一類具多比例時滯脈沖遞歸神經網絡的穩(wěn)定性分析

宋協(xié)慧，周立群

（天津師范大學 數學科學學院，天津300387）

近年來，時滯遞歸神經網絡被廣泛應用于圖像處理、聚類分析、人工智能和信號分類等多個領域.在有些應用中，可能會處理時變且無界的時滯問題，如，QoS 路由決策在設計時通常需要比例時滯的保障，這里的比例時滯就是一種無界時變時滯.目前，具比例時滯遞歸神經網絡的動力學行為得到了廣泛研究[1-14].文獻[1]利用M-矩陣理論討論了一類復值神經網絡的指數穩(wěn)定性.文獻[2-3]運用時滯微分不等式和Lyapunov泛函研究了具比例時滯遞歸神經網絡的全局指數穩(wěn)定性.文獻[4-8]運用Brouwer 不動點定理和矩陣理論等方法分析了幾類具比例時滯神經網絡的全局漸近穩(wěn)定性.文獻[9-10]運用不等式技巧和Lyapunov 泛函得到了基于憶阻器的多比例時滯遞歸神經網絡的無源性和指數同步性的判定準則.文獻[11-12]應用非線性變換和Lyapunov 泛函，得到了保證具比例時滯遞歸神經網絡多項式同步性和全局指數周期性的充分條件.

在人工神經網絡中，系統(tǒng)可能會受到時間極短的電壓或電流的作用，從而導致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生短暫性變化，即出現(xiàn)“脈沖”現(xiàn)象.時滯和脈沖可能會引起神經網絡出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定和混沌等現(xiàn)象，使得網絡的動力學行為更加復雜.因此，研究具有時滯和脈沖效應的神經網絡是必要的[15-20].文獻[15-16]利用M-矩陣理論和不等式分析技巧，討論了具時滯和脈沖效應的Hopfield 神經網絡的全局指數穩(wěn)定性和周期解的一致穩(wěn)定性.文獻[17-18]運用不動點理論和矩陣不等式方法，得到了具比例時滯脈沖神經網絡的全局指數穩(wěn)定性和無源性的判定準則.

本文考慮一類具多比例時滯的脈沖遞歸神經網絡，通過構造合適的Lyapunov 泛函和應用不等式技巧，得到了保證該系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定性和全局多項式穩(wěn)定性的時滯依賴的判定準則，該準則通過代數方法驗證即可.

1 模型描述和預備知識

考慮如下一類具多比例時滯的脈沖神經網絡模型

其中：i=1，2，…，n，n 為網絡神經元的個數；xi（t）為第i 個神經元在t 時刻的狀態(tài)；常數aij、bij和cij為系統(tǒng)的連接權重；fj（·）、gj（·）和hj（·），j=1，2，…，n 為激活函數；比例時滯因子pj和qj滿足0 < pj、qj≤1，pjt=t-（1-pj）t，qjt=t-（1-qj）t，這里（1- pj）t 和（1-qj）t 為時滯函數，且當t→+∞時，有（1-pj）t→+∞（pj≠1）和（1-qj）t→+∞（qj≠1），即（1 - pj）t 和（1 - qj）t是無界函數；初始函數xi（s）=φi（s）∈C（[q~t0，t0]，R），序列tk滿足1≤t0

本文對模型（1）做如下假設：

假設（H） 激活函數fj（·）、gj（·）和hj（·）滿足

其中：u、v∈R，j=1，2，…，n.記L=max{L1，L2，…，Ln}，M=max{M1，M2，…，Mn}，N=max{N1，N2，…，Nn}.

令

則模型（1）等價變換為如下模型

注1易知模型（4）和模型（1）的平衡點z*和x*存在，且z*=x*=0，因此，研究模型（1）的平凡解x*=0的穩(wěn)定性等價于研究模型（4）的平凡解z*= 0 的穩(wěn)定性.

定義1[21]設x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，x 的范數定義為設A=（aij）n×n∈Rn×n，則稱‖A‖1=為A 的1 范數，稱為A 的∞范數.

定義2[22]稱模型（1）的平凡解x*=0 是全局漸近穩(wěn)定的，如果對于模型（1）的任意解x（t），有

定義3[22]稱模型（1）的平凡解x*= 0 是全局多項式穩(wěn)定的，如果存在常數σ>0 和β≥1，使得模型（1）的任意解x（t）滿足

定義4[22]稱模型（4）的平凡解z*= 0 是全局指數穩(wěn)定的，如果存在常數σ>0 和β≥1，使得模型（4）的任意解z（t）滿足

定義5[22]設f（x）為連續(xù)函數，f（x）的右上Dini導數為

2 全局漸近穩(wěn)定性

對于模型（1），令A=（aij）n×n，B=（bij）n×n，C=（cij）n×n，并記

定理1設若假設（H）成立，且

其中dm=min{d1，d2，…，dn}，則模型（1）的平凡解x*= 0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明取如下Lyapunov 泛函

當t≠tk時，對函數V（t）沿模型（1）求導，得

當x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T≠0 時，即至少存在某個xi（t）≠0，由式（5）和式（7）可得V˙（t）<0.

當x（t）=0，x（pt）=（x1（p1t），x2（p2t），…，xn（pnt））T≠0且x（qt）=（x1（q1t），x2（q2t），…，xn（qnt））T≠0 時，即至少存在某個xj（pjt）≠0 和xj（qjt）≠0，由式（7）可得

當x（t）=0，x（pt）≠0 且x（qt）=0 或者x（t）=0，x（pt）=0 且x（qt）≠0 時，即至少存在某個xj（pjt）≠0或xj（qjt）≠0，由式（7）可得

或者

當x（t）= x（pt）= x（qt）= 0 時，由式（7）可得V˙（t）=0.

