%時所用的時間。

從圖10 可以看出，隨著NES 附件質量的增加，系統振動幅值衰減得更為迅速，NES 附件的耗能效率更高，因此，當滿足設計要求時NES 采用較大的質量對結構的振幅衰減有益。在圖 11 中選取了不同的質量系數，給出了系統振動幅值衰減為初始幅值25%時所用時間。

圖10 當NES 附件選取不同質量時，結構的振動幅值衰減效果Fig. 10 Vibration amplitude attenuation effect of structure with NES’s of different masses

除了NES 被動減振，線性剛度阻尼減振器(TMD)也在很多工程結構中有應用。接下來比較它們的減振效果。圖12 選取了激勵位于自由端，激勵幅值F=2，線性阻尼減振器(TMD)以及NES附件都布置于d=2時，結構的響應衰減情況。

由于非線性系統的耦合作用，附加NES 的等效懸臂結構的初始響應較附加線性阻尼減振器的懸臂結構大，但是附加NES 結構的衰減效果明顯。比較圖12(a)中附加線性剛度阻尼減振結構的初始響應b*及一段時間后的衰減幅值a*以及圖12(b)中附加NES 結構的初始響應d*和一段時間后的衰減幅值c*，明顯地可以看出，在附加NES 的結構中，在激勵發生后的5 秒左右時，結構振幅的衰減就達到了可觀的程度，振幅下降的趨勢更為陡峭，體現了NES 優于線性剛度阻尼減振的良好減振效果。

4 實驗研究

在對系統整體的振幅響應進行了分析后，下面進行相關實驗設計來驗證理論計算中得到一些結果。

圖13 給出了相關實驗設計的簡圖。實驗裝置由懸臂梁構成的主體結構及其他三部分組成：part 1 為NES 附件，由非線性的彈簧與質量塊組成；part 2 為試驗中的激勵施加手段；part 3 為試驗中振動響應的采集設備。NES 附件的掛載位置位于懸臂梁的軸線上，試驗時沿著軸線x移動NES 位置，實現不同NES 掛載位置對系統振動幅值衰減的影響。相同地，激勵施加于梁的軸線x上，與yoz所形成的平面垂直以期在實驗中避免激起懸臂梁除xoz面以外的振動形式。振動幅值的采集點也選取在軸線x上，盡量避免面外振動導致的振幅影響實驗數據的精確度。

圖11 選取不同的質量系數，系統振動幅值衰減為初始幅值25%時所用時間Fig. 11 With different mass coefficient, time taken by system when response amplitude is reduced to 25% of initial amplitude

圖12 減振效果比較Fig. 12 Comparison of vibration reduction effects

圖13 懸臂梁結構耦合NES 附件振動實驗簡圖Fig. 13 Experiment diagram of cantilever beam coupling NES attachment

圖14 給出實驗裝置實物圖。在實際應用中，懸臂梁結構采用了鋼片結構，減小了結構在振動過程中面外方向振動的影響。表3 給出了懸臂梁的基本參數。

圖14 實驗裝置實物圖Fig. 14 Experimental equipment

表3 懸臂梁的基本參數Table 3 Physical parameters of cantilever beam

NES 附件的質量選取了不同質量的砝碼，方便對比不同質量系數下結構的衰減效率。振幅采集設備采用基恩士激光單點振位移采集器，設備提供了較高的實驗采集精度及采集率。試驗中，為了得到NES 中的非線性彈簧，選取不同的彈性橡膠繩進行了靜力加載實驗。通過加載不同質量，測量彈簧的剛度曲線，得到了圖15 中的力-位移曲線。從圖15 的曲線趨勢可以看出，彈簧剛度曲線具有三次非線性彈簧的特征。

圖15 非線性彈簧的剛度曲線Fig. 15 Stiffness curve of nonlinear spring

通過測量不同NES 質量懸臂梁橫向位移瞬態響應的時域曲線，在理論計算中比較了不同質量比懸臂梁橫向位移的瞬態響應。圖16 給出了懸臂梁在未附加NES 時及加載不同質量的NES 時其橫向位移響應的時域曲線。在梁的自由端施加相同的位移激勵幅值(15 mm)，NES 附件的質量越大，懸臂梁結構的瞬態響應衰減效率越高。實驗結果的趨勢驗證了理論計算的正確性。圖17 給出了對應瞬態響應曲線的包絡線，進一步說明了結果的正確性。

圖16 不同NES 附件質量時懸臂梁振動幅值的時域響應Fig. 16 Time-domain curve of transient response attenuation of structures with NES’s of different masses

圖17 不同NES 附件質量時懸臂梁振動幅值的時域響應包絡線Fig. 17 Envelope of time-domain curves of transient response attenuation of structures with different masses

5 結論

本文基于等效桁架梁模型對桁架結構附加NES 的減振問題進行了相關研究。將直線式桁架結構等效為連續梁結構，通過模態截斷研究了等效梁在懸臂條件下面內一階彎曲振動問題，得到如下結論：

(1) 通過調節NES 的掛載位置，分析了不同位置對結構減振效果的影響。結果表明，當NES 所在位置初始振幅較大時，其振幅衰減效果好，減振效率高。

(2) 研究了NES 附件的質量對結構減振效果的影響。結果表明，通過增加NES 附件的質量也可以增加結構振幅衰減的效果，且通過實驗加以了驗證。

(3) 比較了NES 被動減振和線性剛度阻尼減振器(TMD)的減振效果。發現在相同條件下，NES被動減振的效果明顯優于線性剛度阻尼減振器(TMD)。