根的判別式在解題中的應用

文 張田田

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac在初中數學學習中占有非常重要的地位，它是解決一元二次方程相關問題的重要工具，也是中考的必考知識點。利用根的判別式可以判斷一元二次方程的根的情況，在解決方程、函數、不等式等問題時也有廣泛的應用。下面就根的判別式在解題中的應用舉例說明，以期對同學們的學習有所幫助。

一、不解方程，判別方程根的情況

蘇科版數學教材九年級上冊“一元二次方程”第20頁的習題中有這樣一題：

例1k取什么值時，關于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有兩個相等的實數根？有兩個不相等的實數根？沒有實數根？

【分析】本題主要考查的是一元二次方程的根的判別式的知識。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況可以由根的判別式b2-4ac的符號來判定。當Δ=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=b2-4ac＜0時，方程沒有實數根。故先用含k的代數式表示b2-4ac，再分別用b2-4ac=0，b2-4ac＞0，b2-4ac＜0求出相應的k的取值范圍。

變式1（2020·江蘇南京）關于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p為常數）的根的情況，下列結論中正確的是（ ）。

A.兩個正根

B.兩個負根

C.一個正根，一個負根

D.無實數根

【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式和根與系數的關系兩個知識點。先把方程（x-1）（x+2）=p2化為一般式，根據根的判別式Δ=b2-4ac的符號來判斷方程根的個數，再根據根與系數的關系來判斷根的正負性，即可求解。

解：將原方程化為x2+x-2-p2=0，

則Δ=b2-4ac=1+8+4p2=9+4p2＞0，

可知方程有兩個不相等的實數根。

所以此方程有一個正根，一個負根，故選C。

變式2已知關于x的方程mx2+（3m-2）x+2m-2=0。

（1）求證：方程總有實數根；

（2）若方程有兩個整數根，求整數m的值。

【分析】本題考查含字母系數方程的根的情況。（1）對于此類問題，首先要對二次項系數進行分類討論，先確定方程的類型。若m=0，方程是一元一次方程，有實數根；若m≠0，方程是一元二次方程，則需由根的判別式Δ=b2-4ac進行判定，確定根的判別式的符號，從而得知方程根的情況。（2）把mx2+（3m-2）x+2m-2=0因式分解得到方程的兩個根，再根據題意求整數m的值。

（1）證明：當m=0時，原方程可化為-2x-2=0，方程有實數根x=-1；

當m≠0時，mx2+（3m-2）x+2m-2=0是關于x的一元二次方程，

由題意，得a=m，b=3m-2，c=2m-2。

因為Δ=b2-4ac=（3m-2）2-4m（2m-2）=m2-4m+4=（m-2）2≥0，

所以方程有兩個實數根。

綜上所述，不論m為何值，方程總有實數根。

（2）解：由題意知方程有兩個整數根，故m≠0。

因為方程有兩個整數根且m是整數，

所以m=±2或m=±1。

二、判別式在實際問題中的應用

蘇科版數學教材九年級上冊“一元二次方程”第24頁問題1：

例2用一根長22cm的鐵絲：

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？

【分析】本題考查列一元二次方程解決實際問題、根的判別式的應用等知識點。（1）設圍成的矩形的長是xcm，根據矩形的面積公式列出方程，解方程即可；（2）同第1問，列出方程，要判斷能否圍成矩形，需要判斷方程根的情況，借助根的判別式b2-4ac即可得到結論。

解：設這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm，則矩形的寬是（11-x）cm。

（1）根據題意，得x（11-x）=30，

即x2-11x+30=0。

解這個方程，得x1=5，x2=6。

當x=5時，11-x=6；當x=6時，11-x=5。

答：用一根長22cm的鐵絲能圍成面積是30cm2的矩形。

（2）根據題意，得x（11-x）=32，

即x2-11x+32=0。

因為b2-4ac=（-11）2-4×1×32=121-128=-7＜0，

所以此方程沒有實數根。

答：用一根長22cm的鐵絲不能圍成面積是32cm2的矩形。

變式1把一根長32cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形。問：這兩個正方形面積的和可能等于30cm2嗎？

【分析】本題考查一元二次方程的應用，利用正方形的周長表示出正方形的邊長進而列出方程，然后可以利用一元二次方程的根的判別式判斷方程是否有解，若無解，則不可能；若有解，先求解，再根據實際問題來驗證解是否符合條件。

解：設其中一個正方形的邊長是xcm，則另一個正方形的邊長是（8-x）cm。

根據題意，得x2+（8-x）2=30，

即x2-8x+17=0。

因為b2-4ac=（-8）2-4×1×17=64-68=-4＜0，

所以此方程沒有實數根。

答：這兩個正方形面積的和不可能等于30cm2。

變式2已知?ABCD的兩邊AB、AD的長是關于x的方程的兩個根。問：m為何值時，?ABCD是菱形？并求出菱形的邊長。

【分析】本題考查菱形的性質。若?ABCD為菱形，則邊長相等，那么一元二次方程有兩個相等的實數根，即可以得到根的判別式b2-4ac=0，進而求出m的值，最后通過解一元二次方程的根求出菱形的邊長即可。

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD。

∴方程有兩個相等的實數根，即b2-4ac=0。

解這個方程，得x1=x2=0.5。

答：當m為1時，平行四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長為0.5。

總而言之，根的判別式的應用在歷年的中考題中都有所體現，它不僅可以用來判斷一元二次方程根的情況，也可以解決如函數、方程、不等式、幾何等很多其他的問題。許多表面與一元二次方程無關的數學問題，如完全平方式、二次三項式的因式分解等，都可以通過構造一元二次方程，把原問題轉化為討論方程根的性質的相關問題進行解決。