考慮壓力溶解的酸壓裂縫長期導流能力模擬方法

李力 王潤宇 曾嶸 劉平禮 王茜 梁沖

1. 中國石油西南油氣田分公司工程技術研究院；2. 西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室；3. 中國石油勘探開發研究院

酸蝕裂縫導流能力預測模型對于酸壓效果的預測非常重要，Nierod 和Kruk 等人［1-3］使用白云巖進行模擬酸壓過程時，通過酸蝕裂縫導流能力和巖石溶解量數據的對比，得到N-K 模型。N-K 經驗關系式中的裂縫寬度是酸蝕裂縫理想縫寬，該模型考慮了閉合應力、巖層上覆應力、巖石溶解等因素，但未考慮巖性影響。Gomaa 等人［4］針對N-K 模型進行了修正，給出了灰巖地層、白云巖地層的修正公式。Gangi 等人［5］提出了“釘床模型”，運用等效思想將裂縫壁面顆粒等效為等直徑，高度不同的柱狀體；該模型未考慮蚓孔、巖性、酸液對裂縫壁面刻蝕的影響。Tsang 等人［6］在孔隙模型中引入了粗糙度的概念，得到了一種理論上可以預測酸蝕裂縫導流能力的模型，但在閉合應力作用下裂縫粗糙表面會發生形變。Gong 模型［7］考慮了酸蝕作用對巖石強度、彈塑性的影響，還考慮了酸蝕作用對酸蝕裂縫粗糙壁面的影響，得到一種擬合程度高于NK 模型的計算方法，但該模型僅能描述中等尺寸的非均勻刻蝕且實驗結果沒有較好的重復性。牟建業等人［8］基于N-S 方程，以極短的步長求解壓力場和速度場，但該模型并未考慮閉合應力的作用。Deng 等人［9］在牟建業模型的基礎上加入了閉合應力的影響因素。

國內外關于酸蝕裂縫導流能力的研究，并未著力于長期裂縫導流能力，在長期產能預測方面與實際有較大偏差。因此，考慮閉合應力的作用，考慮裂縫壁面粗糙顆粒接觸后的溶解變形作用，建立了酸蝕裂縫長期導流能力計算方法，可以更加準確預測酸壓后產能隨時間的變化規律。

1 裂縫長期導流能力模型

在碳酸鹽巖儲層前置液酸壓過程中，前置液壓開地層形成人工裂縫，人工裂縫在閉合應力的作用下，寬度會不斷降低，導流能力也相應逐漸減小。Yasuhara 等人［10］通過實驗得到的裂縫寬度變化過程如圖1 所示。

圖1 酸壓過程中裂縫寬度的變化Fig. 1 Variation of fracture width in the process of acid fracturing

1.1 理論模型

在裂縫粗糙壁面接觸面上，受到閉合應力影響，粗糙顆粒發生接觸變形、礦物溶解。溶解的礦物會沿著壁面水膜向孔隙空間擴散。由于孔隙中溶質濃度不平衡，擴散的物質隨后會在孔隙空間的自由面上進行沉淀、溶解作用。壓力溶解過程和溶質在自由面上的溶解過程是相互制約的。裂縫的寬度變化主要受礦物溶解過程、溶質擴散過程及自由面溶解-沉淀過程的影響，從而導致裂縫長期導流能力發生變化。壓力溶解過程如圖2 所示。

(1)礦物的溶解過程。粗糙裂縫接觸表面在進行接觸時候，裂縫表面的粗糙顆粒在閉合應力的作用下會發生溶解現象，而壓力溶解過程主要是受到裂縫中的化學勢的影響，且作用在裂縫孔隙壁面上的壓力為孔隙壓力。Revil 等人［11］、Heidug 等人［12］分別定義由礦物溶解引發應變速率εdiss及裂縫中的化學勢差Δμ為

圖2 壓力溶解過程Fig. 2 Pressure dissolution process

式中，εdiss為應變速率，s?1；Δμ為裂縫接觸面上的高應力點和裂縫孔隙壁面的低應力點的化學勢之差，J/mol；Vm為物質的摩爾體積，m3/mol；K+為物質的溶解速率常數，mol/(m2· s)；R為理想氣體常數，J/(mol · K)；T為系統溫度，K；d為粗糙接觸面直徑，m；σa為作用在裂縫接觸面上的真實壓應力，MPa；Δf為裂縫接觸界面處和孔隙壁面處的摩爾赫姆霍茲自由能之差，J/mol；H為粗糙接觸界面的平均曲率，m?1；γ為單位粗糙接觸界面上的能量，J/m2。

