理清思路，志在必得

文 劉 佳

“一元二次方程”安排在九年級上冊第一章，是初中階段學習的最后一類方程，同時也為后面二次函數的學習做了鋪墊。在學習一元二次方程時，我們的研究路徑一般是“概念—解法—應用”。一元二次方程與之前所學的方程又有不同之處，即一元二次方程的根與系數的關系作為每年中考必考知識點，簡單，易得分。下面圍繞這個知識點介紹幾種類型的題目，希望同學們能熟練運用。

例1已知關于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一個根是-1，求方程的另一個根和m的值。

【分析】這道題方法不唯一，你是怎么思考的？

方法一：把x=-1代入原方程，得到關于m的一元二次方程。求出m的值，再代入原方程求解。該方法沒有用到一元二次方程根與系數的關系，僅利用解一元二次方程解決的。

方法二：由題意，可知a=1，b=-6，c=m2-3m-5。由一元二次方程的根與系數的關系可得尋求到突破口，解決問題。

解法一：把x=-1代入原方程，得1+6+m2-3m-5=0。

整理，得m2-3m+2=0。

解這個方程，得m1=2，m2=1。

把m1=2代入原方程，得x2-6x-7=0。

解這個方程，得x1=-1，x2=7。

所以方程的另一個根是7，m的值是1或2。

解法二：由題意，得a=1，b=-6，c=m2-3m-5。

把x=-1代入，得另一個根為7。

m2-3m-5=-1×7=-7。

解這個方程，得m1=2，m2=1。

所以方程的另一個根是7，m的值是1或2。

例2已知關于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，求p、q的值。

【分析】方法一：把兩根分別代入原方程，得到關于p、q的二元一次方程組，解這個方程組即可。

方法二：由題可知a=1，b=p，c=q，由一元二次方程的根與系數的關系可得x1+x2=進而求解。

解法一：把方程的兩個根分別代入方程，得整理，得

例3設x1、x2是方程x2+mx+3=0的兩個根，且x1+x2-x1x2=1，則m=____。

【分析】由題可知a=1，b=m，c=3，根據題意，利用一元二次方程的根與系數的關系可得x2-x1x2=1，解出m的值即可解決問題。

解：由題意，得a=1，b=m，c=3，

得-m-3=1，

∴m=-4。

例4（2020·江蘇南通）若x1、x2是方程x2-4x-2020=0的兩個實數根，則代數式-2x1+2x2的值等于________。

【分析】由題意可知：a=1，b=-4，c=觀察代數式-2x1+2x2，前面的-2x1配方得到（x1-1）2-1，后面的-2x1+2x2提公因式得到-2（x1-x2）。它們皆和根與系數的關系聯系不上。我們再回頭觀察方程特征，x2-4x-2020=0，x1是方程實數根，代數式中出現了這項，把x1代入方程可得-4x1-2020=0，-4x1=2020，那么-2x1+2x2=-4x1+2x1+2x2=-4x1+2（x1+x2）。適當地變形，問題便迎刃而解。

解：由題意，得a=1，b=-4，c=-2020，

因為x1是方程x2-4x-2020=0的實數根，

通過這四個例題，同學們能大致了解根與系數關系這個知識點考查的題目類型了吧？前兩個例題列舉的這兩種方法，還可以在一些綜合題中穿插使用，但其本質不變。同學們在以后的解題過程中，應學會靈活運用一元二次方程的相關知識點，巧妙解決此類問題。