鋼琴泛音非協和性對八度音程的影響*

胡倩如

（西安音樂學院，陜西 西安 710061）

國際第一標準音是鋼琴鍵盤第49鍵的A，即49A，頻率為440 Hz。鋼琴制定的標準音也是49A，但是，鋼琴制定平均律的十二個音的起始音是低于標準音一個八度的37A。鋼琴琴弦的屬性決定其發音會受到泛音非協和性影響，泛音非協和性影響八度的寬度。

鋼琴調律的常規程序，第一步是用440 Hz音叉或校音器等純音將49A的一根弦調至440 Hz，進而將49A的三根弦調至相同頻率；第二步是用49A下行八度調49A～37A；第三步從37A起，在33F～45F的八度調平均律；最后進行八度擴展，將全琴調律完畢。從調律師對鋼琴的調律程序可知，第一個八度極其重要。

1 鋼琴琴弦泛音非協和性原理

理想琴弦在振動時，除了整段琴弦振動，分段琴弦也同時在振動，分段振動的頻率是整段振動的整數倍。即一根440 Hz的琴弦，它的1/2段琴弦振動產生了二倍音，頻率是整段琴弦的二倍，即880 Hz；三倍音的頻率是440 Hz的三倍，即1 320 Hz。琴弦的泛音理論中，琴弦在分段振動時會產生與其相應的倍音，即整數倍的倍音。然而，琴弦振動時，盡管有抗彎性，但由于自身的剛性，其分割的段長會比理論值短一點。因此，它的倍音會比理論值高。

1.1 影響琴弦泛音非協和性的因素

泛音非協和性對于多數弦樂器的影響是輕微的，容易被忽略。因為多數樂器的琴弦非常細并且易彎曲，只有少許固有的非協和性。另外，很多弦樂器琴弦支撐也相對短，并且音量不大，演奏者經常可以彎曲琴弦來改變音高。但是在鋼琴上，泛音非協和性的影響可以很明顯地聽出來，因為鋼琴的琴弦又粗又硬。

其中，B是泛音非協和性系數；K是常量，代表琴弦材料；d是琴弦直徑；f是琴弦頻率，可等同于張力；l是琴弦長度。

由公式可知，琴弦的非協和性由四個因素決定：材料、直徑、長度、張力。這四個因素由鋼琴設計者決定，調律師無法控制。

1.2 添加泛音非協和性后琴弦的變化

盡管不同琴弦的泛音非協和性系數不同，但分布在分段琴弦振動的倍音中的量是一樣的，即按幾何級數遞增，是倍音數的平方。琴弦泛音非協和性的量等于諧音數的平方乘以B。例如，第一倍音是12乘以B；第二倍音是22乘以B等。換言之，在高頻倍音中，這種泛音非協和性會更明顯。

為一根A4弦添加不協和系數，來說明它的一系列倍音的頻率是如何被影響的。鋼琴中音區這部分B（非協和性系數）大概0.5左右，B乘以每個倍音的平方，可以計算出高頻倍音偏離其理論頻率的量。當B=0.5時，A4的前六個倍音的偏差值見圖1。可以看出，一根琴弦的倍音隨著倍音數的遞增，其偏差值越來越大。

2 泛音非協和性影響八度音程的寬度

在八度音程中，兩根琴弦有一系列的共同倍音，冠音的一倍音（基音）和根音的二倍音的音高頻率一致，即在2∶1層級中，為共同倍音。向上還有4∶2層級以及6∶3層級。在理想琴弦中，音程在這三個層級中可同時吻合。也就是說，這三個層級的共同倍音能夠同時在這三個層級調至一個無拍音狀態。然而，由于泛音非協和性因素的影響，情況發生了變化。如圖2所示，兩根相同非協量的琴弦，為八度音程，其基音的頻率值為理論平均值的二倍。在這個八度音程中，泛音中每一層級都沒有吻合。盡管兩個基音的頻率比已達到理論的2∶1，但是聽起來會有些窄，因為冠音所有的倍音都比根音相對應的共同倍音低。

調音時，調律師更注重聽的是拍音，而不是基音。聽拍音，耳朵會集中在拍頻的變化以及共同倍音是否純上。在理想琴弦中，八度音程可以做到在三個層級中的共同倍音同時調純。然而，現實琴弦的八度音程，不能將三個層級同時調純。只能隨著逐漸拉寬八度音程，首先在2∶1層級調純，進而是4∶2層級，最后是6∶3層級。其對應關系如圖3～圖5所示。

圖3中，A3～A4這個八度，將根音降低，使其在2∶1層級的共同倍音一致，即在2∶1層級是純的。這個八度聽起來不錯，但是，此八度在4∶2層級和6∶3層級是窄的。

圖4中，拉寬八度，使其在4∶2層級的共同倍音一致，即在4∶2層級是純的。但是，此八度在6∶3層級依然窄，但是在2∶1層級變寬。

圖1 當B=0.5時，A4前六個倍音的偏差值

圖2 兩根琴弦在相同泛音非協和性下基頻調純的情況

圖3 兩根琴弦在相同泛音非協和性下2∶1層級調純的情況

圖4 兩根琴弦在相同泛音非協和性下4∶2層級調純的情況

圖5 兩根琴弦在相同泛音非協和性下6∶3層級調純的情況

圖5中，將八度拉得更寬，使其在6∶3層級的共同倍音一致，即在6∶3層級是純的。但是，此八度在2∶1層級和4∶2層級都是寬的。

3 選擇不同檢驗音程確定八度音程寬度

由上文可知，由于鋼琴琴弦的泛音非協和性，如果只考慮基音頻率值對應八度頻率值來進行調律，聽覺上八度音程會窄，并且在調律中不能同時將每個層級調純。基于這個特性，用音叉校對49A后，向下調八度音37A，可用不同的檢驗音來檢驗八度，使該八度的寬度不同。

當在2∶1層級調純時，為了確定該八度的距離，通常使用F2作為檢驗音，因為A3與A4的2∶1層級的共同倍音是A4，那么F2的第五倍音就是A4，通過由F2～A3構成的大十度和F2～A4構成的大十七度拍頻一致來檢驗這個八度，本質上還是利用大三度的頻率來獲得聽覺上的一致。

當在4∶2層級調純時，為了確定該八度的距離，通常使用F3作為檢驗音，因為A3與A4的4∶2層級的共同倍音是A5，那么F3的第五倍音就是A5，通過由F3～A3構成的大三度和F3～A4構成的大十度拍頻一致來檢驗這個八度。

當在6∶3層級調純時，為了確定該八度的距離，通常使用C4作為檢驗音，因為A3與A4的6∶3層級的共同倍音是E6，那么C4的第五倍音就是E6，通過由A3～C4構成的小三度和C4～A4構成的大六度拍頻一致來檢驗這個八度。

雖然有不同檢驗音來設定八度音程的寬度，但是，琴弦泛音非協和性的特點讓調律師在選擇起始八度時往往不會選擇在2∶1層級，因為在2∶1層級調純，在4∶2層級以及6∶3層級中八度聽起來會窄。在鋼琴這件和聲樂器中，相隔數個八度的和聲的協和性非常重要。因此，調律師多用F3作為第一個八度，用A3～A4來檢驗該八度的寬度，進而確定A3的音高，完成十二平均律每個音的音高設置。