當裂縫內反應系統達到熱力學平衡時，化學勢差?Δμ為0，作用在裂縫接觸面上真實壓應力σa與臨界壓力σc達到相同，反應停止［11］。

式中，σeff為有效應力，為總應力減去孔隙壓力，MPa；Rc為接觸面積比，總的接觸面積與裂縫總面積之比，無因次；Em為巖石熔化熱，J/mol；Tm為巖石熔化溫度，K；上標eq 代表反應平衡狀態。

巖石溶解線性流動過程中，定義應變速率為

整理上式得到溶解質量通量dMdiss/dt為

物質溶解速率常數k+與溫度間的關系為

式中，dMdiss/dt為溶解質量通量，kg/s；ρg為巖石密度，kg/m3；dc為粗糙接觸面的直徑，m；為參考的溶解速率常數，mol/(m2· s)；Ea為溶解活化能，J/mol。

(2)溶質的擴散。巖石在接觸面溶解后，會通過擴散作用從巖石表面擴散到裂縫間的孔隙壁面上，一般使用擴散通量來描述這一過程。濃度梯度越大，擴散通量越大。根據Fick 第一定律，得到在半徑為r的圓型接觸面上的擴散通量Jm為

式中，w為裂縫接觸界面上水膜的厚度，m；Db為擴散系數，m2/s；C為擴散物質的體積濃度，kg/m3；dC/dx為擴散物質濃度梯度，kg/m4；r為圓形接觸面的半徑，m。

對x在h≤x≤dc/2 的范圍內積分可得

擴散系數Db與溫度之間的關系可以定義為

式中，dMdiff/dt為擴散質量通量，kg/s；h為一微小長度，其作用是避免在Fick 第一定律積分中出現奇異性，取值為初始粗糙度接觸面的直徑dc的1/1 000，m；Cint為裂縫接觸面處(x=h)溶解礦物的質量濃度，mg/L；Cpore為裂縫孔隙空間中(x=dc/2)溶解礦物的質量濃度，mg/L；D0為參考的擴散系數，m2/s；ED為擴散活化能，J/mol。

(3)溶質的沉淀和自由面的溶解。將巖石溶解物從裂縫孔隙向裂縫壁面自由面沉淀的速率定義為沉淀質量通量，將巖石溶解物從裂縫孔隙向裂縫壁面自由面溶解的速率定義為溶解質量通量［13］

式中，dMprec/dt為自由面沉淀質量通量，kg/s；k?為溶解礦物的沉淀速率常數，s?1；Apore為裂縫孔隙的面積，其值為裂縫總面積減去裂縫接觸面積，m2；Ceq為平衡狀態時溶解礦物的質量濃度，mg/L；m為反應級數，取m=1；為自由面溶解質量通量，kg/s；k+為溶解礦物的溶解速率常數，s?1。

1.2 裂縫接觸面模型

如圖3 所示，將裂縫表面接觸區域簡化為多個圓形接觸面，直徑為dc。受到閉合應力作用，假設裂縫表面只受到無滑移的機械壓實作用可得

圖3 裂縫局部接觸表面示意圖Fig. 3 Sketch of local fracture contact surface

Yasuhara［14］通過分析裂縫剖面數據，提出了裂縫平均寬度和接觸面積比之間的關系式為

式中，b為裂縫平均寬度，m；br為裂縫殘余寬度，m；b0為裂縫初始寬度，m；Rc0為裂縫接觸點的初始面積比；a為經驗常數。

1.3 裂縫寬度的計算

裂縫的寬度主要由溶解和擴散過程及自由面溶解/沉淀過程貢獻的。對于溶解和擴散過程有

通過上面一組方程可以得到Rc，代入式(15)可求得由裂縫粗糙接觸面上的溶解和擴散作用引起的裂縫寬度變化bc(式15 得出的b值)，還需要計算在裂縫孔隙表面由于自由溶解和沉淀過程引發的裂縫寬度變化bF。

