四階帶通箱的自回歸滑動平均模型?

陳 立 田 興 夏 潔 沈 勇

(南京大學聲學研究所 近代聲學教育部重點實驗室 南京 210093)

0 引言

數(shù)字信號處理技術(shù)現(xiàn)已廣泛應用于揚聲器系統(tǒng)之中，以實現(xiàn)均衡、過載保護、參數(shù)辨識、失真補償?shù)戎T多功能[1?2]，達到提升音質(zhì)、優(yōu)化性能的目的。這些功能都要依托于前饋式數(shù)字控制器來實現(xiàn)，這要求對揚聲器系統(tǒng)建立穩(wěn)定而精確的離散時間模型，實時地預測揚聲器系統(tǒng)的狀態(tài)量，供給數(shù)字處理模塊，使其正常工作。

建立揚聲器系統(tǒng)的離散時間模型主要有兩種方法。一是建立揚聲器系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程(Statespace,SS)，運用差分方法進行求解[3?4]；二是基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)，構(gòu)建其自回歸滑動平均(Autoregressive moving average,ARMA)模型。SS模型原理簡單，但對采樣率要求較高，穩(wěn)定性差，精確程度不足。ARMA模型對采樣率的要求低，穩(wěn)定性好，相比于SS模型更加精確，且由于其等價于無限沖激響應(Infinite impulse response,IIR)濾波器，適用自適應濾波器理論，因此應用更廣。

許多學者在建立揚聲器系統(tǒng)的ARMA模型方面做了工作。Kundsen等[5]從揚聲器振膜速度的傳遞函數(shù)出發(fā)，將揚聲器單元模型等效為一個自適應濾波器，建立時域差分方程，得到其集總參數(shù)類比線路圖力學端的離散時間模型；Bright[6?7]在忽略電感的情況下給出了揚聲器單元類比線路圖電學端的時域迭代公式，將其用于辨識，取得了很好的效果；朱志鵬等[8]進一步對Bright的模型進行優(yōu)化，在電學端加上了等效電感，提高了離散時間模型的精確程度。

然而上述的ARMA模型對于音圈電感的建模仍然較為簡單，模型精確程度不足。且它們都是針對簡單的揚聲器單元或者封閉箱系統(tǒng)，對四階帶通箱這種體積小、效率高、聲學端負載相比單元更復雜的揚聲器系統(tǒng)[9?10]的建模工作，還是停留在使用前向歐拉法建立SS模型，對仿真采樣率要求較高，計算代價較大。

本文進一步使用LR-2理論[11]對音圈電感進行優(yōu)化，并且就具有復雜聲學端負載的四階帶通箱建立ARMA模型。從四階帶通箱的狀態(tài)空間方程出發(fā)，給出其集總參數(shù)模型的系統(tǒng)傳遞函數(shù)方程組，將其離散化后得到時域差分迭代式。通過實驗將本文給出的ARMA模型與SS模型進行對比，說明ARMA模型更加穩(wěn)定與精確，因此更具應用價值。

1 理論分析

1.1 四階帶通箱模型

四階帶通箱是聲學帶通濾波器階數(shù)為四的揚聲器系統(tǒng)，揚聲器單元鑲嵌在箱體內(nèi)部隔板上，系統(tǒng)輻射聲源為聲導管，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。在建立揚聲器系統(tǒng)集總參數(shù)類比線路圖時，使用Klippel提出的LR-2理論對其進行優(yōu)化，在模型中增加了串聯(lián)次級電感電阻，其等效類比線路圖如圖2所示。

圖2中模型參數(shù)與狀態(tài)變量說明如下：

模型參數(shù)：

RE—揚聲器單元音圈直流電阻；

LE—揚聲器單元音圈等效電感；

L2—音圈副電感；

R2—音圈渦流電阻；

Bl—揚聲器單元的力電耦合因數(shù)；

RMS—包含空氣負載的揚聲器單元的等效力阻；

MMS—包含空氣負載的揚聲器單元振動系統(tǒng)的等效質(zhì)量；

CM—揚聲器單元懸置系統(tǒng)和腔體1 內(nèi)空氣的總等效力順；

S—揚聲器單元振膜的有效輻射面積；

CAB2—腔體2內(nèi)空氣的等效聲順；

MAP—聲導管的等效聲質(zhì)量；

RAP—聲導管的等效聲阻。

狀態(tài)變量：

u—揚聲器系統(tǒng)兩端電壓；

i—流經(jīng)揚聲器單元音圈的電流；

i2—流經(jīng)音圈副電感的電流；

v—揚聲器單元振膜的振動速度；

US—腔體1空氣的容積速度；

UP—聲導管內(nèi)空氣的容積速度；

pa—聲導管所在腔體的聲壓。

圖1 四階帶通箱的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic drawing of the fourth-order band-pass loudspeaker system

