以數學之眼探究規律

文 顏廷亮

規律廣泛存在于自然界和社會各種現象之中，學習數學可以幫助我們透過現象看本質，找到事物之間的必然聯系。我們可以從以下幾個角度進行思考：

一、找規律的基本眼光

例1觀察下列數據，根據你發現的規律填空。

【解析】奇數的規律為1，3，5，7，9……2n-1；偶數的規律為2，4，6，8，10……2n；平方數的規律為1，4，9，16，25……n2；1，3，6，10，15……的規律是：3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4……第n 個數是。很多數字及圖形規律，都是以上述規律為基礎的。

例2請通過計算推測32020的個位數是________。

【解析】當出現的數字比較大的時候，往往有“循環”出現。如31=3，32=9，33=27，34=81，35=243……尾數每4 個就出現3，9，7，1 的循環，由2020÷4=505 得本題答案為1。

二、找規律的透視眼光

1.數形結合可透視。

例3如圖1 所示，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的長方形，接著再把面積為的長方形分成兩個面積為的長方形，再把面積為的長方形分成兩個面積為的長方形，如此進行下去。試利用圖形的規律計算

【解析】利用圖形的直觀性，容易發現故本題的答案為

例4按圖2 方式用火柴棒擺小魚，擺1 條小魚用8 根火柴棒，擺2 條小魚用14 根火柴棒……則擺7 條小魚需要_______根火柴棒。

【解析】從圖形規律看，如果將每條魚的“尾巴”看作固定不變的兩根，每增加1 條小魚，火柴棒會增加6 根：8=6×1+2，14=6×2+2，20=6×3+2……由上可知第n 個小魚需要的火柴根數是6n+2，本題答案為44；從數字的規律看：8，14，20……數字之間依次增加6，則規律中含有6n，也可以推出答案44。

2.歸納猜想可透視。

例5你能比較數20182019和20192018的大小嗎？

觀察比較：通過計算，比較下列各組數中兩個數的大小（在橫線上填“＞”“=”或“＜”）：①12_______21；②23_______32；③34_______43；④45_______54；⑤56_______65……

歸納猜想：觀察分析上面的結論，猜想nn+1與（n+1）n的大小（直接寫出結論）。

【解 析】12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，56＞65，歸納猜想：當n=1 或2 時，nn+1＜（n+1）n，當n≥3 時，nn+1＞（n+1）n。本題給我們的啟發是，尋找規律的時候不要妄下結論，而應該從簡單的情形入手，進行觀察、歸納和猜想，有能力的還要進行推理驗證。

三、找規律的獨特眼光

有許多數學智慧、數學經典、數學名題隱藏在規律題之中，等著你去發現解決，例如楊輝三角、冰雹猜想、兔子數列等，下面選取一例給同學們展示一下。

例6取一個自然數，若它是奇數，則乘3 加上1，若它是偶數，則除以2，按此規則經過若干步的計算最終可得到1。如果自然數m 恰好經過7步運算可得到1，則所有符合條件的m 的值有________。

【解析】本題可以根據計算倒推出答案為128、21、20、3。這就是有名的“冰雹猜想”，也叫角谷猜想或collatz 數列，是一個尚未解決的數學難題。20世紀70年代中期，美國很多大學校園都流行這種數學游戲。其魅力在于無論開始時是怎樣的一個數字，都無法逃出4→2→1的循環，雖然各種計算機程序都驗證了這樣的猜想是合理的，但是各國數學家卻沒有能夠對這樣的結論進行證明。