撓性航天器剛性-柔性耦合系統動力學建模研究

張恒浩，劉 濤，劉 焱，曾 潔，張雨佳

（1. 中國運載火箭技術研究院研究發展中心，北京，100076；2. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076；3. 首都航天機械有限公司，北京，100076；4. 中國航天系統科學與工程研究院，北京，100048）

0 引 言

在早期的航天器發展過程中，剛體動力學模型能夠準確反應航天器的動力學特征[1,2]。但是隨著航天技術的快速發展，航天器種類越來越多，而且航天器根據任務要求搭載的撓性附加載荷種類和數量也越來越多（例如太陽能帆板、空間機械臂、大尺寸柔性天線等）[3～7]。當航天器進行大范圍、大角度姿態的運動時，運動過程中航天器攜帶的柔性附加載荷產生的彈性變形效果開始影響航天器運動，同時開始和航天器剛性體本身產生耦合干擾[8,9]。傳統的航天器動力學模型采用零階動力學近似模型，在設計過程中忽略了大運動過程中航天器剛性-柔性耦合干擾和撓性部件彈性變形[10]。但是航天器在進行大范圍、大角度機動時，特別是在高速運動中，表現出來的動力學真實情況與附加載荷的變形及剛性-柔性耦合干擾有很大關系[11～14]。1987 年，Kane 提出了動力學剛化概念，自此，許多學者開始研究動力學剛化問題并分析研究相應的動力學模型。引入動力學剛化并研究分析剛性-柔性耦合特性的動力學運動模型具有非常重要的工程應用意義[15]。

現階段，引入動力學剛化分析的撓性航天器剛性-柔性耦合系統組合體的動力學模型研究有2 個關鍵點需要考慮：

a）動力學建模應考慮剛體運動特性和柔性部件變形影響，并分析這二者之間的耦合干擾作用；

b）動力學剛化特征應包含在動力學模型中。

因此綜上所述，撓性航天器剛性-柔性耦合系統的動力學系統研究主要存在如下難點：

a）動力學耦合系統的方程階數太高，并且建模過程太過復雜，不利于數學計算；

b）處理動力學剛化問題時，不僅需要通過撓性部件橫截面的變形場高階擴展項獲得動力學剛化項，還需要從物理原理的理論上說明產生動力學剛化的原因[16]。

針對上述研究難點，本文首先建立一個撓性航天器剛性-柔性耦合的動力學模型，該模型由中心剛體和撓性梁2 個子系統組成，中心剛體子模型采用材料力學定理進行連續動力學建模；撓性梁子模型采用角動量定理進行連續動力學建模。然后通過撓性梁固有振蕩約束模態的正交化理論建立整體的空間立體狀態模型。最后通過仿真驗證本文提出的航天器剛性-柔性耦合動力學模型。仿真結果表明，考慮動力學剛化的一階模型能夠準確顯示出撓性航天器大范圍運動的動力學特征。具有清晰的建模思路、簡練的數學表示和很好的集中收斂性。

1 非慣性坐標系下連續動力學建模

1.1 剛體撓性耦合物理模型

剛體撓性耦合物理模型如圖1 所示。這一模型可以對大型附加載荷的航天器進行建模，由一個中心剛性體和一根撓性梁組成，撓性梁連接在中心剛性體上。研究過程中設撓性梁具備Eulor-Bernoulli 特點，在空間工作時變形和應力應變較小。并且認為撓性梁的組成材料密度均勻，且梁內各個方向受力性能相同。

圖1 剛體撓性耦合物理模型Fig.1 Rigid Physical Model with Flexible Coupling

圖1 中， OIXIYI以中心剛性體的中心點為原點，OXY 建立在撓性梁上，撓性曲線 y =y （ x ,t）表述撓性梁的橫向變形運動。

1.2 基于結構力學的撓性梁建模

航天器在做大范圍、全姿態運動時，運動過程中撓性梁的變形過程如圖2 所示。

圖2 撓性梁在航天器大范圍全姿態運動過程中的變形示意Fig.2 Beam’s Transform with Aero-craft’s Large-scale Motion

由圖2 可知，航天器在大范圍運動過程中，移動坐標系OXY 是1 個非慣性坐標系。所以撓性梁橫向振動的動力學特性建模研究的目的是解決在非慣性坐標系下的經典物理力學問題。通過結構力學分析可知，撓性梁的橫向振動由梁自身從外部攜帶的分布載荷決定，這些載荷垂直安裝在撓性梁上。撓性梁的橫向振動動力學方程如式（1）所示：

式中 q （ x ,t ）為垂直安裝在撓性梁上的載荷對梁施加的作用力；ρb為梁的密度；E 為梁的楊氏彈性系數；I為梁的橫截面的旋轉慣量。

如圖2 所示，考慮在梁上任意位置M 上不同的質量元素 ρbdx的影響。設位置M 的坐標是 M （ x , y （ x ,t ）），位置N 的橫坐標是 N （ x ,0）。OIM 的瞬時長度如式（2）所示。