圖2 四階帶通箱集總參數(shù)模型的類比線路圖Fig.2 Equivalent circuit of the fourth-order band-pass loudspeaker system

與之對應的四階帶通箱的狀態(tài)空間方程寫為

1.2 系統(tǒng)模型離散化

基于狀態(tài)空間方程式(1)使用前向歐拉法進行仿真得到的系統(tǒng)離散時間模型即SS模型。前向歐拉法是基于前向差分法對傳遞函數(shù)進行離散化的，這種方法基于積分的矩形法則，較為簡單但是畸變嚴重、等效精度較差，且只能將s左半平面的一個有限半徑的圓映射到z平面的單位圓，所以當s域傳遞函數(shù)穩(wěn)定時，z域傳遞函數(shù)不一定穩(wěn)定；而雙線性變換法與零極點匹配法精度較高、頻率特性保真度較好，當s域傳遞函數(shù)穩(wěn)定時，z域傳遞函數(shù)一定穩(wěn)定[12]。因此下文將狀態(tài)空間方程改寫成傳遞函數(shù)的形式，利用雙線性變換法和零極點匹配法對其進行離散化，建立系統(tǒng)的ARMA模型。

將狀態(tài)空間方程改寫成偏微分方程組并對其進行拉普拉斯變換，將電學端、力學端、聲學端狀態(tài)量合并，得到用3個系統(tǒng)狀態(tài)量i、v、pa表示的傳遞函數(shù)方程組：

其中，L?1表示求逆拉普拉斯變換，?為卷積符號。

提取其中的s域傳遞函數(shù)：

使用雙線性變換法將電學s域傳遞函數(shù)離散化，使用零極點匹配法將力學和聲學s域傳遞函數(shù)離散化，得到z域傳遞函數(shù)及時域差分方程：

其中，z域傳遞函數(shù)和時域差分方程的系數(shù)可由揚聲器系統(tǒng)各參數(shù)、力學端振動系統(tǒng)的阻尼比和歸一化共振角頻率聲學端振動系統(tǒng)的阻尼比和歸一化共振角頻率離散化的時間采樣間隔ts共同給出，具體表達如下：

時域差分方程組式(6)即為期望得到的四階帶通箱的ARMA模型。

1.3 極點分布

考察式(4)，探究3個s域傳遞函數(shù)極點分布。

對電學端傳遞函數(shù)，其s域極點λi為

考慮到實際物理意義，式(10)中各參數(shù)都是正數(shù)，因此限定了極點分布的范圍，其分子實部為

同理，力學端和聲學端s域傳遞函數(shù)分子實部為

三個s域傳遞函數(shù)極點均分布在s平面左半平面，所以都穩(wěn)定。而雙線性變換法和零極點匹配法的特性是若s域傳遞函數(shù)穩(wěn)定，z域傳遞函數(shù)一定穩(wěn)定[12]，即式(5)～(6)給出的z域傳遞函數(shù)和時域差分方程穩(wěn)定，本文給出的ARMA模型穩(wěn)定。

2 實驗驗證

2.1 實驗對象

為驗證給出的ARMA模型理論的正確性，研究設(shè)計并進行了四階帶通箱的相關(guān)實驗。該四階帶通箱外尺寸為27 cm×16 cm×18 cm，內(nèi)部鑲嵌一個11.67 cm(3.5 寸)揚聲器單元，其系統(tǒng)參數(shù)由KLIPPEL 電聲測量儀測得。四階帶通箱的正視圖和側(cè)視圖如圖3所示。

圖3 四階帶通箱的正視圖和側(cè)視圖Fig.3 Face view and side view of the fourth-order band-pass loudspeaker system

2.2 實驗測量

測量實驗在南京大學消聲室進行，四階帶通箱安裝在KLIPPEL測試架上(無障板條件)。測量儀器為B&K PULSE系統(tǒng)和SoundCheck電聲測量儀。本實驗使用粉紅噪聲信號激勵四階帶通箱以獲取其電學數(shù)據(jù)，激勵電壓為3 V，激勵時長為5 s。

