STEM理念下“杰尼西亞的耳朵”原理與應用探究
——基于高中數學課程項目式學習案例

李健康

（廣州科學城中學，廣東廣州 510530）

STEM 教育理念就是綜合教育理念，本質上是一種基于建構主義教學理念、以學習者為中心、使用跨學科的方法讓學習者習得認識世界和改造世界綜合性知識的創新教育，STEM 是一種以項目學習、問題解決為導向的課程組織方式，它將科學、技術、工程、數學有機地融為一體，有利于學生創新能力培養的一種教學方式[1]。

該文就STEM 教育理念下高中數學課程項目式學習研究下寫的一個教學案例與大家一起分享。

1 案例分析——“杰尼西亞的耳朵原理”

傳說，在意大利的西西里島有一個山洞，很久以前，敘拉古的暴君杰尼西亞把他的一些囚犯關在這個山洞里。囚犯們多次密謀逃跑，但是每次計劃都被杰尼西亞發現[2]。 起初囚犯們懷疑是同伴中有內奸。但是始終沒有發現任何一個囚犯告密，后來漸漸察覺到囚禁他們的山洞形狀古怪，洞壁把囚犯的話都反射到獄卒的耳朵里去了，囚犯們詛咒這個山洞是“杰尼西亞的耳朵”。

那這個山洞究竟藏著什么樣的秘密呢？ 下面我們分別從物理和數學的角度來分析這個問題。 根據有關的資料查詢，我們知道了山洞的大概切面形狀，見圖1。

圖1 山洞的大概切面形狀

原來這個山洞的內部形狀就如同一個橢圓形，其中犯人就監押在點B 處，而獄卒就在進出口附進地點A 處，而點A、B 恰好就是山洞這個橢圓的焦點所在，于是無論獄卒在點B 處討論什么，點A 處的獄卒都能清楚地聽到。這是什么原理呢？下面我們就分別從物理和數學的角度進行分析。

1.1 物理角度

聲音的傳播速度是340 m/s，當聲音在空氣中傳播，遇到障礙物的時候就會反彈，但前提條件是這個障礙物對聲音不怎么吸收，還有反彈的方向是與接觸面的角度有關的。由常識知道，逃犯商量逃獄計劃不可能大聲說話的，而且說話的聲音大小肯定是他們以為在這個距離范圍內，獄卒是聽不到的。那么問題就來了，為什么偏偏在這個山洞中，獄卒又聽到呢？原來是聲波的反射原理：欲求曲面上某點的反射聲線，則以過該點的曲面的切面作為鏡面，使其入射角等于反射角，即可確定反射聲線，利用凹曲面反射的特點使聲音會聚予某區域或出現聲焦點（獄卒所在A 處）。而這個山洞剛好是一個橢圓，所以，B 處發出的聲音，經過洞壁進行反射后都會匯聚到A 處，形成一個聲焦點[3]。 于是無論犯人商量什么，獄卒都能清楚知道了！

當然，上面物理分析大家看完后好像是這樣有道理，但有一點最關鍵，相信大家還是有疑問的，怎么證明從點B 處發出的聲音，經過洞壁，就一定匯聚到A 處呢？ 下面我們再從數學的角度進行有關的證明。

1.2 數學角度證明

聲音從橢圓的一個焦點B 發出，經過反射后，一定會匯聚在另外一個焦點A，如圖2 所示。

圖2 幾何原理分析圖

我們設在B 點發出的聲音，隨意的一條聲波BD 傳到洞壁，經過反射聲波DA，如果它剛好傳到點A 處，那么就應該有α=β。

下面我們證明這個結論：α=β。

經過點D 橢圓的切線為DE，設DE 的斜率為k，則直線DE 的方程為：y-y0=k（x-x0），消去y 代入化簡，又由Δ=0，得，要證α=β，即要證tanα=tanβ，即tan[θ1-θ]成立。

上面我們是通過嚴格的數學證明知道一個橢圓的重要性質：即從橢圓一個焦點發出的光線或聲波，最后一定會在另外一個焦點處聚合。

2 橢圓性質在生活中的應用

通過分析，我們全體的學生對這個原理有了深刻的分析，筆者發動了全體學生通過網絡、圖書館或其他途徑進行了挖掘，得到了一些的應用情境的確認或者糾正[4]。

（1）北京天壇的回音壁原理。

回音壁的墻壁是用磨磚對縫砌成的，墻頭覆著藍色琉璃瓦。圍墻的弧度十分規則，墻面極其光滑整齊，對聲波的折射是十分規則的。只要兩個人分別站在東、西配殿后，貼墻而立，一個人靠墻向北說話，聲波就會沿著墻壁連續折射前進，傳到一、二百米的另一端，無論說話聲音多小，也可以使對方聽得清清楚楚，而且聲音悠長，堪稱奇趣，給人造成一種“天人感應”的神秘氣氛，所以稱之為“回音壁”，如圖3 所示，它與橢圓這個原理不一樣，天壇的回音壁是利用了聲音在圓形墻壁內進行多次折射或者直線傳播達成的，它不是利用聲波在橢圓的兩個焦點的發散和聚合原理，如圖4 所示。

圖3 天壇回音壁

圖4 回音壁聲音傳播分析圖

（2）電影放映機的原理，就是使用橢圓內聲波傳播原理，但這次是個傳播是光線見圖5、圖6。

圖5 電影放映機光學圖

圖6 電影放音機工作原理圖

光源1 采用高壓短弧氙燈，它位于橢圓的一個焦點上，發出的光線經過橢圓反光鏡2 反射到橢圓的另外一個焦點4 片門上，再經過放映鏡頭投射到屏幕上就完成電影的播放[51]。

（3）學生還設計了一個游戲桌面，如圖7 所示。原理如圖8 所示，游戲規則是：在一個橢圓桌面右半區的焦點位置立一小旗桿，左半區有一個玻璃小球，游戲者就在左半區輪流彈動小球到桌壁再反彈，把小球反彈擊中小旗桿即為得分，每人3 次，得分多者為勝方。對于懂原理的人就知道：想反彈擊中的秘訣就是從讓球從橢圓的左焦點位置直線彈向桌邊的桌壁[6]。

圖7 橢圓游戲桌設計方案圖

圖8 游戲方案原理幾何圖

3 結語

該案例是通過一個故事杰尼西亞的耳朵開始探討，從而發現橢圓的一個性質，并且從物理和數學的角度進行了說明和嚴格的證明。 再查閱資料學習到該性質在生活中的一些應用，到最后學生們根據自己的理解設計出一個簡單的游戲。 充分體現了STEM 精神中的探究、分析、驗證、再應用的思想。即案例是以學習者為中心、使用跨學科的方法讓學習者習得認識世界和改造世界綜合性知識的創新教育。