因此，當t≠tk時，當且僅當x（t）=x（pt）=x（qt）=0時，有V˙（t）=0，其他情況下V˙（t）<0.

當t=tk時，由|λik|≤1 和式（6）可得

綜上可得，當t∈（tk-1，tk]時，有V˙（t）≤0，所以模型（1）的平凡解x*=0 是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

根據式（7）可得以下推論.

推論設若假設（H）成立，且

則模型（1）的平凡解x*=0 是全局漸近穩(wěn)定的.

3 全局多項式穩(wěn)定性

定理2設xi（tk）=λikxi（tk-），|λik|≤1，若假設（H）成立，且存在常數λ>1，使得

其中dm=min{d1，d2，…，dn}，則模型（1）的平凡解x*=0是全局多項式穩(wěn)定的.

證明通過驗證模型（4）的平凡解z*=0 是全局指數穩(wěn)定的，可以證明系統(tǒng)（1）的平凡解x*=0 是全局多項式穩(wěn)定的.

令Wi（t）=eλt|zi（t）|，其中λ>1，于是Wj（t-τj）=eλ(t-τj)|zj（t-τj）|，Wj（t-ξj）=eλ(t-ξj)|zj（t-ξj）|.

當t≠tk時，對Wi（t）求導，得

取如下Lyapunov 泛函

當t≠tk時，對式（9）求導，得

當t≠tk時，由式（8）和式（10）可知，當且僅當z（t）=z（t-τ）=z（t-ξ）=0 時，V˙（t）=0，其他情況下V˙（t）<0，其中

于是，由式（9）可得V（tk）≤V（tk-）.

綜上可得，當t∈（tk-1，tk]時，有V˙（t）≤0，故V（t）≤V（ln t0）.

由式（9）可得

當t=ln t0時，由式（9）可得

由式（11）可得

于是

其中σ=λ-1>0.在式（13）中，令zi（t）=xi（et），得

令et=η，t≥ln t0，則η≥t0.令es=ξ，s∈[-τ+ln t0，由式（14）得

其中因此，模型（1）的平凡解x*=0 是全局多項式穩(wěn)定的.證畢.

定理3設若假設（H）成立，且存在常數λ>1，使得

則模型（4）的平凡解z*=0 是全局指數穩(wěn)定的.

證明由式（13）可知其中故模型（4）的平凡解z*=0 是全局指數穩(wěn)定的.

注2若λ=1，則定理2 中模型（1）平凡解的多項式穩(wěn)定性減弱為漸近穩(wěn)定性，定理3 中模型（4）平凡解的指數穩(wěn)定性減弱為漸近穩(wěn)定性，即指數穩(wěn)定性和多項式穩(wěn)定性都強于漸近穩(wěn)定性，但多項式穩(wěn)定性弱于指數穩(wěn)定性.

注3若λik=0，pj=qj=1，i、j=1，2，…，n，k∈N*，則模型（1）成為無時滯且不帶脈沖的神經網絡，此時本文所得結論仍然成立.

4 數值算例

例1考慮如下三維具比例時滯脈沖神經網絡模型

其中：i=1、2、3，D=diag{7，11，9}，

計算得‖A‖1=‖A‖∞=‖B‖1=‖B‖∞=‖C‖1=‖C‖∞=1，故νM=1.

情況1取p1=p2=p3=0.6，q1=q2=q3=0.7，

取激活函數為fi（xi）=（|xi+1|-|xi-1|）/2，gi（xi）=tanh xi，hi（xi）=sin xi，i=1、2、3，λ=1.5，Lipschitz 常數是L=M=N=1.故

滿足定理1 和定理2 的條件，因此模型（18）的平凡解x*=（0，0，0）T是全局多項式穩(wěn)定的.模型（18）不加脈沖和加脈沖的相圖與時間響應曲線分別見圖1 和圖2.

圖1 模型（18）不加脈沖的相圖和時間響應曲線（情況1）Fig.1 Phase diagram and time response curves of Model（18）without impulse（Case 1）

圖2 模型（18）加脈沖的相圖和時間響應曲線（情況1）Fig.2 Phase diagram and time response curves of Model（18）with impulse（Case 1）

情況2取p1=0.5，p2=0.3，p3=0.6，q1=0.4，q2=0.7，q3=0.3，

取激活函數為fi（xi）=（sin xi+ xi）/4，gi（xi）=hi（xi）=（cos xi+xi）/4，i=1、2、3，λ=1.4，Lipschitz 常數是L =M=N=1.故

滿足定理1 和定理2 的條件，因此模型（18）的平凡解x*=（0，0，0）T是全局多項式穩(wěn)定的.模型（18）不加脈沖和加脈沖的相圖與時間響應曲線分別見圖3 和圖4.

圖3 模型（18）不加脈沖的相圖和時間響應曲線（情況2）Fig.3 Phase diagram and time response curves of Model（18）without impulse（Case 2）

圖4 模型（18）加脈沖的相圖和時間響應曲線（情況2）Fig.4 Phase diagram and time response curves of Model（18）with impulse（Case 2）

5 結論

本文針對一類具多比例時滯的脈沖遞歸神經網絡模型，通過構建Lyapunov 泛函和應用不等式技巧研究了模型的漸近穩(wěn)定性和多項式穩(wěn)定性，得到該模型漸近穩(wěn)定和多項式穩(wěn)定的時滯依賴的判定準則，并利用數值實驗驗證了結論的有效性和正確性. 同時，具比例時滯神經網絡的多項式耗散性和多項式周期性也可用本文方法進行研究.