基于三種最優控制方法的磁懸浮球軌跡跟蹤方法

陳興賢 余偉

摘要：詳細介紹了磁懸浮球系統的結構和工作原理，提出了磁懸浮球系統的物理模型和數學模型，并以此為依據分析系統的穩定性及控制方案的選擇，最后在MATLAB/Simulink環境下建立了系統仿真模型以研究控制系統的軌跡跟蹤及輸入信號的性能指標。為了實現對磁懸浮球系統的快速，精準，穩定的軌跡跟蹤控制，提出了基于三種不同控制方法設計一種為基于狀態反饋的極點配置和兩種PID最優控制模型，以實現對軌跡跟蹤穩定更加完美的實現，并通過仿真實驗分析對比幾種控制器的性能指標，進而對整體控制方案設計給予合理性建議。實驗表明，三種控制方法雖然在控制方向和目的上各有偏頗，但是都可以穩定實現控制目標，而且都可以通過對控制器的相關指標改變系統的穩定性指標。

關鍵詞：磁懸浮球系統;最優控制;極點配置;Simulink仿真

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）22-0010-04

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

磁懸浮技術是集電磁學、控制工程、信號處理、機械學、動力學等多門學科于一體的新型高科技技術。磁懸浮技術因其無接觸、無摩擦等特點而具有能耗低、污染小、噪聲小等優點，因此在各領域被廣泛應用。

本文就基于磁懸浮球系統本身的不穩定性出發，研究非線性不穩定系統實現跟蹤目的研究的一般方法。首先，從極點配置理論出發，通過狀態反饋器設計實現極點的任意配置，從而達到系統穩定性要求。接著，從控制目標的角度研究極點的選擇，即提出最優控制方法。進而采用誤差指標最小化函數進行最優控制結合極點配置思想使系統穩定的前提下提出兩種最優控制模型，實現系統的軌跡跟蹤控制目標。最后通過MAT-LAB提供的實驗模擬仿真實驗對控制效果進行模擬仿真，通過對比提出關于磁懸浮球跟蹤系統的最優控制方案。

1 磁懸浮球系統工作原理

如圖1所示為磁懸浮球控制系統的基本控制流程圖模型。

由于磁懸浮球控制系統本身的不穩定，使得閉環控制成為必然。上述實驗裝置是通過傳感器實時獲取小球位置信號x（t），接著，通過感受x{t）的變化來指導控制器產生控制信號u，然后，驅動器會跟蹤感受到的控制信號u實時控制其產生的控制繞組產生所需電流i（t），進而以此來控制電磁鐵產生電磁力的大小。當系統受到擾動信號，比如，當小球受到干擾向下偏離目標運動軌跡時，位置信號x（t）會跟著實時變化增大，與此同時傳感器傳遞給控制器的信號增大，使其輸出信號u增大。隨著控制信號u的變化，驅動器跟著變化，處理后控制電流變化，進而指導繞組產生更大的電磁力，最后小球被吸回平衡位置，此時小球又會回到控制目標。如此反復從而形成一個閉環控制流程。

本文將以小球位移x（t）為輸出，電壓u為輸入進行控制設計。

2 磁懸浮球控制系統的一般物理模型的建立

本文選取其中一種磁懸浮小球控制系統的系統空間模型進行控制器的設計。

選取的空間狀態模型為：

3 線性控制器設計

由于磁懸浮球系統本身的不穩定性，首先提出極點配置控制思想，設計控制器使系統穩定。進而分析此時的磁懸浮球系統是否可以完成軌跡的跟蹤的目的。

不僅如此，本文還基于軌跡跟蹤目標的實現，在系統穩定的前提下，設計誤差最優化函數，提出最優PID控制器。

3.1 極點配置控制

已知狀態空間模型，設計狀態負反饋，控制輸入為：

為了驗證系統極點分布對系統動態特性的影響，可在MATLAB/Simulink中建立模型來進行模擬仿真實驗。

3.2 最優PID控制一基于ISE，ITAE控制的最優PID控制器

經上述分析可知，對于軌跡跟蹤問題，僅僅是控制系統的穩定性控制顯然不足以描述跟蹤全貌。軌跡跟蹤的核心研究應該是控制軌跡與目標軌跡的貼合度，即誤差控制?；谧顑灴刂扑枷耄顑灴刂瓶梢允管壽E跟蹤系統按照控制跟蹤誤差最小化的目標要求進行最優化控制，在控制系統穩定的前提下，提出基于ISE，ITAE控制方法的最優PID控制器。

