梯形滑塊在直線與圓弧導軌過渡階段行走曲線的分析與研究

蔡吉飛 位士博 郭凱明

直線導軌與曲線導軌過渡曲線對滑塊運轉(zhuǎn)性能起著十分重要的作用。通過對滑塊在直曲線和圓弧導軌上各階段工作要求分析，給出了滑塊運動軌跡的求解方程，得出了確定圓弧導軌半徑參數(shù)的基本方法。通過對導軌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和速度分析，給出了影響圓弧導軌半徑尺寸的相關因素，得到了其振動頻率的求解方法。

導軌作為機械設備上一種零部件，現(xiàn)已形成了標準化、通用化生產(chǎn)，在機械設備上得到了廣泛應用，如圖1所示。目前所使用的導軌主要以直線導軌或環(huán)形導軌為主，曲線導軌使用很少，主要是造價遠高于常規(guī)的直線或圓形導軌。很多企業(yè)都把曲線導軌設計的相關資料列為機密技術，不向外界透露任何信息。本文針對梯形滑塊從直線導軌到曲線導軌過渡時的行走曲線進行了分析研究，為需要這類技術人員提供一點幫助和支持。

環(huán)形導軌設計的關鍵是直線和直線之間的過渡段。這個過渡段多數(shù)是用圓弧直接過渡的一段式結(jié)構(gòu)，有的則是用過渡曲線+圓弧曲線+過渡曲線的三段式結(jié)構(gòu)。直接采用圓弧過渡曲線，結(jié)構(gòu)簡單，加工成本低。但由直線段到圓弧段存在的問題是法向加速度出現(xiàn)跳躍式突變，容易產(chǎn)生沖擊和振動。

梯形滑塊在導軌上的運動過程分析

由滑塊上的1、2、3、4點組成的梯形滑塊（如果不需要轉(zhuǎn)彎，則選用矩形滑塊即可）如圖2所示。當前的滑塊位于直線導軌上，導軌的寬度為l67，滾子的半徑為l47，則可由梯形邊長參數(shù)求出導軌的寬度。

由于工作環(huán)境、導軌誤差等多種因素，要保證滑塊能夠自由移動，l67至少要有負公差0.05～0.1mm。過大誤差，滑塊可能會擺動;過小誤差，滑塊可能會卡死。

滑塊上面的點2從圓弧軌道外側(cè)起始點8的位置開始進入圓弧形軌道。假如滑塊仍然處于直行狀態(tài)，則滑塊各項指標要求同前，如圖3的左上角圖所示。當梯形滑塊上面的點1移動到圓弧軌道外側(cè)起始點8時，如果滑塊上的點2仍然保持水平狀態(tài)，則后面的導軌仍然是直線導軌。如果滑塊上的點3剛好到達圓弧軌道內(nèi)側(cè)起始點9的位置，如圖3的右上角所示，這時梯形滑塊底邊已經(jīng)向下傾斜了一個角度。如果滑塊上的點3與垂直線有一個向左側(cè)的傾斜角度，且這個角度與梯形滑塊滑塊上的點1、點5、點7這3點組成的小三角形內(nèi)最小角相等，如圖3的左下角所示。這時的圓弧半徑R即為所允許的最小Rmin，如果再小于這個值，滑塊就會與導軌之間硬性卡死。因此圓弧導軌R的取值區(qū)間為（Rmin，+∞），如圖3的右下角所示。

R的值越來越大時，圓弧導軌就越來越接近直線導軌，其占用的空間也隨之越來越大，從而導致機器的體積和圓弧導軌的加工成本都要大幅度增加。要找到一個比較理想的R值，既能夠不增加成本，又能夠使滑塊前進的阻力最小，就需要對可能的R值進行研究分析。如圖3右下角所示，這是梯形滑塊可能的幾個位置狀態(tài)，其中一個狀態(tài)是梯形滑塊上的點1和點4在同一條垂直線上（如圖3左下角圖所示，滑塊上的點1和點4與垂直直線上的圓弧軌道外側(cè)起始點8和圓弧軌道內(nèi)側(cè)起始點9重合）。這時梯形滑塊的斜邊14與直線導軌處于垂直狀態(tài)，因而其與直線軌道之間的間隙最大（假定圓弧軌道的徑向?qū)挾扰c直線導軌寬度相等）。如果后面聯(lián)接的圓弧半徑選擇這個值，則滑塊轉(zhuǎn)彎的難度最低。這個圓弧的半徑就是由滑塊在4個點等腰梯形延伸成三角形的斜邊長度：

