一種脈沖信號到達時間差高精度估計方法

王 鑫，陳 捷

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

近年來，隨著信號處理技術的進一步發展，無源時差定位技術由于作用距離遠、隱蔽性好等優點，受到各國的廣泛研究和應用，其應用涉及海、空、天等各個領域。相對于有源定位系統，無源時差定位技術能夠提高整個無源定位系統在復雜電磁環境下的反偵察、抗干擾、反誘餌等能力，而且還擁有一定的對隱身、低空、超低空飛行目標的偵察能力，有效彌補了有源定位系統在目標識別等方面的不足。在現代戰爭越來越重視電子戰隱蔽性的趨勢下，無源時差定位技術擁有著重要的地位。

由于時差測量是無源時差定位技術的關鍵技術，因此國內外很多專家學者都對此進行了深入的研究，目前已有較多的裝備及論文見諸報道。其中提出了很多時差測量的算法，在不同的場景應用下有時必須有針對性地采取不同的時差測量算法才能達到預期的估計效果。本文在分析研究了經典的互相關算法的基礎上，提出了一種基于haar小波變換的高精度時差估計方法。

1 互相關算法

1.1 到達時間差(TDOA)測量的模型

TDOA的測量模型可以描述為：2個觀察站A、B偵收到同一輻射源信號s(t)后的信號分別為xA(t)和xB(t)，其表達式如下所示：

(1)

式中：A和B是信號分別到達A、B兩站的幅度，表示輻射源信號s(t)經過空間傳輸的幅度；nA(t)和nB(t)是A、B站的接收噪聲，且均與s(t)不相關；tA和tB為輻射源信號s(t)分別到A、B站的時延。

假設輻射源信號在空間傳輸過程中信號不產生形變，則式(1)可化簡為：

(2)

式中：C=B/A，為A、B站接收到的輻射源信號的幅度比；T=tB-tA，即為A、B兩站接收到的輻射源信號的到達時間差(TDOA)估計。

TDOA估計就是通過對接收到的有限信號序列計算兩信號的時延差估計。

1.2 廣義互相關算法

廣義互相關算法是經典的到達時間差測量算法[1]，在文獻[2]～[6]中有論述，主要因為其他算法均是在廣義互相關算法的基礎上改進實現的，其主要原理都是根據數字信號處理中有關各信號間的相關性即通過計算其互相關來估計各信號間的時延，其改進算法的主要目的均是提高算法的抗干擾性和適用性。

因為A、B站的接收噪聲與s(t)不相關，因此兩接收信號xA(t)和xB(t)的互相關函數RxAxB(τ)為：

RxAxB(τ)=E[xA(t)xB(t-τ)]=

CRss(τ-T)+RnAnB(τ)

(3)

式中Rss(τ)為輻射源信號s(t)的自相關；RnAnB(τ)為噪聲nA(t)和nB(t)的互相關。

又由于噪聲nA(t)、nB(t)與信號s(t)相互獨立，因此其互相關RsnA(τ)和RsnB(τ)均為零。由相關函數的性質可知：R(τ)≤R(0)，即相關函數R(τ)在τ=0時取得最大值。

圖1 廣義互相關算法示意圖

由維納-辛欽(Wiener-Khinchin)定理可知，xA(t)、xB(t)的互相關RxAxB(τ)和互功率譜密度SxAxB(f)關系如下：

(4)

則信號xA(t)、xB(t)的互功率譜密度如下：

(5)

式中：*表示復共軛運算。

因此，廣義的互相關函數如下：

(6)

(7)

式中：Ψ(f)為廣義化頻率權值，是濾波的響應函數表達式。

(8)

(9)

式(9)即為廣義互相關函數的算法公式。響應函數Ψ(f)選擇不同，廣義互相關算法有對應的變化。雖然Ψ(f)能夠增加信噪比(SNR)，提高互相關的峰值，然而經過濾波后，也使得輸出信號與噪聲的相關性增加。選擇對應的Ψ(f)能夠提高算法的穩定性和分辨率。