最優PID控制器的傳遞函數為：

式中，Kp為比例系數;Ki為積分系數;Kd為微分系數。

PID控制器則是集中體現比例，積分，微分控制器的優點，所以用于設計最優控制器十分合適。

ISE控制選用性能指標為動態誤差信號的積分指標為：

即ISE為同等時間處理各個時刻的誤差。

所以，ISE控制思想為在系統穩定前提下尋求控制軌跡跟蹤的誤差最小化，即軌跡跟蹤的貼合度最大化。

ITAE控制器選用性能指標為動態誤差信號的積分指標

則ITAE對時間加權，時間t大，會迫使誤差降下來。其余設計與上述ISE控制器設計類似。

所以，lTAE控制器設計目標與ISE控制器目標一致，都是求跟蹤軌跡的最優曲線。具體計算可以借助MATLAB強大的計算功能進行最優PID控制器三個參數的計算。進而，設計Simulink仿真模型。

最優PID控制的伺服控制框圖如圖2所示。

其中G（s）為已經經過極點配置的穩定的磁懸浮球控制系統的傳遞函數;Gc（s）為最優控制器傳遞函數，控制器描述為

4 仿真實驗

4.1 極點配置法

Simulink中的仿真模塊圖為圖3所示。圖4為極點配置在-10，-10使，若初始時刻系統存在幅值為5的擾動時系統想響應曲線。由響應曲線可知，經過極點配置系統的運行可以保持穩定，即極點配置的目的達到。圖5為極點配置在-10，一10;-20，-20時對應的階躍響應曲線，由圖可知，兩條曲線都可以達到穩定系統的效果，但是都不能很好跟蹤目標曲線。

4.2 ISE控制器與ITAE控制器

圖6為最優PID控制器對應的系統的仿真結構圖。兩種最優PID控制的實驗將選取極點配置在-20，-20時的穩定系統進行調節，跟蹤，觀察，控制，且其實驗數據記錄于圖2。

Simulink仿真結構如圖7所示。

其中，Matlab中程序設計為：

ISE指標：（K4為極點配置在-20， -20時的穩定系統）

1），函數

function y=c7fOpt（x，s，G，t）

Gc=x（1）+x（2ys+x（3）*s;E=1/（ I+G*Gc）;

yO=step（E，t）;y=sum（y0.^2）*（t（2）-t（l》;

2）matlab工作空間

s=tf（‘s）;

>> G=tf（ss（A-B*K4，B，C，D》

>> t=0：0.02：30;x=fminunc（@c7fOpt，[l，l，l]，optimset，s，G，t）

ITAE性質指標：

function y=c7fOpt2（x，s，G，t）

Cc=x（l）+x（2ys+x（3）*s;E=1/（I+G*Gc）;

yO=step（E，t）;y=t8abs（y0）8（t（2）一t（1））;

工作空間：

x=fminunc（@c7fOpt2，[1，1，1]，optimset，s，GJ）

4.3 軌跡跟蹤控制對比

由響應曲線圖，圖8，圖9可知，極點配置方法通過改變特征值（即開環極點）可以使系統穩定，但是在軌跡跟蹤上始終存在設計誤差;而最優PID控制器在極點配置的思路上進行誤差最小化處理，即在系統穩定跟蹤的基礎上更加貼合目標軌跡，使控制系統更加接近控制目標。

從圖8也可以看出，進行極點配置可使系統達到穩定狀態，但是都沒能實現軌跡跟蹤的目的;與此同時選擇不同的最優控制性能指標，都可以在系統實現穩定跟蹤的基礎上通過對系統誤差的調節實現穩態精度的提升，但是其最終系統響應的穩定誤差范圍在選擇不同控制函數的選擇上也有所不同。可以看到，在ISE指標控制設計下，響應曲線存在毛刺，而在ITAE指標控制設計下，軌跡跟蹤目標可以相對完整地體現出來。

5 總結

本文首先通過對磁懸浮球控制系統的狀態空間模型進行簡單分析，得知磁懸浮球控制系統本身存在極點位于復平面右半平面的情況，根據系統穩定性判據可知系統不穩定。

一開始，對系統進行可控性分析得知磁懸浮小球系統完全可控，利用極點配置思想，使不穩定的磁懸浮球系統通過設計系統不穩定的極點移動到指定位置（即復平面左半平面），使其穩定。此時分析系統是否可以達到軌跡跟蹤的目標，發現極點配置可以使系統穩定，但是軌跡跟蹤的誤差非常大。

緊接著，在控制方法角度切換，結合極點配置思想和最優控制思想，提出最優PID控制器。并設計出兩種最優誤差控制函數-ISE，ITAE。進而通過在MATLAB中設計計算算法，實現最優PID控制器的相應指標。

最后，本文采用軟件Simulink進行實驗仿真得到不同參數下的輸出響應，進而進行了相關數據分析。試驗表明，兩種控制方法雖然在設計的目的和方向上存在差異，但是都可以實現系統的穩定控制。

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【通聯編輯：唐一東】

基金項目：國家基金項目編號：61803086

作者簡介：陳興賢（1998-），女，本科生，主要研究方向：電氣工程及其自動化;通訊聯系人：余偉（1983-），男，講師，主要研究方向：系統建模和智能控制算法。