基于頻響比法的多維振動基礎激勵試驗模態分析

張鵬飛，孫 穎，吳家駒，張永亮

（北京強度環境研究所，北京，100076）

0 引 言

結構動力學參數是航天器設計研制中重要的特性參數，可靠的動特性參數一般通過模態試驗來獲得。傳統的模態試驗中，使用力錘或者激振器對試驗件進行力激勵，通過測量激勵力和響應加速度來計算頻響函數，然后使用模態識別算法對頻響函數進行識別得到結構的模態參數，目前該方法得到了廣泛的應用[1]。但這種方法也存在一定不足，如當結構存在明顯非線性時，其動力特性與試驗量級高度相關，傳統模態試驗得到的頻率阻尼特性與真實使用環境下的特性相差很大。

基礎激勵模態試驗方法通過對試驗件施加基礎面激勵形成分布載荷，利用試驗件界面的運動參數識別邊界約束條件下的模態參數。基礎激勵方法實際上是慣性力激振，激振力分布作用于結構，與試件真實使用環境的受力狀態相似，所以從受力形式上來說，基礎激勵方法更符合實際。當結構存在強非線性時，基礎激勵方法可以通過施加真實環境振動得到更加可靠的模態特性。

文獻[2]～[5]闡述了基礎激勵試驗模態分析的方法，并用實例進行了驗證，但都局限于單維振動激勵的情況。產品的實際使用環境一般為多維振動環境。多維振動試驗相對于單維振動試驗，能夠更真實的模擬產品的振動環境，激發出的振動響應更接近產品工作時的狀態。但多維振動環境下結構模態識別面臨新的問題，傳遞函數矩陣的估計需要避免各個自由度之間的相干影響導致的矩陣奇異。

本文深入研究多維振動基礎激勵模態分析試驗方法，針對多維振動基礎激勵傳遞特性數據計算，提出了基于頻響比的傳遞矩陣估計方法，解決了多維振動環境下傳遞矩陣獲取的問題。設計典型試驗對多維振動基礎激勵分析結果和傳統力激勵模態試驗結果進行了對比，重點分析了多維振動基礎激勵模態結果反映出的結構頻率和阻尼的非線性特征。

1 多維振動基礎激勵試驗模態分析原理

運動基礎激勵試驗模態分析的基本原理是，如果以運動基礎作為參考坐標系，那么試驗件受基礎激勵所產生的振動響應，相當于試驗件與基礎的連接界面固支，而結構上每個自由度被施加了一個大小與當地的質量和基礎的振動有關的分布力[6]。

圖1 為多維振動基礎激勵模態試驗示意，試驗件安裝在六自由度試驗臺臺面上。在固定坐標系下，試驗臺面的加速度為，試件響應的加速度為˙，試件與臺面的相對加速度為，它們之間存在如下關系：

式中 G 為轉換矩陣，包含6 列向量，即向量Gk，k=1，2，…，6，表示基礎每個自由度的單位位移所造成的試件剛體位移，向量包含基礎的3 個線運動分量和3 個角運動分量。

圖1 多維振動基礎激勵模態試驗示意Fig.1 Modal Analysis by Means of Multi-axis Base Excitation

基于線性理論和粘性阻尼假設，可以寫出結構的運動微分方程：

式中 M，C，K 分別為試件的質量、阻尼和剛度矩陣。利用式（1）的運動關系可得：

試件相對加速度與基礎振動加速度之間的關系在頻域有：

其中，傳遞率矩陣：

式中rω ，r? ，rψ 分別為第r 階模態頻率、模態阻尼比和振型，而 rm 為模態質量：

從式（5）可以看出，傳遞矩陣T(ω)是由標準的加速度比力的頻響函數矩陣與質量陣M 和轉換陣G 加權的頻響函數和，所以可使用標準的模態估計算法來進行模態參數識別。傳遞矩陣可以從試驗中測量出，從中可以識別出有效載荷邊界約束狀態的模態頻率、阻尼比和振型。如果要獲得模態質量，還需要引入有限元模型的質量矩陣，或者通過在試件與臺面之間串入測力裝置來測量界面力。

2 基于頻響比的傳遞矩陣估計方法

獲得傳遞矩陣T(ω)是進行頻域法模態參數識別的基礎。六自由度基礎激勵一般采用隨機激勵的形式，這種激勵方式更接近試件的實際使用狀態，能夠更準確獲得使用環境中的模態特性。常用的頻響函數估計方法是響應比法[7]。首先在六自由度試驗臺上生成六自由度隨機振動激勵，并采集臺面和試件上測點的響應˙˙u，然后解算出臺面上的六自由度環境 ˙0˙u ，并根據式（1）計算出結構的相對運動˙˙v，那么傳遞率矩陣可直接算出

式中 GV˙˙U˙0(ω )和GU˙˙ 0U ˙˙0(ω )分別為輸入和響應的互譜矩陣以及輸入的自譜矩陣。

矩陣能夠求逆的前提是矩陣 GU˙˙ 0U ˙˙0(ω )是正則矩陣，然而一般情況下，由于隨機振動在結構傳遞的過程中相關性增強，即使將激振器的驅動信號設置為獨立隨機，六自由度激振系統加載臺面的6 個振動方向也存在一定程度的耦合，例如加載臺面的平動經常與轉動相耦合。當六自由度振動輸入之間不是完全線性獨立時，矩陣 GU˙ 0U ˙˙0(ω )的條件數很大，求逆計算精度不高。

