基于全局穩定的爬壁機器人雙環軌跡跟蹤控制

滕 昊，莊 園，鄧世建+

(1.中國礦業大學 信息與控制工程學院，江蘇 徐州 221008；2.云南民族大學 電氣信息工程學院，云南 昆明 650540)

0 引 言

對期望軌跡跟蹤控制是爬壁機器人作業的基礎，本文依托磁吸附輪式移動爬壁機器人對軌跡跟蹤控制進行分析研究，考慮到現爬壁機器人軌跡跟蹤控制中主要面臨3個難點[2-4]：跟蹤精度差、控制響應速度慢以及系統狀態不穩定問題。

考慮將航向角加入到系統的反饋控制中，即采用位置反饋加上姿態(航向角)反饋，在航向角為預期的前提下再到達指定位置，可有效保證控制精度；而對于響應控制問題，目前所應用的控制算法主要有如下所示：

(1)非線性狀態反步控制法[5-8]：通過建立數學模型，根據穩定性條件，反推控制律使得實際軌跡和期望軌跡之間的誤差收斂，以準確跟蹤期望軌跡，由于這種方法響應速度較慢，跟蹤誤差收斂的時間較長，且對于不確定參數沒有較強的適應性，所以，在實際應用中，存在較大的局限性。

(2)自適應反步法[9]：為解決反步法中的不確定參數無法估計的問題，自適應反步通過濾波器反饋信號并對不確定參數進行在線估計，將估計的值最后用反步法得到受約束的控制律，作用于控制系統作用，反復自調整、自適應最終實現穩定的軌跡跟蹤。但該方法的計算十分復雜龐大，工作效率較低。

(3)滑模跟蹤控制法[10-12]：對于模型已知的控制系統，通過設計趨近律使得控制誤差快速收斂，迫使系統按照預定“滑動模態”的狀態軌跡運動。由于滑動模態可以進行設計且與對象參數及擾動無關，這對于軌跡跟蹤控制具有較強的魯棒性。

綜合以上分析，滑模控制算法具有易于控制而且魯棒性強的特點對于爬壁機器人在現場不確定復雜環境下更加適用。但是滑模控制算法雖然具有較快的響應速度與一定的魯棒性，但是系統內部的不確定參數需要根據系統的特征做進一步處理。基于此，本文以運動學模型為基礎，對爬壁機器人軌跡跟蹤控制器進行設計，為整個爬壁機器人運動控制器搭建可靠的控制框架，以及后續的動力學建模提供協助速度參考，首先建立運動學模型。

1 爬壁機器人運動學模型

本文以4輪磁吸附爬壁機器人在石油罐體上作業為例[13]，對控制系統進行設計分析，并驗證穩定性。以壁面作為作業面，建立二維平面坐標系如圖1所示。

圖1 爬壁機器人運動學模型

圖1中XOY為作業面坐標系，根據懸吊法，爬壁機器人的質心與幾何中心重合記為參考坐標系原點o1， 建立隨爬壁機器人一起運動的參考坐標系o1x1y1。 設爬壁機器人的狀態為p=[x,y,θ]T， 其也可以視為爬壁機器人本體坐標系OXY在作業面坐標系下的位姿量。

設爬壁機器人的期望跟蹤狀態為pd=[xd,yd,θd]T， 爬壁機器人在作業面坐標系下的運動速度為v， 角速度為ω， 于是可以得到在本體坐標系中爬壁機器人的速度角速度與作業面坐標系中速度角速度的關系如下

(1)

式中：vX,vY為在爬壁機器人本體下的速度量，進一步可以得到

(2)

式中：可以看出，爬壁機器人控制系統為欠驅動系統[15]，可以爬壁機器人對于位置出動跟蹤，角度θ隨動跟蹤。以此思路，接下來設計爬壁機器人的跟蹤控制系統。

2 軌跡跟蹤控制系統

根據運動學欠驅動的特點，以位置量主動跟蹤，角度量隨動跟蹤，設計雙環反饋控制系統：位置環與角度環，如圖2所示。

圖2 雙閉環系統結構

在位置環，通過設計控制律實現對xd,yd的跟蹤，并在位置環中產生的角度跟蹤量θd輸入到角度控制環，實現對偏航角的跟蹤，也就是實現θ的隨動，從而可以準確跟蹤期望軌跡。下面設計軌跡跟蹤控制率。