綜合上述計算，t時刻總的裂縫平均寬度為

1.4 裂縫內溶解礦物濃度的處理

當計算t時刻的裂縫平均寬度時，需要先得到t時刻Cint和Cpore的值。酸蝕裂縫閉合過程中，裂縫的閉合、壓實過程都受控于裂縫內的物質濃度。如圖4 所示，(1)、(2)、(3)分別代表裂縫接觸面溶解、擴散和沉淀這3 個過程。這3 個過程分別對應裂縫接觸面處的濃度Cint、裂縫孔隙空間中的濃度Cpore和裂縫壁面處的平衡濃度Ceq。其中(1)到(2)由擴散作用決定，(2)到(3)由沉淀作用決定。

圖4 濃度變化過程示意圖Fig. 4 Sketch of concentration change process

Yasuhara 通過實驗得到結論［10］：成巖作用產生的沉淀礦物并不是長期導流能力損失的最重要原因，但這個過程真實存在。計算中忽略沉淀過程對裂縫寬度的改變，僅考慮擴散作用影響得

式中，qi和Ci(i=1、2)分別為(1)、(2)處的質量通量和濃度；VP為孔隙體積，m3。

將q1=dMdiss/dt，q2=0，C1=Cint，C2=Cpore帶代入式(23)并展開，可得酸蝕裂縫接觸面處的濃度Cint為

溶解礦物的轉移參數決定孔隙間濃度Cpore為

式中，Q為流量，m3/s；Δt為時間步長，s。

2 算例分析

結合以上研究，可分別計算溶解、擴散、自由面溶解/沉淀過程中每個時間步長內的裂縫導流能力變化。初始導流能力可以結合N-K 方程及初始裂縫寬度進行賦值。經過單時間步長計算后，可以得到更新后的裂縫寬度。該計算是在統一溫度系統中進行耦合求解的，因為溶質的平衡濃度Ceq一般是通過實驗數據獲得，無法與溫度形成函數關系。通過編程求解，計算酸壓后每個時刻的酸蝕裂縫導流能力變化。模擬輸入參數如表1 所示。

表1 酸蝕裂縫長期導流能力計算輸入參數Table 1 Input parameters for calculating the long-term flow conductivity of acid-etched fracture

初始縫寬為5.52 mm 時，經過500 d 的生產，縫寬變為5.17 mm。初期縫寬損失速度較大，后期趨于平緩，模擬結果如圖5 所示。通過N-K 方程可以計算出酸蝕裂縫導流能力。設定初始導流能力分別為30、40、50 μm2· cm 時，相對初始導流能力為20 μm2· cm 的情況，裂縫導流能力下降速度相對較快，且初始導流能力越高，導流能力下降速度越快，曲線最終都趨于平緩，如圖6 所示。其中，經過300 d的生產，初始導流能力為50 μm2· cm時，下降了6.79 μm2· cm；初始導流能力為40 μm2· cm時，下降了5.40 μm2· cm；初始導流能力為30 μm2· cm 時，下降了4.03 μm2· cm；初始導流能力為20 μm2· cm 時，下降了2.65 μm2· cm。在生產300 d 到生產500 d 的范圍區間內，導流能力的降低非常緩慢，逐漸趨于穩定。

圖5 初始導流能力為30 μm2 · cm 時裂縫中固定點寬度隨時間變化曲線Fig. 5 Variation of fracture width at the fixed point over the timeat the initial flow conductivity of 30 μm2 · cm

圖6 裂縫導流能力隨時間變化曲線Fig. 6 Variation of fracture’s flow conductivity over the time

如圖7 所示，隨著生產的進行，裂縫寬度會逐步減少，裂縫接觸面積比會逐步增大。這就造成了以下趨勢：隨著裂縫寬度的下降，裂縫導流能力下降，裂縫寬度下降速率放緩，裂縫導流能力下降速率放緩。

圖7 初始導流能力為30 μm2 · cm 時裂縫接觸比變化曲線Fig. 7 Variation of fracture contact area ratio at the initial flow conductivity of 30 μm2 · cm

圖8 裂縫局部長度的開度隨時間變化曲線Fig. 8 Variation of the opening of the local fracture length over the time