滑塊運動曲線各階段過程分析

1.直線與圓弧之間的過渡曲線分析

從上面分析可以看出，如果由直線直接過渡到圓弧，則會出現(xiàn)梯形滑塊運動軌跡曲率半徑發(fā)生變化，由無線大直接變成圖中的圓弧半徑R值，這個跳躍就會產(chǎn)生振動，導致梯形滑塊上的滾子與滑道產(chǎn)生沖擊。因此理想的梯形滑塊運動軌跡的曲線應該是曲率半徑是漸變的，從而使梯形滑塊在運動過程中不產(chǎn)生沖擊或者產(chǎn)生的沖擊盡可能小。假定梯形滑塊上的點2從圓弧軌道外側(cè)起始點8位置開始進入過渡曲線，當滑塊上的點1到達圓弧軌道外側(cè)起始點8位置時，這時滑塊上的點1與點2同時與曲線導軌開始接觸，這個過渡曲線的直線距離就是梯形的底邊。

顯然要使過渡曲線與兩端平穩(wěn)銜接，則必須采用樣條曲線，即保持位移和一階導數(shù)連續(xù)，則過渡曲線的表達式可以表示為：

（x，y）為圓弧中心坐標，而圓弧中心即為坐標系的原點。如果坐標系中心不在圓心，則可通過坐標系轉(zhuǎn)換來求得轉(zhuǎn)換結(jié)果。根據(jù)兩端的邊界條件，即可求出4個系數(shù)值，從而求得x，y之間的函數(shù)關系，畫出過渡曲線。

上面用簡單的樣條曲線將直線導軌與圓弧導軌連接起來，但理論上還有很多問題要考慮，如這段曲線必須要求是外凸形的，即曲率中心必須在軌道內(nèi)側(cè);同時還要求兩端的連接過渡要平穩(wěn)，交接時不出現(xiàn)抖動，則至少要求兩端連接點3階及4階以上導數(shù)連續(xù)（需要采用7階以上多項式連接，如下面公式所示）。兩端的參數(shù)直線段上各階導數(shù)都為0，圓弧上的各階導數(shù)可用圓弧方程連續(xù)求導得出。

理論計算結(jié)果如圖3所示。圖3中的左上角為位移曲線，右上角為一階導數(shù)曲線，左下角為二階導數(shù)曲線，右下角為三階導數(shù)曲線。從一階異數(shù)曲線可以看出，位移曲線應該是連續(xù)光滑的（曲線上無折點）;從二階導數(shù)曲線可以看出，位移曲線應該是內(nèi)凹的（二階導數(shù)全部為負值）;從三階導數(shù)曲線可以看出，內(nèi)凹的過程墨跡是漸近的（三階導數(shù)是連續(xù)的）。這種過渡曲線理論上顯然可以滿足高速滑塊運轉(zhuǎn)的要求。

2.滑塊從過渡曲線到圓弧之間的過渡過程分析

當滑塊長邊的前端點進入到圓弧軌道表面時，滑塊長邊的后端點正好到達過渡曲線上，這時可根據(jù)幾何關系求出梯形滑塊上面點3的運動軌跡，因為滑塊上面點4此時已經(jīng)進入圓弧軌道的內(nèi)徑上，運動軌跡已經(jīng)確定。當然也可假定滑塊上的點1的軌跡與滑塊上的點2的軌跡完全相同，則根據(jù)滑塊上的點2的兩個約束條件（一是滑塊上的點2與滑塊上的點1之間距離為固定值，即梯形底邊的長度;二是滑塊上的點2在圓弧表面，滿足其坐標的平方和為固定值）來求得梯形短邊上滑塊上的點3和滑塊上的點4兩個點的運動軌跡。實際上這種求解編程更為方便，本程序最后求解即采用這個計算公式。

