兩種改善CEEMD端點效應方法的研究分析

嚴開軍,譚康熹,單德山

(1.中電建路橋集團工程設計研究院,北京 100048;2.西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

經驗模態分解[1](Empirical Mode Decomposition，IMF)是1998年由Huang等提出的一種時頻分析方法。它用不同特征尺度的數據序列本征模函數(Instrinsic Mode Function)分量來逐級分解信號。雖然EMD具有很多優點，但在實際應用中存在“端點效應”等問題，即在運用經驗模態分解的過程中，因信號兩端點不一定是極值點，導致構成上、下包絡的三次樣條曲線在數據序列的兩端出現發散現象，并且這種發散的結果會逐漸向內“污染”數據而使得結果嚴重失真[2]。

Yeh[3]等提出了一種補充的總體平均經驗模態分解方法(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD)，CEEMD主要是通過向原信號添加兩對相反的白噪聲信號分別進行EMD分解，然后將分解的結果進行組合即可得到最終的本征模函數(IMF)。利用CEEMD分解可明顯提升重構信號的完備性，完備性好即意味著信號的重構誤差小，而此時的分解效果與總體平均經驗模態分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)相當。

國內外有許多學者對CEEMD的端點效應問題進行了深入的研究[4]。當前，用于CEEMD端點效應的處理方法有平行延拓法、多項式延拓法、鏡像對稱延拓、邊界局部特征尺度匹配延拓等。本文選擇鏡像對稱延拓與邊界局部特征尺度匹配延拓進行對比分析，最終得到一些對實際工程應用有指導意義的結論。

1 CEEMD方法

CEEMD建立在EMD基礎之上，由以下幾個步驟構成：

步驟1：向原信號中加入n組正、負成對的高斯白噪聲，經過EMD分解后生成兩大組IMF：

式中：x1為加入正負成對高斯白噪聲信號后合成的信號；加入正負成對高斯白噪聲信號后合成的信號；x為原始信號；x為高斯白噪聲。

步驟2：對集合中每一個信號都做一次EMD分解，每個信號都會得到一組IMF分量，其中第i個信號的第j個IMF分量用cij表示。

步驟3：通過多組分量組合的方式得到第j個IMF分量:

CEEMD具有EMD的二進濾波作用，即首先分解出的第一個IMF分量IMF1，其頻率段是信號中最高的頻率段，中心頻率為f1，第二個分量分解的頻率是第一個的1/2，因此分量IMF2的中心頻率f1=f2/2,而分量IMF3的中心頻率為f3=f2/2,依次類推就是EMD的濾波器作用。

2 兩種處理端點效應的方法

本論文將兩種改善CEEMD端點效應的方法在Matlab上實現，并進行比較研究：

(1)鏡像對稱延拓：以信號兩端的邊界為對稱，把信號向外映射，得到原始信號的鏡像，形成一個閉合的曲線，從而得到完整的包絡曲線。

(2)邊界局部特征尺度延拓:把調幅趨勢和端點處局部極值點的時間間隔相結合，在信號兩端分別添加一對極大值點和極小值點。

3 “端點效應”數值指標

本論文采用平均相對誤差RMSE_IMF[5]、相似系數corr_IMF[5]、程序運行時間T來評價兩種處理“端點效應”的處理效果。

(1)平均相對誤差：經CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信號分量之間的平均相對誤差。

式中：N表示信號的總個數；xi(k)表示原始信號中第i個分量；IMFi(k)表示CEEMD分解后得到的相應分量。RMSE_IMFi越小，說明端點效應的抑制越好。

(2)相似系數：計算經CEEMD 分解后各分量信號與對應的原始信號之間的相似系數corr_IMF信號的包絡發生形狀畸變，引起“端點效應”，從而使各個分量的分解不準確。可以比較經CEEMD分解后的各IMF分量和原信號分量之間的相似度，來評價兩種“端點效應”算法的處理效果。

式中：cov(·)表示協方差；σ(·)表示方差；IMFi表示信號經過CEEMD分解后的第i個模態分量；xi為相對應的原始信號組成分量。corr_IMF值越大，說明端點效應的抑制越好。

(3)程序運行時間：不同“端點效應”處理算法的實際運行時間以滿足實際工程應用當中的實時性。

4 仿真實驗分析

本文在Matlab平臺上做仿真實驗時選擇了合成的調幅信號，其表達式如下：

x(t)=sin(2π×150t)+(1+0.2×sin(2π×10t))×

cos (2π×50t+0.5sin (2π×20t))

該仿真信號是由周期信號sin(2π×150t)與調幅信號(1+0.2×sin(2π×10t))×cos (2π×50t+0.5sin(2π×20t))組合而成的。其中：采樣點數為250，采用頻率為1 000 Hz，在Matlab上實現的原始信號時域波形如圖1所示。

圖1 合成信號及分量

為了比較研究兩種“端點效應”處理方法的抑制效果，將兩種方法與未做“端點效應”處理進行對比，得出了圖2～圖5實驗分析結果。圖中的紅線表示未做邊界處理的結果，藍線代表經鏡像對稱延拓處理后的結果，綠線代表經邊界局部特征尺度匹配延拓處理后的結果。

圖2 不同“端點效應”方法IMF1整體對比

圖3 不同“端點效應”方法IMF1局部對比

圖4 不同“端點效應”方法IMF2整體對比

圖5 不同“端點效應”方法IMF2局部對比

由以上各仿真實驗實驗結果圖像可知：鏡像對稱延拓與邊界局部特征尺度匹配延拓都有效改善了CEEMD的“端點效應”問題，但是邊界局部特征尺度匹配延拓法在處理“端點效應”時抑制效果最佳。

表1給出了上述兩種方法的數值分析評價指標。

表1 “端點效應”數值指標分析

由表1的數值分析表可以看出：在合成的調幅仿真信號上，邊界局部特征尺度匹配延拓法的平均相對誤差最小，相似系數最大，平均相對誤差最小，程序運行時間最短。

5 結論

通過鏡像對稱延拓法與邊界局部特征尺度匹配延拓法的圖像與數值指標與“端點效應”不做處理的對比分析可知：邊界局部特征尺度匹配延拓法的分解精度最高，經CEEMD分解后的各IMF分量和原信號分量之間的相似度最高，經CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信號分量之間的平均相對誤差最小，且程序運行時間最短。因此，在本論文所用的仿真信號上邊界局部特征尺度匹配延拓法對“端點效應”的抑制效果最好。所以在實際的工程中，遇到與本論文的仿真信號類似的信號時，可優先考慮使用邊界局部特征尺度匹配延拓法對實際的信號進行“端點效應處理”。