2 基于Haar小波變換的高精度時差測量算法

對相關函數RxAxB(τ)作離散小波變換，表達式為：

(10)

式中：Ψ(k)為母小波；l為小波尺度；p為平移因子。

因此，對應的離散小波表達式為：

(11)

將式(3)代入式(10)可得：

WTRxAxB(l,p)=WTS(l,p)+WTnAnB(l,p)

(12)

式中：WTS(l,p)為信號s(t)自相關函數的小波變換；WTnAnB(l,p)為噪聲互相關函數的小波變換。

然后，解析信號自相關函數小波變換的模值在跳變點附近的變化情況。當p0+l/2≤p≤p0+L-l/2時，即在信號的有限序列內：

(13)

則上式的模為：

p0+l/2≤p≤p0+L-l/2

(14)

當小波變換的區域包括函數的最大值時，可以分成以下3種情況：

(1) 當p

(15)

(2) 當p=p0時，則：

(16)

(3) 當p0

(17)

當Δf≈0時，上述各式成立。當信號的參數估計能夠達到該條件時，上述各式可近似為：

(18)

(19)

(20)

p0≤p≤p0+l/2-1

(21)

由上面各式推導可知，當小波尺度已知，且信號參數的估計精度較高時，經過上面各式的運算后，相關函數的TDOA值在第1個極值點處得到，即在局部極大值p=p0處，此即為估計的到達時間差。

小波尺度值決定了信號的估計性能。顯然，當可以有效估計信號的TOA時，小波尺度值較小將導致平滑濾波的效果降低，同時對噪聲的抑制性也降低，最終將導致對信號TOA的估計精度降低；若將小波尺度變大，輸出的信噪比(SNR)將隨小波尺度的變大而變大，這將有效抑制噪聲。因此，當小波尺度l≥2L時，設l=2L+l′(l′≥1)，有:

p0-l′≤p≤p0

(22)

由上式得，當l=2L+l(l≥1)時，在轉折點p0處向左至p0-l′處，得到的局部極大值共(l′+1)個點，此時函數有平頂；當l≤2L時，局部極大值只出現在轉折點p0處。所以，當l>2L時，由于存在噪聲，將無法判定正確的極值點。因此，最佳的小波尺度為l=2L。然而，實際應用中信號的脈寬未知，其是由自相關檢測得到的粗估計值。自相關的粗估計會比真值擴展若干點，所以取：

(23)

對TOA的測量，設運算N次，通過計算均方根誤差(RMSE)衡量該算法的估計精度。計算公式為:

(24)

根據上面的分析可得，該算法僅在信號參數的估計精度高時才能實現;反之，將降低信號TOA的估計。

3 仿真試驗與分析

假設一脈沖信號已經過下變頻通道至中頻信號，載頻為200 MHz，信號脈寬9 μs，采樣頻率2 GHz，采樣時間10 μs，接收兩站的間距為200 m。在仿真實驗中，定義信噪比的表達式為：

(25)

式中：Ps為目標輻射信號的平均功率；Pn為隨機噪聲的平均功率。

為了驗證對基于Haar小波變換的時差測量算法的性能，進行仿真實驗，并和廣義互相關算法進行比較，每種算法運行500次，實驗結果如圖2、圖3所示。

圖2 廣義互相關算法隨信噪比變化曲線

由圖2和圖3可知，隨著SNR的提高，2種算法對時差估計的均方根誤差均逐漸減小；當SNR≤5 dB時，2種算法時差估計的均方根誤差均大于10 ns；SNR≥10 dB時，2種算法時差估計的均方根誤差開始趨于穩定，基于Haar小波變換算法的收斂速度明顯加快，且具有更好的誤差精度。

圖3 基于Haar小波變換算法隨信噪比變化曲線

4 結束語

本文針對脈沖信號的到達時差測量模型展開了研究。在分析研究了廣義互相關算法的基礎上,本文提出了一種基于Haar小波變換的時延估計算法，通過所提出的Haar小波變換原理提高了其對信號時延估計的精度。仿真結果表明,該算法相較于廣義互相關算法估計誤差收斂速度更快，誤差精度更優。