3 軌跡跟蹤控制律設計

根據位姿誤差的特點，需要使誤差收斂，具有良好的滑動模態特性，所以將位姿誤差設為滑模切換面，與Lyapunov函數，根據趨近律約束，利用反步法設計控制律，以保證系統穩定。目前工程上為保證簡單可行，采用直接求導滑模面代入穩定函數中，設計控制率，這種方法雖然簡單有效，但需要依賴增益的調節使得角度快速跟蹤期望，來保證系統穩定，這樣就犧牲了速度作為代價，所以本文對此進行改進，通過設計約束條件，系統不依賴控制增益調節就能夠準確跟蹤與達到穩定。

考慮到位置環控制器為主動跟蹤期望軌跡，所以在位置環控制率設計中引入動態全局漸進穩定性定理，在趨近律中采用雙曲函數代替一次函數，并需要外環位置控制閉環系統滿足Lipchitz條件，根據Lyapunov全局穩定性，進而判斷整個系統的收斂性。首先設計位置外環控制率。

3.1 控制律設計

首先引入動態全局漸進穩定雙曲函數趨近律狀態方程[16]

(3)

其中，α,k>0。

對于式(3)，若滿足Lipchitz條件，則系統在奇點η=0處是全局漸近穩定的。

證明：爬壁機器人運動控制系統為連續時間非線性時變系統，則討論此條件下的Lyapunov意義下的穩定性。

(1)V為正定；

則系統原點平衡狀態在原點漸近穩定。

(4)

對式(4)求導得到

(5)

根據上述定理啟發，取上述狀態量“x”為位置誤差，設其滿足Lipchitz條件，定義滑模切換面，根據反步法設計控制律，使系統漸近穩定，并實現所有位置狀態量有界并跟蹤期望軌跡。

定義滑模切換函數為軌跡的偏差量：ex=x-xd,ey=y-yd， 對其求導可得

(6)

(7)

建立好位置誤差微分方程之后需要設計合適的控制輸入v，作用于位置誤差微分方程(6)、方程(7)，最終使得使得ex,ey有界或者趨于0。

為了方便設計控制率，這里令

(8)

則位置誤差微分方程轉化為

(9)

設計控制率為

(10)

其中，α1>0,k1>0,α2>0,k2>0。

由式(9)、式(10)可得

(11)

(12)

對于式(11)，設存在ex1、ex2， 則由Lipchitz條件定義

(13)

由以上分析可見，雙曲函數趨近律可得位置控制系統漸近穩定且ex,ey可以趨近于0。

(14)

將位置控制產生的θd傳遞給內環控制器，通過設計姿態控制率ω來保證θ跟蹤θd。

至此，位置控制率設計完成，由式(8)、式(10)得

(15)

或

(16)

下面需要進行內環姿態控制率的設計來使得θ跟蹤θd。

3.2 內環姿態控制率設計

(17)

由于角度跟蹤需要快速跟蹤期望航向角，以保證爬壁機器人在到達指定位置前首先調整好角度，所以本文根據高為炳院士提出的趨近律設計控制率[18]

(18)

證明：不是一般性，令f(s)=k3s3，s=s3，η=α3， 則

(19)

設Lyapunov函數為

(20)

滿足Lyapunov全局漸進穩定性定理條件(1)，對式(20)兩邊同時求導得

(21)

基于此，利用反步法將式(17)代入式(19)可得控內環控制率為

(22)

式中：k3為常數且大于0；α3表示切換函數s3趨近于0的速率，反映著糾偏能力的強弱，其為常數且大于0。在設計時，不能將α3調的過大，這樣容易造成抖動。

至此，姿態控制率設計完成，綜上述各式，系統的控制律為

(23)

3.3 閉環系統穩定性分析

根據式(13)的分析可得外環系統滿足Lipchitz條件，所以，對于有界控制率輸入v或者u1、u2，可保證xe、ye在有限時間內有界并收斂。基于此條件下，可對雙閉環系統的全局漸進穩定性進行驗證。

設雙閉環系統的Lyapunov函數為

(24)

式中：α1>0，α2>0，k1>0，k2>0。

由式(24)可知，Lyapunov函數V滿足全局漸進穩定判據(1)(2)，求V的一階導數得

(25)

考慮到航向角誤差的影響，不能將式(11)、式(12)直接代入。對式(2)中各狀態量做如下變換

(26)

在位置控制率設計時以θ隨動控制，所以替換上式中vcosθd與vsinθd為u1、u2并代入，于是可得到位置誤差狀態方程如下

(27)

為簡化計算，令α1tanh(k1xe)=t1，v(cosθ-cosθd)=t2，α2tanh(k2ye)=t3，v(sinθ-sinθd)=t4代入式(27)，再代入式(25)，得

(28)

(29)

(30)

根據三角函數不等式的性質 |sinx|≤x， 則式(29)、式(30)可變換為

(31)