本文考慮到六自由度試驗系統的激振原理，提出了基于頻響比的傳遞矩陣估計方法。 e0為包含6 個激振器線性獨立隨機振動驅動信號的驅動向量，試件響應與驅動信號之間的關系在頻域有

式中 H(ω)為響應對驅動的傳遞函數，可用譜矩陣的方法進行計算。傳遞率矩陣T(ω)可以這樣估計：

通過算例來說明式（7）和式（10）計算結果的區別。建立矩形截面梁的有限元模型，將梁劃分為20 個單元，在梁根部同時施加不相干的線運動和角運動隨機激勵，求解端部節點1 到中部節點16 的角運動傳遞特性。雖然輸入的線角激勵不相干，但經過結構的傳遞，節點16 處的線角運動響應存在耦合。圖2 顯示了響應比法中需要求逆的矩陣 GU˙ 0U ˙˙0(ω )和頻響比法中需要求逆的矩陣 HU˙0 E0(ω )在二范數下的條件數隨頻率的變化情況，后者的條件數遠小于前者。圖3 中將頻響比法和響應比法計算的結果與理論值進行對比，可以看到基于頻響比的傳遞矩陣估計方法得到的結果更接近理論值。

圖2 矩陣條件數對比Fig.2 Compare of Condition Numbers

圖3 傳遞率估計結果比較Fig.3 Compare of Estimate Results of Transmission Rate

3 試驗研究

為了驗證基于頻響比的傳遞矩陣估計方法，發展多維振動環境中結構模態識別技術，進行了典型試驗件的六自由度基礎激勵試驗。試驗激勵設備為低頻液壓試驗臺，試驗加載臺面尺寸為2 m×2 m，由6 個液壓作動器進行激勵。試件為錐形結構，將試件底部通過轉接工裝連接在臺面上，并在試件的一條母線上布置加速度傳感器測點，試驗系統組成見圖4。

圖4 試驗系統組成Fig.4 Composition of Test System

對6 個液壓激振器輸入帶寬1～80 Hz 的全不相干隨機振動激勵，在臺面上產生六自由度運動，隨機振動譜形見圖5。按照基于頻響比的傳遞矩陣估計方法，得到傳遞率矩陣T(ω)。圖6 為試件頂部測點在Y、Z 方向的振動傳遞率曲線，能夠清楚看到試驗頻帶內存在2 階共振頻率，傳遞率曲線光滑無噪聲，表明數據處理方法適用。

圖5 隨機振動功率譜Fig.5 Power Spectrum Density of Random Vibration

圖6 傳遞率試驗結果Fig6 Test Results of Transmission Rate

使用頻域模態識別方法，識別出試件的頻率、阻尼比和振型，識別出的試件在激振頻率內的2 階模態，結果見表1。為了便于比較，表1 列出了力激勵固支邊界模態試驗結果，并使用振型相關系數表征兩種試驗方法識別出振型的相關性。可以看出，多維振動基礎激勵法與固支邊界力激勵法得到的模態振型一致性很好，但模態頻率更低，阻尼比更大。這一結果符合多維振動基礎激勵模態試驗的規律。多維振動基礎激勵試驗將慣性激振力分布作用于結構，與力激勵模態的點激勵相比，結構受力更大，大部分金屬結構具有漸軟特性的非線性，因此頻率更低。多維振動基礎激勵試驗中結構振動位移大，產生的結構阻尼力更大，等效阻尼比也更大。

表1 模態試驗結果Tab.1 Result of Modal Test

多維振動基礎激勵模態試驗方法的優勢還在于，對于大部分結構件，在材料、連接等環節存在多種非線性因素，使得結構的動態特性與環境振動量級高度相關[8]，該試驗方法能夠獲取模態特性與試驗量級的相關性。在上述試驗中，逐漸增大振動臺的激振量級，分別按原試驗條件的+3 dB 和+6 dB 量級進行振動加載和模態分析，模態頻率和阻尼比識別結果隨振動量級的變化見圖7。

圖7 模態頻率與阻尼比的非線性特征Fig.7 Nonlinear Feature of Modal Frequency and Damping Ratio

隨著振動量級的增大，模態頻率逐漸降低，阻尼比逐漸增大，結構呈現出漸軟剛度非線性特性。例如，1 階模態頻率降低了2.67%，阻尼比增加了57.31%。一般地，可以使用3 次多項式剛度和阻尼非線性模型對結構進行建模，對頻率和阻尼結果進行擬合。結果表明，試驗件的非線性特性基本符合3 次剛度和阻尼假設，多維振動基礎激勵模態試驗方法能夠很好的考核到模態特性的量級相關性。

4 結 論

a）本文提出基于多維振動基礎激勵的模態試驗方法，獲得試件固支邊界下的模態特征，相比于力激勵法和單維振動基礎激勵模態試驗，多維振動基礎激勵法試件的試驗邊界和振動環境更接近其使用狀態，獲得的模態參數更接近實際工作狀態。

b）在多維振動傳遞率的計算中，基于頻響比的傳遞矩陣估計方法相對于響應比法，能夠降低計算過程中矩陣的條件數，避免由于各個自由度之間的相干導致的矩陣奇異，從而獲得高質量的傳遞矩陣。

c）對于非線性特性比較明顯的結構，多維振動基礎激勵模態試驗方法能夠考核到試驗件模態特性的量級相關性，有助于提高結構分析的精度。基于多維振動基礎激勵的模態試驗方法能夠得到更加可靠的試驗結果，具有很好的實用價值和推廣意義。