3.滑塊在圓弧曲線上的運動過程分析

當滑塊長邊的后端點進入到圓弧表面時，滑塊上面與軌道接觸的4個點全部到達圓弧曲線上，這時滑塊和圓弧軌道處于理想接觸狀態(tài)。理論分析可以看出，只有梯形滑塊的上底和下底邊都在同心圓上，滑塊才可以在圓弧軌道上無間隙移動。據(jù)此推理，圓弧軌道的徑向?qū)挾纫笥谥本€導軌的寬度。

4.滑塊從圓弧到垂直導軌的過渡曲線分析

當梯形滑塊長邊的前端點到達圓弧曲線的末端時，開始進入過渡曲線。這段過渡曲線可從前一段過渡曲線以45°角為對稱軸鏡像得到（即對稱曲線），因此曲線上的各點坐標值可直接通過坐標變換來得到。

5.滑塊從過渡曲線到垂直導軌的運動過程分析

由于滑塊長邊的前端點已經(jīng)進入到垂直直線上，滑塊長邊的后端點進入到過渡曲線上。因此可通過梯形長邊約束和過渡曲線上的點及梯形長邊前端點坐標的x值，可求出梯形長邊前端點坐標的y值。

滑塊運動軌跡求解過程及運動誤差的進一步分析

1.求解方法可進一步簡化，編程更加方便

上述是對滑塊在每一階段的運動軌跡做了詳細分析，并給出了求解方法。更簡單的方法就是讓滑塊在起始的水平位置與過渡曲線或圓弧曲線之間留有一段水平運動軌跡（直線段），即滑塊第一段運動軌跡為直線，第二段運動軌跡為過渡曲線，第三段運動軌跡為圓弧，則后面的運動軌跡都可通過鏡像得到，不需要再做進一步討論。假如是90°的圓弧導軌，則可以45°直線鏡像得到后半部分曲線;如果是半圓弧導軌則可以通過圓心的水平直線鏡像得到后半部分曲線。

2.滑塊運動軌跡的誤差分析

假定在采用過渡曲線的條件下，梯形長邊的前端點和后端點都在軌道外側(cè)的曲線上，則梯形短邊后端點剛進入導軌時與短邊前端點的起始位置之間存在誤差。如果此值為零，則表示重合;如果不為零，則表明有運動誤差存在，可能會影響滑塊的運動精度。

假定在不采用過渡曲線的條件下，梯形長邊的前端點和后端點都在軌道外側(cè)的圓弧曲線上，則梯形短邊后端點剛進入導軌時與短邊前端點的起始位置之間的誤差。如果此值為零，則表示重合;如果不為零，則表明有運動誤差存在。如果要求導軌在直線上和圓弧上與導軌之間間隙都接近于零，則直線導軌和圓弧導軌過渡點必然有一個跳躍，從而可能會導致滑塊前行時與圓弧導軌的跳躍部分形成沖擊，所以必須將這個跳躍打成斜坡，保證滑塊向前運動不受直接撞擊。當然在滑塊由圓弧導軌進入直線導軌時又會產(chǎn)生二次沖擊。

根據(jù)滑塊的運動規(guī)律，滑塊進入圓弧軌道時要向外形成離心力，因而圓弧軌道內(nèi)側(cè)與直線導軌之間最好光滑過度，外側(cè)與圓弧導軌之間可用斜坡過渡（如果不在一條直線上或者寬度不相等的話）。上面提到的過渡曲線也應首先保證內(nèi)側(cè)曲線為平滑過渡曲線。

3.圓弧導軌參數(shù)的影響因素分析

①圓弧導軌內(nèi)外徑設計分析

假如圓弧軌道的半徑為前述的最小值，即滑塊進入圓弧軌道后，梯形斜邊14與23線重合，這是后接圓弧軌道半徑所允許的最小值。如果再繼續(xù)增加擺動角度的話，梯形滑塊就會與導軌之間卡死。同時在梯形滑塊擺動過程中，它的最大擺動角度將達到梯形斜邊與垂直直線夾角的兩倍以上。滑塊擺動角度與后接導軌半徑近似成反比，因此在滿足空間要求的前提下，盡可能通過增大圓弧導軌的半徑來減小滑塊的擺動角度。

