基于層次分析法的新高考改革選科目組合概率研究

周澤宇　唐煒

摘 要：本文針對新高考改革后帶來的教學資源、排課、師資分配等問題，建立優化模型，為現行高中選科政策提供創新型方案。我們首先定性分析了影響高中生選科的因素，針對各因素生成量化指標，對各指標進行歸一化處理，以得到有關各個因素的決策矩陣。然后，利用層次分析法，建立起關于選科人數估計的多屬性決策模型，將決策矩陣作為目標層到準則層的第一層矩陣，將由成對比較矩陣分析得到的權值矩陣作為準則層到方案層的第二層矩陣。聯立決策矩陣與權值矩陣，得到方案層各元素相對于目標層的權值，由權值估算出學生選擇各單科的概率，進而估算出學生選擇各選科組合的概率。

關鍵詞：層次分析;多屬性決策模型;權值;科目

1 引言

2014年9月4日[1]，國務院發布《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》，意見提出新高考改革的主要任務和措施，要求改進招生計劃分配方式、改革考試形式和內容以及招生錄取機制等，此舉措標志著新高考改革方案的正式發布。對于作為第三批試點進行新高考改革的省市數量，由最初定下的18個銳減至8個，有關人士對試點省份進行了調查了解[2]，總結出整體延遲的主要原因是，其擔心“自身資源跟不上改革節奏”。若真正允許學生自主選擇科目，學校就必須根據學生的選科結果，提供足夠的課程供學生“走班”。簡單計算可知，“6 選 3”有 20 種組合，“7 選 3”則有 35 種組合，而一種組合的三門課不能安排在同一時間。因此，不僅排課復雜，更是極大增加了師資和教室等教學資源的需求，對經濟和教育發展水平相對滯后的地區來說，可能是難以承受的。另一方面，選擇不同組合的學生數量很可能差異很大，而且由于社會變化的種種原因，學生的選擇也會逐年變化。

2 機器學習方法

2.1確定影響學生選科的因素

在具體估算學生如何選科之前，需要先經過定性分析，找出存在哪些原因影響著學生選科的方案。經過自身分析、對學生的調查走訪與咨詢相關專家意見，得到影響學生選科的因素主要有：個人興趣愛好、學術風格、硬件設施、教師配置、就業趨勢五大部分。其中，個人興趣愛好屬于學生層面，學術風格、硬件設施、教師配置屬于學校層面，就業趨勢屬于社會層面。

2.2定量化相關因素，確定評價指標并建立函數

在具體分析中我們發現，對于個人的興趣愛好，需要逐個對學生進行走訪才能知曉，而針對不同學校，需要對大量的學生進行調查分析，基數的龐大，使得調查個人興趣愛好難以進行。而學術風格則較為空洞，難以進行數學層面的分析。因此，需要將這兩個因素，等效為另一個與之相關的性質。經分析發現，無論是個人興趣愛好還是學術風格，均與各科高分分布情況直接相關，因此，將其進行性質上的等效處理。各科高分分布情況，可用往屆各科高分人數h 這一量綱進行反應。

硬件設施，則可用各科實驗設備數 e 進行反應，而教師配置可用各科教師人數t 進行反應，就業趨勢可用各科就業情況評分 s 進行反應。

至此，已將各個影響因素進行定量化處理，得到了四個對于各科選科人數的評價指標，從而建立起關于各科選科人數 N 的函數，如下式：

（1）

在已經發布了新高考改革方案的省中，我們選取了廣東省的五所不同條件的中學進行調查，分別是廣州市南武中學、中山紀念中學、廣州市白云中學、花都區新華中學、開平市風采中學。每一學校各選出 500 位同學，統計出了他們在分科后模擬考試的分數分布情況。然后，對各個學校的各科實驗設備數以及各科教師人數進行了統計。

2.3建立模糊綜合評價模型

建立基于層次分析法的模糊綜合決策模型，將各個屬性納入準測層內進行研究，該模型的示意圖見圖 1 所示。

我們查找了大量數據，并咨詢了相關領域的專家，建立了方案層相對于準則層的成對比較矩陣 B1-B6，用于表示針對各個學科而言，準則層里不同屬性的重要性。采用了 Santy 的 1-9 標度方法，建立該模型下的成對比較矩陣標度表。

通過有關權值得分的計算，可將其轉化為學生選擇的概率 p，對于廣東省而言，新高考改革實行“3+1+2”的選科模式，即在物理、歷史中任選一科，在化學、生物、政治、地理中任選兩科。記同學校中物理、歷史的權值得分為c1、c2，選擇概率為 p1，2;化學、生物、政治、地理的權值得分為c3、c4、c5、c6。通過概率論中相關知識，計算出基于選單科概率的選科組合概率，見表1所示。

3 小結

在某個發布了新高考改革方案的省里選幾所不同地區不同條件的中學，根據學校的學生規模、文化傳統和特色等實際情況，估算出每一種選課組合的選擇概率。本文采用多屬性決策模型，不必限制影響因素的具體維數，可進行全面而具體的分析。歸一化處理使得各屬性值不再受其各自量綱的影響，使各指標可進行混合運算。決策矩陣中的元素類似于分值，由成對比較矩陣產生的權重矩陣則為各分值對應的權值，各元素相乘產生的綜合得分則類似于加權打分系統，更為客觀準確。

參考文獻

[1]張中寧，新高考改革背景下普通高中選課走班調查研究——以浙江省 5 所高中為例[D]，曲皋師范大學，2017.3

[2]亓佳彤，由新高考“六選三”引出的遞歸問題[R]，數學學習與研究，2019.