中美數學課本開放題數量、類型比較探究

李隆禧 郭肖雯 黃泳譽

摘 要：數學開放題有助于培養學生遇見問題解決問題的能力，本文分別對加州數學G6、人教版六年級課本和北師大六年級課本的數學開放題進行統計分析，然后分析國內課本和加州數學G6在開放題方面的優勢，并提出了國內六年級數學課本可能的改進建議。

關鍵詞：數學開放題;加州數學G6;人教版教材;北師大版教材

一、 研究問題

在中國知網，以數學開放題為關鍵詞進行搜索可以搜到文獻549篇;以“數學開放題”為篇名進行搜索可以找到文獻375篇。這說明數學開放題日益受研究者關注。若以“數學開放題”和“比較研究”為主題進行搜索，則只能搜到文獻8篇。這說明對于數學開放題的比較研究不夠透徹，需要進一步進行研究。因此開展了數學開放題的對比研究，將中美兩國六年級數學課本中的數學開放題作為比較研究的對象，并將研究問題確定為：中美六年級數學課本開放題數量、類型比較研究。

二、 研究意義

（一）數學開放題有助于培養學生發現、分析、解決問題的能力

數學開放題中的綜合開放題可以給學生一個實際的情境，而不告訴學生問題是什么，它要求學生通過自己的觀察去發現問題。也不硬性要求學生使用特定的條件，而是允許學生自己給定條件。還不限定學生采用哪種解題策略，而是讓學生根據所學用自己的策略解決問題。進而使學生在解決數學開放題的過程中，提升發現、分析、解決問題的能力。

（二）數學開放題有助于培養學生的數學能力

數學開放題有些來自現實生活，其出題意圖是讓學生體驗從實際問題抽象到數學問題，再到解決數學問題最后下結論的過程，在這一過程中，學生采用的解題策略，進行的分析、運算、繪圖等都可以提高學生的數學能力。有些開放題屬于策略開放題，其本身是一個純數學問題，但是學生可以嘗試通過不同的策略來解決同一個問題，這有助于培養學生的發散思維。

（三）數學開放題有利于師生關系的革新

教授數學開放題就是很好的選擇，教師通過給學生數學開放題，讓學生自行決定條件、策略、結論，這樣可以保障學生在學習中的主體地位。同時，當學生有了自己的問題情境后，教師可以協助學生進行研究，由于沒有事先的預案，教師在幫助學生解決問題的過程中將自覺地從傳統的上下級關系轉變為“平等中的首席”。再者，當師生共同解決數學開放題時，教師也不再采取舊式講知識、做練習的方法，而是變為修正學生在探究過程中表現出來的錯誤，培養學生的數學觀念和認真仔細的學習態度，最終實現學生的自我教育，讓教師成為學生發展的促進者。

三、 研究方法

使用文獻分析法對課本中數學開放題數量和種類進行研究，本文分別分析加州數學G6、人教版六年級課本和北師大六年級課本，找出其中的數學開放題并且判定其類型，同時記錄課本中總的練習題數量，之后對這些開放題進行統計。依據其類型分布以及數量占比來進行分析。

四、 數學開放題定義

數學開放題在目前還尚不存在統一的定義，主流的數學開放題一般有三種分法，分別是：（1）答案不確定的數學問題;（2）條件不完備，結論不確定的數學問題;（3）依據題目中的未知要素所在位置分為條件開放題、結論開放題、策略開放題和有兩個及以上未知要素的綜合開放題。其中，第三種對于數學開放題的定義更加全面，分別從情景條件、操作者選擇的解決方案、不同的結果及包含不同的未知要素等方面來定義數學開放題，是一種更加科學的數學開放題定義方式。因此本文中對數學開放題的定義選擇采用第三種定義方式，若其未知的要素是假設，則判定為條件開放題;若其未知的要素是推理，則判定為策略開放題;若其未知的要素是判斷，則判定為結論開放題;若問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論都需要在情境中自行設定與尋找，則判定為綜合開放題。

五、 研究對象的選擇

（一）選擇加州數學作為美國參考教材的原因

首先，美國的體制決定其不太可能出版國家級別的教育大綱，因此其沒有國家統一的教材，只能選擇有代表性的數學教材。加利福尼亞州在美國屬于教育大州，教育水平優秀。其次，該類圖書的作者來源豐富，從普通教師到教授都有，參考性比較強。再者，加州數學的課程內容與我國的課程標準所規定的教學內容有相似性，如加州數學G6課本的內容與我國六年級數學課本都包含分數、百分數、幾何初步知識等。

（二）選擇人教版和北師大版數學教材作為國內參考教材的原因

人教版和北師大版的使用范圍更大，更具有代表性，除去江蘇、上海以及其他教育實驗地區，剩下的大部分地區均采用人教版或者北師大版的教材。廣大的使用量讓其作為研究對象將更具有代表性。由于人教版和北師大版都使用的比較廣泛，單純將其中任何一個版本的教材作為我國教材的代表都是不合適的，因此，將人教版和北師大版同時作為國內參考對象，力求結論更加客觀。

六、 研究結果分析

（一）統計加州數學G6教材數學開放題

（二）統計人教版教材數學開放題

（三）統計北師大版教材數學開放題

（四）三種數學教材數學開放題統計結果分析

1. 加州數學G6與人教版六年級數學開放題對比

（1）對比數學開放題總數量，加州數學G6的數學開放題要多于人教版的數學開放題數量，加州數學G6共有158道數學開放題，人教版則有23道數學開放題，加州數學的總開放題數量更多。