以單翼裂縫為研究對象，在圖8 中繪制出模擬生產1～500 d 時的裂縫開度曲線。縫口處的裂縫初始開度較大，裂縫間初始接觸面積比較小，裂縫接觸面上的有效應力較大，壓力溶解作用較強，裂縫開度下降較快，模擬生產1～500 d 時，縫口處的裂縫寬度下降了0.36 mm。裂縫末端的裂縫間初始接觸面積較大，其壓力溶解作用相比于縫口處較弱，模擬生產1～500 d 時，開度僅下降了0.25 m。在模擬生產400 d 后，σa與σc之間的應力間差異已經非常微弱，壓力溶解反應逐漸停止，裂縫開度下降速度逐漸平穩。

如圖9 所示，裂縫之間的初始面積比對酸蝕裂縫的長期縫寬變化有著較大的影響：初始接觸面積比越大，相同施工條件和生產時間下，裂縫寬度變化越小；初始接觸面積比越小，相同施工條件和生產時間下，裂縫寬度變化越大。初始接觸面積比為0.1 時，經過500 d 的生產，縫寬下降0.31 mm，相比于初始接觸面積比為0.03 時，縫寬同期下降0.53 mm。初始接觸面積越大，意味著裂縫壁面之間的接觸面積越大。在單軸壓應力條件下，作用在裂縫接觸面上的真實壓應力相對較小，壓力溶解作用相對較弱，裂縫壁面物質損失量較少，縫寬變化幅度較小。

根據上面的研究內容，通過控制單一變量的方法，對比分析考慮酸蝕裂縫導流能力變化的儲層壓降與定導流能力生產的儲層壓降。假定裂縫為100 m的雙翼裂縫，裂縫的初始平均寬度為5.38 mm，井的供給半徑為400 m，儲層的孔隙壓力為24.8 MPa，井底流壓為21.3 MPa。其他參數均設置為相同數值以保證模擬結果的可對比性，模擬生產200 d，模擬結果如圖10 所示。固定酸蝕裂縫導流能力所計算出的單井產能，比考慮酸蝕裂縫長期導流能力變化的計算結果偏大。生產初期定導流能力條件下的單井日產能，比考慮酸蝕裂縫長期導流能力變化的單井日產能多出20 m3/d。在生產200 d 時，這種差異變為3.4 m3/d。這部分的差異是由生產過程中產生的裂縫寬度損失造成的。裂縫是儲層與井筒之間非常重要的溝通橋梁，裂縫寬度的變化會導致裂縫導流能力的變化，從而影響油氣滲流。

圖9 不同初始接觸面積比下酸蝕裂縫寬度變化Fig. 9 Variation of acid-etched fracture width at different initial contact area ratios

圖10 酸蝕裂縫導流能力與單井日產能關系曲線Fig. 10 Relationship between the flow conductivity of acidetched fracture and the single-well daily productivity

模擬生產200 d 后，得到如圖11 所示的儲層縱剖面壓力曲線，其中橫坐標原點為井筒位置，考慮酸蝕裂縫長期導流能力變化的壓力曲線與定導流能力壓力曲線都形成壓降漏斗。考慮酸蝕裂縫長期導流能力變化的儲層壓力下降小于同時期恒定導流能力生產的儲層壓降。由于考慮了生產過程中酸蝕裂縫的寬度損失，壓降漏斗擴展過程緩慢，儲層油氣資源動用程度較低。由此可見，在進行油氣井產能預測模擬時，酸蝕裂縫長期導流能力變化的影響是不可忽略的，考慮酸蝕裂縫長期導流能力的變化更貼近實際生產情況。

圖11 模擬生產200 d 后儲層壓力曲線Fig. 11 Reservoir pressure curve after 200 d simulated production

3 結論

(1)酸蝕裂縫初始導流能力越高，壓力溶解作用越強，裂縫導流能力下降的越快，導流能力曲線最終都趨于平緩，初始導流能力大小會影響穩定后導流能力的高低。

(2)酸壓設計時需根據巖性選擇合適的酸壓工藝和施工參數，獲得比較寬且深的刻蝕溝槽，從而得到較大的初始接觸面積比，可以有效降低酸蝕裂縫縫寬損失，從而可以較長時間保持裂縫的高導流能力。

(3)在進行酸壓前產能預測時，考慮酸蝕裂縫長期導流能力的變化會更加吻合實際情況，壓力溶解效應對酸壓裂縫寬度變化所帶來的影響不可忽略。