在運動過程中，中心剛性體會將慣性力施加到撓性梁上。假設撓性梁上的質量單元瞬間運動沿虛線nn的方向。通過理論計算可知，科氏作用力將會分布在虛線tt 的方向上。由于科氏作用力的方向在垂直于撓性梁施加作用力的方向上分量為零，因此科氏作用力不會引起梁的橫向振動，即對梁產生橫向振動的力只有離心慣性力 q1（ x, t ）和切向慣性力 q2（ x ,t ），計算方程組如式（3）所示。

將式（3）代入式（1），外部垂直安裝的分布載荷在撓性梁上的作用力如式（4）所示：

假設存在極小的位移誤差和角度誤差，根據圖2所示的幾何力學關系對梁進行受力分析。為保證工程應用，將三角函數的二階解算項忽略。外部垂直安裝的分布載荷在撓性梁上的作用力的計算如式（5）所示。

將式（5）代入式（1）中，可到撓性梁在大范圍機動條件下的連續動力學模型，如式（6）所示。

1.3 基于角動量理論的中心剛性體建模

中心剛性體在進行姿態運動時，所引起的外加作用力如圖3 所示。

圖3 中心剛性體外加作用力示意Fig.3 Forces and Torques in Addition on Hub

在分析撓性梁振動過程中，必須考慮慣性負載的影響，慣性負載是分布搭載載荷的一部分，用表示，考慮慣性負載的分布載荷作用力垂直作用于撓性梁時，其計算如式（7）所示。

撓性梁上分布的剪切力 Fs（ x ,t ）和瞬間力矩 M（ x ,t）的計算如式（8）所示。

聯立式（7）和式（8），得到中心剛性體的連續動力學模型表達式，計算過程如式（9）所示。

2 基于正交理論的離散動力學建模

用于近似描述撓性梁的橫向振動變形采用展開的N 階正交方程式，計算如式（10）所示。

式中 φi( x)表示第i階正交約束模態； qi(t )表示對應的模態坐標信息。撓性梁的正交約束模態的細化計算如式（11）所示。

通過式（11）計算，得到撓性梁在有限空間的動力學方程：

式（12）中，參數q、NΛ 、DN和HN的計算通過式（13）～（16）得到。

在式（12）中，撓性梁的剛性矩陣的表達式為ΛN+ （）2( DN-I )。當中心剛性體的旋轉角速度發生變化時，表示撓性梁剛性矩陣計算的表達式也會發生變化，若只考慮變量參數 - （）2I ，則撓性梁剛性矩陣的計算表達式可以表述為 ΛN-（）2I，且可能發生動力學軟化現象，當中心剛性體旋轉時的角速度達到某一數值時，剛性矩陣開始出現負定現象，這將導致仿真計算出現誤差。當全面考慮參數項（）2( DN- I )的影響時，撓性梁剛性矩陣的計算表達式表述才為 ΛN+ （）2( DN-I )，參數項（）2DN可使撓性梁的剛性矩陣具有正定性，可使仿真計算在大范圍機動條件下保持收斂性。

因此上述分析即為動力學剛化現象發生的理論分析。兩種情況經常出現在動力學的零階模型和一階模型的分析過程中。通過上述分析，中心剛性體的有限元動力學方程為

由式（12）～（18）組成撓性航天器在N 維空間的耦合動力學模型，考慮動力學剛化影響，這種耦合動力學模型能夠很好地滿足航天器剛性-柔性耦合組合體的大范圍機動要求。整個航天器系統的狀態空間方程為

式中 IAN為中心剛體在浮動坐標系下轉動慣量；DHR為慣量轉動矩陣；HJ為Heaviside 脈沖函數矩陣；jhh為坐標系間轉動慣量轉換向量；RHD為施加力；HA為施加力矩。

各個參數的計算方程為

式（19）是撓性航天器剛性-柔性耦合系統在N 維空間中建立的動力學方程。當考慮動力學剛化影響時，變量參數˙θ 和q 會相互影響。撓性航天器的動力學模型從一維線性系統向非線性系統轉變，因此控制系統在工作時應針對非線性特點進行相應調整控制。

3 仿真驗證

為驗證本文提出的撓性航天器剛性-柔性耦合系統的動力學模型的有效性，需要通過以下2 個方面進行仿真驗證：

a）在航天器做已知的大范圍機動過程中，采用本文模型對其引起的動力學剛化效果進行驗證。

b）在航天器做未知的大范圍機動過程中，分析本文一階動力學模型在剛化影響下的收斂性。

3.1 模型動力學剛化效果驗證

根據工程項目要求，設撓性航天器的相關參數為：撓性梁長度8 m，梁的彈性系數為6.8952×1010N/m2，撓性梁與剛性體的連接點面積為7.2968×10-5m2，梁材料密度為2.7667×103kg/m3，梁橫截面的旋轉慣量為8.2190×10-9，中心剛性體的半徑為0.5 m，旋轉慣量為300 kg/m2。已知的航天器大范圍機動數學表述如式（21）所示。

