變轉動慣量的剛體轉動問題分析*

邢 杰 張自力 趙長春 郝會穎

[中國地質大學(北京)數理學院 北京 100083]

1 變轉動慣量問題的提出

唐軍杰等人之前研究過變轉動慣量剛體定軸轉動的實驗研究和數值模擬，在他們的實驗中，轉動慣量的變化都是因為附加機構質量或質量的分布發生改變引起的[1,2].其實，在最簡單的兩剛體系統中，轉動慣量就已經在變化了，如例1所示.

【例1】一定滑輪固定于O點，定滑輪可以看成是一個質量均勻分布的圓盤，圓盤半徑為R，質量為m1.繩子一端固定并繞在輪軸上，另一端掛一質量為m2的物體，自然下垂.繩子的長度不變，質量不計，繩與滑輪之間無相對滑動，求滑輪轉動的角加速度.

在這個問題中，一般參考書的解法有兩種，第一種：隔離法，第二種：整體法.我們先給出這兩種方法.

隔離法：將滑輪m1和物體m2分別做受力分析，然后列動力學方程.對m1來說，滑輪做定軸轉動，利用轉動定律M=Jm1α，得到

TR=Jm1α

(1)

對于m2，可以看成質點，在本身重力和向上的拉力作用下做豎直向下的直線運動.利用牛頓定律，有

m2g-T′=m2a(T=T′)

(2)

再根據運動學關系

a=Rα

(3)

式(1)～(3)聯立，可以求出角加速度

整體法：將m1和m2看成一個整體，這個系統所受的合外力矩是m2gR，它們在外力矩的作用下做定軸轉動，根據M=J總α，這里轉動慣量

(4)

代入后，可得

這個結果和隔離法的結果一致.

2 等效轉動慣量的證明與結論

整體法的處理方法在一些剛體的輪軸問題中經常能看到[1～4]，但是仔細考察后發現式(4)中m2的轉動慣量并不好理解.在整個運動過程中，m2相對于轉軸的位置總在變化，為什么可以等效成m2R2這一常量表達呢？為了解釋清楚這個問題，我們畫了圖2.

圖2 轉動慣量分析

這個復合體系中有兩個剛體，其中一個剛體m2相對于轉軸的位置不斷隨時間變化，因此我們把總角動量L寫成兩部分，即

L=Jm1ω1+Jm2ω2

(5)

其中圓盤m1的轉動慣量Jm1是一個常數，其余參量(ω1，Jm2，ω2)都是時間的函數，于是有

(6)

根據圖2和運動學關系，可以得到m2的轉動慣量Jm2和角速度ω2

(7)

(8)

這里v表示m2的運動速度，將式(7)和式(8)代入式(6)中，有

(9)

(10)

以上是從物理學角度導出了例1這一典型運動模型的運動特點和規律，式(10)與定軸轉動剛體的轉動定律M=Jα比較可得以下結論：

圖1 滑輪定軸轉動

在普通物理學課程中，一般不定義也不講解“等效轉動慣量”的概念，而在機械原理和機電一體化專業課程中，嚴格定義講解了“等效轉動慣量”的概念并用于機電工程設計中[5].其中“等效轉動慣量”定義的實質和規則是：一個由若干個移動(平動)部件和轉動部件構成的系統，其各部件動能之和等于一個等效的定軸轉動剛體的轉動動能，這個剛體的轉動慣量即為等效轉動慣量.

按照以上定義和規則，可求出圖1所示重物滑輪系統的等效轉動慣量，過程為

即有

這就從不同學科的角度證明了“等效轉動慣量”概念的正確性和合理性.

3 結束語

有些教材和文獻直接用公式M=(Jm1+m2R2)α來進行動力學計算，而且未對式中m2R2做任何注釋[1,2,4]，這樣很容易讓學生誤讀，學生以為Jm1+m2R2就是剛體系定軸轉動的實際總轉動慣量，而且總轉動慣量是不變的.甚至一些教師也這樣認為.筆者翻看了近幾年的大學物理教材，一些教材在處理這類輪軸問題時，仍然采用隔離法求解，很少用等效的方法[6～8]，可能也是怕引起誤解.