(32)

因為θe指數收斂，所以 |cosθ-cosθd|、 |sinθ-sinθd| 均指數收斂，所以由式(31)、式(32)可得

(33)

(34)

所以，可以判斷

(35)

所以可得

(36)

所以可得

(37)

至此，位置控制器與姿態控制器設計完成并已證明運動學跟蹤控制器雙閉環系統的全局漸進穩定性。下面通過仿真來驗證所設計的算法的可靠性與高效性。

4 仿真驗證

將爬壁機器人的作業環境設為大型油罐體表面，其自身重量設為105 kg，輪部半徑較小設為0.05 m，以直線跟蹤為參考，調整路徑跟蹤控制器參數見表1。

表1 路徑跟蹤控制器參數

以直線路徑作為參照，取參考起始位置[xd(0)yd(0)θd(0)]=[0 0 0]， 取爬壁機器人的起始位置 [x(0)y(0)θ(0)]=[-6 5 0]， 令xd=t，yd=xd。 與未改進的位置滑模趨近律作比較，如圖3～圖5所示。

圖3中圖(a)為一次線性函數趨近律跟蹤直線仿真圖；圖(b)為雙曲函數趨近律跟蹤直線仿真圖。從圖中可以得出，相比一次線性函數趨近律，改進后的趨近律可以響應速度較快，并用較短的時間內跟蹤直線軌跡，且跟蹤過程平穩，所以雙曲函數趨近律可以大幅提高爬壁機器人的響應速度，提高控制精度。

圖3 直線跟蹤仿真

圖4中圖(a)為一次線性函數趨近律實現對x、y以及θ的跟蹤仿真圖；圖(b)中是雙曲函數趨近律對x、y以及θ的跟蹤仿真。圖4(a)中現實，xd在一次線性趨近律的收斂時間需要7 s，而改進后的趨近律2 s收斂；yd在一次線性趨近律收斂時長同樣也需要7 s，但雙曲函數趨近律收斂時間僅需要3 s；偏航角的θ的跟蹤由于是隨動跟蹤，收斂時間相差較小。所以，改進后的雙曲趨近律比目前使用的一次線性趨近律有著明顯的性能提升，對于現場需要緊急救援等工作起到了關鍵作用。

圖4 位置、角度的跟蹤

圖5 控制輸入信號v和ω

如圖5中所示，爬壁機器人剛開始的位置即初始狀態和初始期望位置存在誤差，所以仿真曲線波動明顯，然后逐漸趨于穩定，相較于未改進的滑模控制算法圖(a)，基于全局穩定的雙環滑模控制圖(b)的v和ω能夠在更短時間內達到期望狀態并且波動較小，系統控制輸入量ω穩定速度相當，但v在5 s后基本保持不變，而未改進的滑模控制算法則需要10 s左右，改進后控制更加穩定。

綜上仿真分析，本文利用改進的雙曲趨近律設計的滑模控制律可有效提升爬壁機器人的響應，對于現場一些特殊緊集情況的使用具有較好的效果。

5 結束語

針對爬壁機器人路徑跟蹤控制，考慮到爬壁機器人快速跟蹤預定軌跡，本文改進了以便趨近律提出雙曲函數趨近律，結合Lyapunov穩定性利用反步法設計控制律，主要包含以下找工作：

(1)基于作業面坐標系與爬壁機器人本體坐標系，建立運動學方程；

(2)為保證對軌跡跟蹤的精度，設計了雙環軌跡跟蹤控制系統工作圖；

(3)根據控制系統結構，為解決依賴控制增益保證系統內部穩定的難題，本文提出用雙曲函數趨近律代替一次函數的方法，驗證了雙曲函數趨近律穩定性的基礎上，對位置內環控制率進行設計，提高了位置跟蹤的準確性與快速性；為保證航向角能先于位置收斂以保證跟蹤精度，采用高為炳教授提出的趨近律設計角速度控制率。對整個雙環控制系統進行穩定性分析，結果滿足Lyapunov全局漸進穩定，并保證了誤差的收斂性；

(4)對改進的基于全局漸近穩定的雙環跟蹤滑模控制算法與未改進的雙環滑模控制算法進行了比較仿真，改進后的控制律跟蹤效更好，能很快糾正系統誤差，響應速度更快更準確，有效提升爬壁機器人對路徑的準確性與快速性。

綜上，基于運動學的控制律設計為爬壁機器人的動力學建模及設計控制器做好了準備，搭好了整個運動控制系統的設計框架，下面只需要根據動力學模型將輸出力矩的控制參數追蹤本文設計的v,ω以實現追蹤。