2.3 實驗結(jié)果

使用B&K PULSE系統(tǒng)獲取四階帶通箱的實測電壓與電流，計算其自功率譜與互功率譜，得到電學傳遞函數(shù)，形成實測阻抗曲線；在錄回的電流數(shù)據(jù)中隨機截取連續(xù)200個采樣點的數(shù)值，得到四階帶通箱的瞬時電流波形。使用KLIPPEL 電聲測量儀獲取四階帶通箱的參數(shù)，基于集總參數(shù)模型計算得到阻抗曲線的理論值。

基于測量得到的模型參數(shù)，在相同的激勵信號和采樣率(24 kHz)下，分別建立四階帶通箱的SS模型和ARMA模型。計算模型輸出電壓與電流的自功率譜與互功率譜，獲取其電學傳遞函數(shù)，得到仿真的阻抗曲線；截取模型輸出電流數(shù)據(jù)中對應于實測的200個采樣點的數(shù)值，得到四階帶通箱離散時間模型的瞬時電流波形。

繪制實測的與理論的阻抗曲線，如圖4所示。繪制實測的與兩模型輸出的阻抗曲線，如圖5所示。繪制實測的與兩模型輸出的阻抗曲線的誤差絕對值，如圖6所示。繪制實測的與兩模型輸出的瞬時電流波形，如圖7所示(為直觀清楚起見，僅展示頭100個采樣點)。繪制實測的與兩模型輸出的電流波形的誤差絕對值，如圖8所示。計算兩模型輸出阻抗曲線、電流波形與實測值誤差的均方根值，如表1所示。

圖4中，理論值與實測值吻合得較好，說明KLIPPEL 測量儀的測量結(jié)果準確可靠，實驗誤差較小，基于該測量參數(shù)進行建模是有意義的。在圖5、圖6和表1中，ARMA模型的輸出阻抗曲線相比于SS模型與實測數(shù)據(jù)吻合得更好，誤差更小；在圖7、圖8和表1中，ARMA模型的輸出電流波形相比于SS模型與實測數(shù)據(jù)吻合得更好，誤差更小。說明在相同的采樣率下，ARMA模型無論是在全頻帶的工作性能還是瞬時工作性能，都要優(yōu)于SS模型。

圖4 理論與實測的阻抗曲線Fig.4 Theoretical and measured impedance curves

圖5 模型輸出阻抗曲線Fig.5 Impedance curve from the models

圖6 阻抗曲線誤差Fig.6 Error of impedance curves

表1 阻抗和電流曲線誤差Table1 Errors of impedance and current curves

圖7 模型輸出電流波形Fig.7 Current waveform from the models

圖8 電流波形誤差Fig.8 Error of current waveforms

為進一步研究ARMA模型對于采樣率的要求，在不同的采樣率下，分別建立四階帶通箱的SS模型和ARMA模型，對同樣的輸入電壓信號，比較其輸出電流信號與實測電流信號的誤差的均方根值，結(jié)果如表2所示。當采樣率小于等于20 kHz時，SS模型發(fā)散，無法正常工作，而ARMA模型在5 kHz及以上的采樣率下均能穩(wěn)定工作；在同一采樣率下，ARMA模型的誤差均顯著小于SS模型的誤差；在同樣的精度要求下，ARMA模型所需的采樣率低于SS模型的要求。上述結(jié)果說明，ARMA模型對采樣率要求更低、穩(wěn)定性更強、精確程度更高。

表2 電流誤差Table2 Errors of current curves

3 結(jié)論

本文研究了四階帶通箱的離散時間模型，提出了用于預測和控制四階帶通箱瞬態(tài)行為的自回歸滑動平均模型，并進行了實驗驗證。實驗結(jié)果表明，與基于狀態(tài)空間方程的差分求解方法相比，該模型在采樣率相同的前提下明顯提升了精確程度，在保證穩(wěn)定的前提下明顯降低了對采樣率的要求。

該離散時間模型具有良好的穩(wěn)定性與精確性，其形式簡單，適用于自適應濾波理論。基于此模型，可以實現(xiàn)對四階帶通箱的過載保護、自適應參數(shù)辨識與失真補償，從而幫助提升四階帶通箱的工作表現(xiàn)。