車輛由靜止到安全通行紅綠燈問題探究

陳格爾 房天啟

摘 要：紅綠燈用以將道路通行權指定給車輛駕駛人與行人，管制其行止及轉向之交通管制設施。設于交岔路口或其他必經地點。在堵塞路段，司機在通過裝有紅綠燈的路段時，會根據自己對所駕駛車輛穿過紅路燈時間的估測，比較變燈時間，估計是否可穿行馬路，但由于對紅綠燈機制的不了解和錯誤的時間估計，常出現闖紅燈，黃燈不減速等問題，從而引發交通事故。為了使司機能正確估測自己在交通燈變換前能否安全通過。本文建模過程根據實際情況，考慮諸如道路車輛啟動速度，車輛行駛速度、車輛之間安全距離、紅綠燈變化時間、路段長度，路段限速等相關問題，對這些因素進行了數據收集，利用數學方法進行了分析，得出了車輛安全通過紅綠燈時間的規律及其擬合方程。

關鍵詞：紅綠燈問題;建立模型;模型優化;擬合方程

司機在通過紅綠燈路段時，會根據紅綠燈變化的規律估計自己能否安全通行，如果司機對自己車輛安全通行時間估計錯誤，容易違反交規，造成交通事故。在日常生活中我們知道紅綠燈的表示如下：

綠燈亮時，準許車輛通行，但轉彎的車輛不得妨礙被放行的直行車輛、行人通行;黃燈亮時，已越過停止線的車輛可以繼續通行;紅燈亮時，禁止車輛通行。

根據其工作原理我們可以知道[1]，在紅綠燈前首先司機會看到黃燈，黃燈亮后變成紅燈，紅燈亮后，沒有通過停止線的車輛則要停止，行人此時過馬路。此后再變綠燈，以此循環。

一、建立模型

我們根據實際情況提出了研究的問題：

一輛車位于堵塞的路段之中，前方路口紅綠燈為紅燈，這輛車的前面還有n輛車在等待變燈，每輛車之間保持安全距離，在變燈后，所有的車將以相同的加速度啟動車輛，并保持加速度不變行駛。若啟動前，司機會有一段反應時間T1，排在最前面的車的司機對紅綠燈變化做出反應，后面的司機依此對前面的車的啟動做出反應，求這輛車是否能安全通過紅綠燈，通過的時間為多長？（注意考慮道路限行速度）

二、模型的假設

1、假設公路路面行駛順暢，所有車輛長度恒定，車距相等;

2、假設司機的反應時間相同;

3、假設車輛啟動速度相同。

4、假設紅綠燈在相同時間段內變化時間相同

5、車輛行駛所受環境因素的阻力不計

6、全部的車輛車型相同

符號說明：

A為車輛由靜止啟動加速度（m/s）

V為車輛達到限速后勻速行駛的速度（m/s）

t為紅綠燈的變燈時間周期（s）

T1為司機反應時間（s）

m為兩車間安全車距范圍最小值（m）

n為司機所駕駛車輛啟動前，紅綠燈和該車輛之間的等待車輛數（個）

d為車身長度（m）

T2，T3為不同條件下的汽車行駛時間（s）

X1，X2，X3，X4為不同條件下的汽車行駛位移（m）

三、模型求解

根據情景分析：在堵塞的路段，車輛緊密排列，各個車輛間保持安全行駛距離。紅綠燈變化后，排在第一位的車輛司機率先發生反應，啟動車輛，后面的司機看到前方車啟動后，依次進行反應并啟動車輛，使車輛進行勻加速運動，若路段有限速，則到達限速后，車輛保持勻速行駛。則車輛過燈行駛的時間，可分為兩部分：

（1）等待時間（等待前方車輛的啟動時間，司機的反應時間）

（2）行駛時間（車輛以恒定加速度啟動并行駛，到達最大行駛速度后勻速行駛）

首先分析等待時間：

變燈后第一輛車的司機將先進行反應，消耗時間T1，然后啟動汽車，后面的司機看到前方車輛啟動，進行反應，消耗時間T1，再進行車輛啟動，依次類推。則易得出，司機的等待時間為nT1。

再分析行駛時間，若該道路沒有限速，則車倆將一直勻加速向前行駛，根據物理學公式推導車輛安全過燈所經過的距離為：前方等待車輛數n乘以單個車輛長度m再加上每個車輛間的安全距

離n，即為X=dn+m（n-1）則通過該路段的時間為

在不限速（或行駛到紅綠燈前速度未達到限速）的情況下，

車輛過燈的時間為：

因此，當T≤t，即：時，司機可駕駛

車輛安全過燈，安全過燈的時間為

四、優化模型

為了更加貼合實際，除了車輛限速，還應多加考慮追尾問題，倘若前方車輛已經達到限速開始勻速行駛，而后方車輛還在加速運動，兩車就會有追尾的風險，為了避免這種情況的發生，需考慮前后兩車的位移情況X3，X4，若會發生追尾事件，則在后面的車達到最大限速度開始勻速運動時，兩車位移X4>X3，為了避免追尾，后車的位移應當小于前車位移，并且兩車應保持安全距離m。所以，應該讓前面的車先行駛X4-X3+m的距離后，后面的車再開始啟動進行加速，達到避免追尾的安全行駛狀態，可列出方

程：①②③

聯立①②③可得，當時，司機可駕駛車輛安

全過燈，過燈時間為，此問題得解。

五、數據記錄及帶入求解

根據實地考察和對某兩不同路口高峰期交通燈的變燈時間進行了的記錄和收集，紅綠燈變化周期約為30秒，可根據此數據確定上文中t的值，通過查閱文獻[2，3]：

小轎車車長約為4米，中型車約為5米，貨車約為13米，可根據不同情況確定上文中davg值為5.人對簡單事物的反應時間約為1秒，既為T1=1;車輛之間安全距離約為1.5～2.5米，所以上文中m的值為2米;車輛加速度約為1m/s2，既為A=1;交叉路口限速約為

40km/h，即V=10;將數據據帶入，既t=30，d=5，

T1=1，m=2，A=1，V=10，

六、結論

在該理想模型下，位于堵塞路段的車輛，根據自身所處位置距路口的距離之間的車輛數n估算自己下次變燈安全通行路口的所

用時間為，當所用時間小于等于紅綠燈時間時，可安

全過燈。

帶入實際數據，可知，在紅綠燈變化周期為30秒，限速為40KM/h的路口，自身所處位置距路口的距離之間的車輛數小于等于14時，可安全過燈。

七、關于模型應用推廣的分析

若能根據改進和完善后的模型，整理出有關數據，作為學習內容加入駕校課程，以后司機在堵塞路段行駛時，就可以根據估計自身與路口距離，紅綠燈變化時間，估計自己是否能安全過燈通行，避免交通事故的發生。

參考文獻

[1]段里仁，道路交通自動控制，中國人民公安大學出版社

[2]姜啟源，謝金星，葉俊，數學建模，高等教育出版社，2003

[3]楊樹祺，道路交通常用數據手冊，中國建筑工業出版社，2002.11