式中mω 為中心剛性體最終運動的角速度。

將中心剛性體的角速度mω 分別設為0.5 rad/s，2 rad/s和4 rad/s，分別在動力學零階模型（Zero-order Dynamic Model，ZDM）和動力學一階模型（First-order Dynamic Model，FDM）中進行仿真驗證，結果如圖4 所示。

圖4 撓性梁頂端橫截面振動Fig.4 Beam’s Tip Transverse Deformation

續圖4

如圖4a 所示，當中心剛性體的角速度為0.5 rad/s時，撓性梁運動時產生的振蕩頻率發生偏移，此時，ZDM 模型的剛性矩陣 ΛN- （）2I 和FDM 模型的剛性矩陣 ΛN+ （）2（ DN-I ）通過剛性矩陣中的參數矩陣ΛN實現正定控制作用。因此ZDM 模型和FDM 模型均可通過控制參數矩陣ΛN實現對撓性梁橫向振動的有效控制。因此兩種模型在仿真過程中能夠很好地對撓性梁的橫向振動進行控制。

如圖4b 所示，當中心剛性體的角速度為2 rad/s時，撓性梁運動時產生的振蕩頻率會接近其自身固有的一階振蕩頻率。此時在ZDM模型的剛性矩陣和FDM模型的剛性矩陣中，參數 - （）2I 和（）2（ DN-I ）開始起正定控制作用，因此ZDM 模型需要通過控制參數- （）2I 實現對撓性梁橫向振動的有效控制，而FDM 模型需要通過控制參數（）2（ DN-I ）實現對撓性梁橫向振動的有效控制。這解釋了ZDM 模型和FDM 模型在仿真計算過程中出現了較大差別。由圖4b 可知，ZDM模型的振蕩誤差要大于FDM 模型，在2 rad/s 的角速度條件下，FDM 模型能夠更好地抑制動力學剛化現象對撓性梁橫向振動的干擾。

如圖4c 所示，當中心剛性體的角速度為4 rad/s時，撓性梁運動時產生的振蕩頻率介于其一階自然振蕩頻率和二階自然振蕩頻率之間。此時，在ZDM 模型的剛性矩陣中，ΛN- （）2I 起負定控制作用，說明ZDM模型已經無法有效控制梁的橫向振動，橫向振動出現發散現象。在FDM 模型中，由于有參數DN能夠實現正定控制，因此FDM 模型的剛性矩陣 ΛN+ （）2（ DN-I）仍然可以在大范圍機動條件下保持矩陣控制的正定性。由圖4c 可知，在角速度4 rad/s 的條件下，FDM模型對撓性梁的橫向振動仍然收斂可控。

綜上分析可知，隨著中心剛性體最大角速度 ωm的增大，ZDM 模型系統的控制能力開始失效。中心剛性體角速度mω 越大，動力學剛化效果越明顯，但即使當中心剛性體的角速度非常大時，FDM 模型仍然能夠通過剛性矩陣有效控制動力學剛化干擾并實現收斂控制，因此FDM 模型系統能夠有效解決動力學剛化現象對整個系統的影響，滿足實際的工程應用要求。

3.2 FDM 模型的收斂控制分析

根據工程項目要求，設撓性航天器的相關參數為：撓性梁長度5 m，梁橫截面的旋轉慣量為1.333×10-8kg/m2，梁材料密度為2.7667×103kg/m3，梁的彈性系數為6.8952×1010N/m2。忽略中心剛性體的外部影響，Jstar為0，b 的值也為0。撓性梁外部轉矩的計算為

式中 tm為工作時間，取2 s； Thmax表示最大轉矩，其數值為50 N?m。

圖5 為撓性梁FDM 模型仿真計算結果。仿真過程中，外部最大轉矩為50 N?m，撓性梁頂端橫截面的最大振幅約為0.42 m。當系統到達穩定狀態時，撓性梁的連續振動振幅約為0.04 m。

圖5 一階模型仿真解算結果Fig.5 The FMD’s Model Simulation Results

續圖5

由圖5 可知，盡管中心剛性體的轉矩數值非常大，FMD 模型通過控制解算得到的梁橫向振幅、角位移及角速度仍會有效收斂。說明FMD 模型對剛性-柔性耦合的動力學系統產生的剛化干擾具有很好的控制性能，能夠較好實現控制收斂性。

4 結 論

本文研究并建立了一種撓性航天器剛性-柔性耦合系統動力學模型。該方法首先將力學理論應用在非慣性坐標系中，然后通過設計2 個子系統全面分析考慮動力學剛化影響下的航天器動力學特征并進行相關控制仿真驗證。在整個模型的設計分析過程中，得到如下研究成果：

a）建立撓性梁分系統動力學模型和中心剛性體動力學模型，并進行簡化處理，使其能夠反映撓性梁柔性變形對航天器的影響。

b）在非慣性坐標系中引入力學理論，將動力學剛化現象與動力學運動有機聯系在一起進行控制分析。

c）提出了一種動力學剛化效果理論分析及控制方法。分析得出航天器系統的動力學剛化問題耦合影響原因并處理方法。