（2）對比數學開放題占比，人教版六年級的占比是4.5%，而加州數學G6的占比則是3.4%，人教版的占比高。

（3）對比數學開放題在各章分布，加州數學G6在每一章都有數學開放題分布，而人教版的數學開放題則在幾章沒有分布。

（4）對比開放題的類型，加州數學G6的綜合開放題較多，人教版的結論開放題較多。

2. 加州數學G6與北師大版六年級數學開放題對比

（1）對比數學開放題總數量，加州數學G6的數學開放題要多于北師大版的數學開放題數量，加州數學G6共有158道數學開放題，北師大版則有35道數學開放題，加州數學G6的總開放題數量更多。

（2）對比數學開放題占比，北師大版六年級數學的占比是7%，而加州數學G6的占比則是3.4%，北師大版的占比更高，是加州數學G6的兩倍多。

（3）對比數學開放題在各章分布，加州數學G6在每一章都有數學開放題分布，而北師大版的數學開放題則在幾章沒有分布。

（4）對比開放題的類型，加州數學G6的綜合開放題較多，北師大版的結論開放題較多。

七、 結論

在對加州數學G6、人教版六年級數學課本和北師大版六年級數學課本開放題進行比較后，分析了國內課本和加州數學G6在開放題方面的優勢，并提出了國內六年級數學課本可能的改進建議。

（一）研究結果

1. 國內課本數學開放題方面的優勢

（1）國內課本數學開放題比重較美國的大。國內課本開放題占得比重較大，即使是相對少的人教版課本，數學開放題在課本練習中的比重也達到了4.5%。這是好的現象，說明國內的編者開始逐步認可數學開放題的重要地位，肯定了數學開放題對學生學習和知識建構以及教師教學的作用。

（2）國內課本數學開放題在類型上更注重結論開放題和條件開放題。六年級的學生尚處于具體運算階段，其抽象思維能力以及思考問題的能力還有待提高，且其生活經驗較少，接觸事物不多。若過多要求去做自行決定情景的綜合開放題，則會經常導致學生提出的問題情境與所學內容相關性不大或者學生難于提出問題情境的情況發生。條件開放題和結論開放題可以解決這個問題。條件開放題允許學生自行從給定的情境中選取數據并解決問題;結論開放題則是讓學生在經過一系列運算后能夠根據運算結果給出判斷。由于有前面題干或者運算的鋪墊，學生的認知負荷將大大減少，更有利于學生學習數學知識。

2. 國內課本數學開放題方面的劣勢

（1）國內課本某些章節數學開放題比重偏大，如北師大版上冊第五章：數據處理，其數學開放題比重達到了64.3%，過多的數學開放題可能會影響學生的判斷。

（2）數學開放題種類不夠豐富，結論開放題和條件開放題較多，而綜合開放題和策略開放題略少。

3. 加州數學G6數學開放題方面的優勢

（1）加州數學G6的題量更豐富，在整個六年級的課本中提供了4645道練習題。相較于國內人教版的506道練習題和北師大版的500道練習題而言加州數學G6的題量已經相當可觀了。這些題目可以為學生提供強度更大的練習，從而讓學生的學習得到更好的鞏固。這一點國內課本也非常重視，國內的課本一般會有配套的練習冊，為學生提供課后相應的練習。

（2）加州數學G6的開放題在每個章節的分布優于國內。根據圖1的統計數據可以得知，加州數學G6的教材在每一章都有開放題，并且每一章的開放題類型都比較全面。筆者認為這樣的好處是能夠讓學生得到更全面的鍛煉，綜合開放題能讓學生發現數學源自生活;條件開放題可讓學生保持學習主體地位;策略開放題可以豐富學生解決問題的思維;結論開放題可以增強學生的判斷力。因此，將不同類型的開放題布置在不同的章節中將促進學生的全面發展。

（3）加州數學G6開放題標識更加明確。加州數學G6的開放題比較明顯，一般情況下會在該題前面用彩色字體寫明“open-ended”字樣，明確告訴學生這是數學開放題。這有利于學生及時轉換思維，選擇對應的解決問題的策略。

（二）國內課本的改進建議

1. 保持結論開放題和條件開放題的占比

這是國內教材的優勢，應當繼續保持，但不應大幅增加，若使學生形成錯誤的思維定式將得不償失。

2. 適當增加綜合開放題和策略開放題的數量

綜合開放題不僅僅是情景題，也可以是綜合了學生自主選擇條件并進行判斷的純數學問題。綜合開放題可以既讓學生擁有主體地位，又讓教師發揮主導作用，還可以讓學生體會數學思維的嚴密性。通過對比圖1、圖2、圖3的數據，筆者認為國內教材有必要增加綜合開放題。同時，國內課本還應適當增加策略開放題的比重，并更加明確策略的定義，讓學生知道用電腦來解決數學問題也是解題策略之一，解題策略不應局限在紙筆。

3. 數學開放題應當分布更廣泛

通過圖2和圖3的數據可知，國內教材有些章節沒有明顯的數學開放題分布，這一點應當解決。數學開放題可以讓教師判斷學生的學習情況，進而讓教學更有目的性。若在抽象性開始提高的章節不出現開放題則可能讓學生的解決問題的思路變得局限，不利于其數學能力的發展。

參考文獻：

[1]戴再平.時代的呼喚：數學開放題研究進展綜述[J].中學數學教學參考，1999（4）：19-21.

[2]何光峰.數學開放題及其教學的研究綜述[J].數學通報，2001（5）：0-3.

[3]鄧小俐.中美初中數學教材中習題的對比研究[D].南京：南京師范大學，2002.

作者簡介：

李隆禧，郭肖雯，黃泳譽，廣東省佛山市，廣東省佛山市禪城區佛山科學技術學院。