②滑塊參數(shù)對圓弧導軌參數(shù)的影響分析

上面提到的圓弧半徑R值實際上受到滑塊參數(shù)的影響，梯形滑塊的上下底邊差距越小，滑塊與圓弧導軌之間的間距就越小，其在過渡過程中的擺動角就越小。因此要使圓弧導軌的半徑小一點，同時過渡過程中擺角也要小一些，則最好的辦法就是使梯形上下底邊差最小，同時其長度也要盡可能地短一些。如果滑道的寬度能小一些，也有利于減小圓弧軌道的半徑值。但如果滑塊參數(shù)的變化可能會對其所攜帶的負載產(chǎn)生比較大的影響，從負載的角度講，滑塊各方面參數(shù)應盡可能大一些為佳。

③機器運動速度對圓弧半徑的影響分析

機器速度越快，滑塊進入圓弧軌道后的離心力就越大，這會對傳送皮帶形成比較大的離心拉力，容易加速皮帶疲勞損壞。由于這個離心力是周期性的，因而還會形成系統(tǒng)振動，當其振動固有頻率與系統(tǒng)上的某些部件固有頻率接近時，會引起系統(tǒng)共振。其工作頻率為：

V為機器運轉(zhuǎn)的速度，n為單位長度內(nèi)的頭數(shù)，4為環(huán)形導軌上的四段圓弧導軌。假定機器速度為18米/分，每米有3個安裝手套裝置，則f=6H?Z左右。這是基頻頻率，它還有可能會產(chǎn)生2次或3次諧波，從而有可能對機器工作狀態(tài)產(chǎn)生影響。當機器的速度要求比較高時，可通過ANSYS軟件分析滑塊與軌道之間的接觸受力狀況，為滑塊和導軌的強度和剛度設計提供理論依據(jù)。

④圓弧導軌和滑塊的嚙合分析

要使滑塊在圓弧導軌上無間隙運動（如圖5所示），只有梯形滑塊頂邊和底邊完全在同心圓上。由于可以畫出無數(shù)個通過四點的同心圓，所以R可以有無數(shù)個值。但當軌道的寬度確定后，R只能有唯一一個值。假定圓心的點用0表示。

其中Rh為圓弧導軌的寬度。改變Rh的值，R的值就隨著改變，Rh的最大值就是梯形滑塊斜邊的長度。這種結(jié)果會導致圓弧導軌和直線導軌直接連接時，出現(xiàn)厚度不一樣偏差。梯形上下底邊長度差值越小，這個導軌過渡位置的偏差就越小，但導軌的半徑就越大。同時又要偏差小，又要半徑小是很難同時做到的。所以采用過渡曲線來連接直線導軌和圓弧導軌，這樣才能保證滑塊在直線運動時和曲線運動時與導軌之間的間隙最小。

上面對直線導軌與圓弧導軌對接的影響因素做了簡要分析。但是要使圓弧導軌能夠正常工作，還有其他因素要分析研究，如負載對象的控制精度直接影響到導軌相關參數(shù)的確定。為保證圓弧導軌長時間工作，對導軌表面的熱處理和加工方法也有一些特殊要求。除此之外導軌在安裝過程中還需要反復進行運轉(zhuǎn)靈活性測試，確保運動過程中無卡頓和撞擊現(xiàn)象。鑒于滑塊運動過程中的離心力存在，在研磨軌道時最好研磨圓弧軌道的外側(cè)，即始終保持圓弧軌道的內(nèi)側(cè)與梯形滑塊的滾子接觸。圓弧軌道外側(cè)的修磨長度不大于梯形底邊的長度。

總之直線導軌與圓弧導軌對接給滑塊運動帶來了很多技術難題，在高精度設計時必須對這些問題逐一研究，才能夠保證滑塊負載的運動精度達到規(guī)定的技術要求。本文重點討論的是梯形滑塊的運動規(guī)律，如果采用的其他滑塊結(jié)構(gòu)，其研究方法也與此類似。

作者單位：北京印刷學院機電工程學院 北京印刷學院智能制造實驗室 北京華德液壓工業(yè)集團有限責任公司

注：本論文資助基金項目：國家重點研發(fā)計劃項目（2019 YFB170302）;北京市科技重大專項（Z191100009119002）

責任編輯：李倩 liqian@cprint.cn